3. Несложно установить истинность следующих утверждений:
в случае, если х
в случае, если х=у и светло синий, то x=z;
в случае, если х ровесник у и у ровесник z, то х ровесник z; в случае, если х старше у и у старше z, то х старше z; в случае, если а\\Ь и Ь\\с, то а\\с.
Но в случае, если х — папа у и у — папа z, то z не есть папа z (он его дед); в случае, если х — приятель у, а у — приятель z, то по большому счету не известно, есть ли х втором z.
Свойство отношения р—(Р, А, А), пребывающее в том, что из хру и ypz направляться xpz для любых х, y,z^A, именуется транзитивностью, а отношение р, владеющее этим свойством, — транзитивным.
Свойство отношения р, пребывающее в том, что из хру и ypz направляться —xpz для любых х, у, zЈ А, именуется антитранзитивностью, а отношение р, владеющее этим свойством, — антитранзитивным.
Так, отношения меньше, равняется, быть ровесником, старше, параллельно являются транзитивными. Отношение быть отцом есть антитранзитивным, а отношение быть втором не есть ни транзитивным, ни антитранзитивным.
Отношение эквивалентности
Выделим сейчас класс взаимоотношений, играющих особенную роль в разбиении множеств предметов на классы, т. е. в классификации множеств.
Среди рассмотренных выше примеров взаимоотношений имеются такие, каковые являются рефлексивными, симметричными и транзитивными в один момент. К ним относятся геометрических равенства фигур и отношения чисел, подобия фигур, отношение быть ровесником.
Эти и другие подобные им, т. е. владеющие такими же особенностями, отношения принадлежат серьёзному классу взаимоотношений эквивалентности, находящих использование и широкое применение, а также в курсе математики общеобразовательной школы.
Всякое рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение, установленное в некоем множестве А, именуется отношением эквивалентности.
В случае, если между элементами некоего множества введено либо установлено отношение эквивалентности, то этим самым порождается разбиение данного множества на классы так, что каждые два элемента, находящиеся в собствености одному классу разбиения, находятся в данном отношении (в противном случае: эквивалентны по этому отношению), каждые же два элемента, находящиеся в собствености разным классам, не находятся в этом отношении (в противном случае: не эквивалентны по этому отношению). Такое разбиение множества на классы в большинстве случаев именуют разбиением множества на классы эквивалентности.
Разбиение множества блоков (либо фигур) на классы эквивалентности возможно смоделировать посредством следующей игры с тремя обручами.
В множестве всех блоков введем отношение иметь один цвет (либо быть одного цвета). Нетрудно убедиться в том, что это 
множества всех блоков на классы эквивалентности по отношению быть одного цвета (области (1), (2), (3), (4) оказываются безлюдными, поскольку нет трехцветного либо двухцветного блока, область (8) безлюдна, поскольку блоков другого цвета, не считая красного, светло синий либо желтого, нет). Нетрудно убедиться в том, что удовлетворяются условия (1)—(3) верного разбиения (см. 2.1): 1) ни один из классов (красных, светло синий, желтых) блоков не безлюден; 2) эти классы попарно не пересекаются; 3) их объединение равняется множеству Мвсех блоков.
Таким же методом, т. е. посредством отношения быть одного цвета, формируется и само представление о цвете как о классе, объединяющем все предметы одного цвета, скажем все красные предметы.
Подобно формируется и представление об определенной форме предметов. Посредством отношения иметь одну форму мы
приобретаем разбиение всех блоков (либо фигур) на четыре класса эквивалентности такое, что каждые два блока (либо две фигуры), принадлежащие одному классу, владеют одной и той же формой, каждые же два блока (либо две фигуры) разных классов владеют разной формой. Сама форма выступает тут как класс эквивалентности. Так, потом, к примеру, формируются представления о круге, квадрате, треугольнике, прямоугольнике и других фигурах как на плоскости, так и в пространстве.
Эти примеры показывают, с одной стороны, что отношения эквивалентности являются базой для создания новых понятий и для классифицирующей деятельности, с другой — что рассмотренные выше (2.1) дидактические игры с обручами обучают данной деятельности.
Отношение порядка
Среди рассмотренных выше примеров взаимоотношений имеются такие, как меньше, больше между числами, предшествует, следует за между точками прямой; старше, моложе между людьми. Эти отношения являются антирефлексивными, асимметричными и транзитивными.
Всякое антирефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение в некоем множестве А именуется отношением порядка1.
2.3. Числа
Происхождение понятия натурального числа
| 1 Время от времени такое отношение именуют отношением строгого порядка, дабы отличить его |
Теоретические базы формирования элементарных математических представлений у дошкольников включают детальное изучение только совокупности натуральных чисел. Исходя из этого, говоря тут «числа», мы имеем в виду натуральные числа.
К построению математических моделей явлений, основанному на отвлечении от всех особенностей предметов, не считая их пространственных форм и количественных отношений, человечество прибегало с первых шагов изучения окружающего мира. Одним из первых достижений на этом пути было формирование и возникновение понятия натурального числа. Оно показалось, по-видимому, на достаточно позднем этапе развития мышления и предполагало наличие свойства к созданию абстрактных понятий и оперированию ими.
Процесс формирования понятия числа был сложным и долгим. На самом раннем этапе устанавливалась равночислен-ность разных множеств, общее же свойство равночисленных множеств еще не отделялось от конкретной природы сравниваемых множеств. К примеру, знали, что два рыболова поймали поровну рыб, но не высказывали этого каким-либо числом. В будущем практика экономических и социальных взаимоотношений стала причиной необходимости высказывать численность одних множеств уже через численность вторых множеств, т. е. неспециализированное свойство равночисленное™ начало осознаваться как что-то хорошее от конкретной природы самого множества, его элементов. Но в качестве эталонов выступали еще разные множества, складывающиеся из подручных предметов — эквивалентов равночисленности множеств предметов. Еще позднее определенное множество, к примеру пальцы на ногах и руках, начали выступать в качестве необычного единственного эталона количества, что разрешило выделить неспециализированное свойство численности, хорошее от всех особых особенностей множеств. Потом неспециализированное свойство всех равночисленных множеств абстрагировалось от самих множеств и выступило в «чистом виде», т. е. как абстрактное понятие натурального числа. Потом в качестве эталона численности уже выступают сами натуральные числа, в то время, когда люди говорят не «рука яблок», а «пять яблок» (примечательно, что в слове «пять» сохранилось воспоминание о «пясти», т. е. о ладони). И наконец, происходит отвлечение от реально существующих ограничений счета и появляется понятие о сколь угодно солидных числах. Появляется абстракция нескончаемого множества натуральных чисел. Объектом научного анализа становятся свойства элементов самого этого множества, в отвлечении от тех предметов, счет которых стал причиной созданию понятия числа. Появляется теория, обрисовывающая совокупность чисел с ее закономерностями и свойствами.
Как будет продемонстрировано дальше, процесс формирования представлений дошкольников о числе в известном смысле в общем повторяет главные этапы исторического развития этого понятия.
В математике известны разные методы построения теории натуральных чисел. Мы разглядим только главные идеи двух теорий натуральных чисел, количественной и порядковой, находящие отражение в формировании представлений о числе, арифметических операциях и счёте.
Главные идеи количественной теории натуральных чисел
В количественной теории натуральное число сначала воспринимается как число элементов (мощность, численность) конечного множества.
Разглядим всевозможные конечные множества (говорят «класс, либо семейство, множеств») и установим для них отношение эквивалентности следующим образом: два множества А и В будем именовать эквивалентными (обозначается это через А~В), в случае, если между элементами этих множеств возможно установить взаимно однозначное соответствие.
Установленное так отношение множеств есть отношением типа эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Для любых множеств А, В, С:
а) А~А; б) в случае, если А~В, то В~А; в) в случае, если А~В и В~С, то А~С.
Исходя из этого введенное отношение порождает разбиение данного семейства множеств на классы эквивалентности так, что каждые два множества одного класса эквивалентны, а каждые два множества разных классов неэквивалентны.
Эквивалентные множества не совпадают абсолютно, всеми собственными особенностями: множество пальцев людской руки и множество, складывающееся из пяти столов, разные, но эквивалентные множества.
Любой класс эквивалентности характеризуется мощностью, т. е. каждые два множества одного класса равномощны (имеют однообразную мощность). Так как мы имеем дело только с конечными множествами, то равномощность свидетельствует равночисленность. Мощность, либо класс, равночисленных конечных множеств и именуют натуральным числом.
Так, каждому конечному множеству Л приписывают в качестве чёрта натуральное число т(А), определяющее его принадлежность определенному классу эквивалентности. Наряду с этим множествам, принадлежащим одному классу эквивалентности, приписывается одно да и то же натуральное число:
в случае, если А~В, то т(А)=т(В);
множествам, принадлежащим разным классам эквивалентности,— разные натуральные числа:
в случае, если А~В, то т (А)^т(В).
Так как А и В — конечные множества, то натуральные числа т(А) и т(В) обозначают числа элементов (численность) этих множеств.
В базе таковой концепции натурального числа лежит абстракция отождествления: отношение эквивалентности множеств отождествляет множества, находящиеся в собствености одному классу эквивалентности по их численности.
В следствии этого отождествления от множеств, которыми владел одному классу эквивалентности, абстрагируется их неспециализированное свойство, характеризующее данный класс, в виде независимого понятия — натурального числа.
Наименование «количественная теория» связано с тем, что в данной теории натуральное число обозначает количество элементов множества.
Главные идеи порядковой теории натуральных чисел
В конце XIX в. была выстроена порядковая теория натуральных чисел, которая в большинстве случаев связывается с именем итальянского математика Джузеппе Пеано (1858—1932), выстроившего эту теорию на аксиоматической базе.
Очень развитый в математике аксиоматический подход к построению теорий пребывает в следующем: а) выделяются кое-какие исходные, неопределяемые через другие понятия; все остальные понятия теории определяются через ранее уже определенные; б) выделяются кое-какие исходные предложения, либо теоремы, истинность которых принимается без доказательства; все остальные предложения теории — теоремы — логически выводятся либо доказываются с применением введенных понятий, ранее доказанных фактов, теорем.
Напомним, что аксиоматический подход используется для построения теории, о которой уже имеются определенные, организованные интуитивные представления. В противном случае говоря, осуществляется аксиоматизация уже имеющейся «предматематической теории».
Подход к построению теории натуральных чисел, берущий начало от Пеано, представляет собой определенный метод математизации интуитивного представления о натуральном последовательности.
Математизация этого интуитивного понятия ведет к определению натурального последовательности как некоей структуры (T, 1,’), складывающейся из: а) множества N, элементы которого именуются натуральными числами; б) выделенного в этом множестве элемента, обозначаемого знаком 1 и именуемого единицей; в) определенного в множестве ТУотношения «следует за» (число, конкретно следующее за числом*, обозначим черезх\ т. е. в случае, если у следует за х, то у=х’; у! — «сосед справа» для х).
Натуральный последовательность владеет следующими интуитивно ясными особенностями (принятыми Пеано в качестве теорем, характеризующих эту структуру).
I. Единица конкретно не нужно ни за каким натуральным числом, т. е. не есть «правым соседом» никакого другого натурального числа, это «первое» натуральное число.
П. Для любого натурального числа существует одно и лишь одно конкретно следующее за ним натуральное число, т. е. любое натуральное число имеет лишь одного «правого соседа».
III. Любое натуральное число следует не более чем за одним натуральным числом, т. е. единица не нужно ни за каким, всякое второе натуральное число — совершенно верно за одним.
Всякое натуральное число, не считая единицы, есть «правым соседом» не более одного натурального числа, его «левого соседа».
I. В случае, если какое-нибудь множество М натуральных чисел (Л/c/) содержит 1 и вместе с некоторым натуральным числом х содержит и натуральное число х1′, конкретно следующее за х, то это множество сходится с множеством всех натуральных чисел (M=N).
Предложение I, не смотря на то, что по собственному содержанию более сложно, чем первые три, кроме этого высказывает достаточно простое свойство: посредством последовательного прибавления единицы, начиная с единицы, возможно взять все натуральные числа. Всегда, в то время, когда мы доходим до некоего числа х, допускается возможность написания конкретно следующего за ним числа х?.
Натуральный последовательность в обрисованном представлении мыслится возможно нескончаемым. С данной точки зрения процесс его образования незавершаем, предполагается только, что по окончании каждого шага процесса мы располагаем возможностью осуществления следующего шага.
Свойства I—I характеризуют структуру «натуральный последовательность» лишь с позиций отношения ‘, названного «следует за». Но это построение возможно дополнить особенностями, характеризующими умножения и операции сложения в множестве N.
Расширим совокупность особенностей I—I так, для получения характеристики структуры (N, 1,’, +, •).
Символ + обозначает операцию «сложение», сопоставляющую с каждой парой (х, у) натуральных чисел натуральное число х+у, именуемое их суммой и владеющее следующими особенностями:
т. е. сумма любого натурального числа х с числом 1 равна конкретно следующему за х числу хЛ I. Х+у’=(х+у)’,
т. е. сумма любого числа х с числом у’, конкретно следующим за любым числом у, равна числу, конкретно следующему за суммой х+у.
Символ • обозначает операцию умножения, сопоставляющую с каждой парой (х, у) натуральных чисел натуральное число х»у, именуемое их произведением и владеющее следующими двумя особенностями: II.x»l=x,
т. е. произведение любого натурального числа х и числа 1 равно х (умножение какого-нибудь числа на единицу не меняет это число).
III. х»(У)=(х»у)+х, т. е. произведение числа х на число, конкретно следующее за числом у, равняется произведению чисел х и у, сложенному с числом х.
Из особенностей I—III выводятся все остальные операций сложения и свойства порядка и умножения натуральных чисел.
Продемонстрируем как пример, как, исходя из перечисленных особенностей, возможно взять таблицу сложения.
Будем исходить из знания того, что конкретно следующее число за каждым однозначным числом уже получено:
Г=2; 2’=3; 3’=4; 4’=5; 5’=6; 6’=7; 7’=8; 8’=9; 9’=10.
Исходя из свойства , приобретаем таблицу «прибавления единицы»:
1 + 1=1’=2;
2+1=2’=3;
3+1=3’=4;
9+1=9’= 10.
Сейчас, зная таблицу и применяя свойство I, можем вывести, к примеру, чему равняется 2+2:
2+2=2+1’=(2+1)’=3’=4.
Подобно 3+2=3+Г=(3+1)’=4’=5 и т. д.
Как видно, в обрисованном построении теории натуральных чисел главную роль играется операция (функция) прибавления единицы
/(х)=х+1,
сопоставляющая с каждым числом х конкретно следующее за ним число х+1 (илихО- Эта мысль употребляется в обучении счету мелких детей.
2.4. фигуры
Формирование понятия фигуры
Исторически понятие фигуры , так же как понятие натурального числа, было одним из исходных понятий математики. Как и натуральные числа, понятие фигуры появилось посредством абстракции отождествления, в базе которой лежит некое отношение эквивалентности. В этом случае таким отношением есть сходство, подобие предметов по их форме, благодаря которому множество предметов разбивается на классы эквивалентности так, что каждые два предмета одного класса имеют однообразную форму, а каждые два предмета разных классов — разные формы. Абстрагируясь наряду с этим от вторых особенностей предметов (цвета, величины, материала, из которого они сделаны, назначения и т. д.), мы приобретаем независимое понятие фигуры .
В математике поступают и без того: класс аналогичных по форме предметов определяется любым принадлежащим ему предметом и именуется формой.
В связи с рассмотрением отношения эквивалентности нами был приведен пример классификации блоков по их форме. Решая эту задачу, дети приобретают классы квадратных, круглых, треугольных и прямоугольных блоков, после этого любой из этих классов, так же как и отдельные их представители, именуется соответственно квадратом, кругом, треугольником, прямоугольником. В базе выделения этих понятий лежит отношение эквивалентности иметь однообразную форму.
В изучении геометрии, и в частности фигур , различают пара уровней мышления.
Первый, самый несложный уровень характеризуется тем, что фигуры рассматриваются как целые и различаются лишь по собственной форме. В случае, если продемонстрировать дошкольнику круг, квадрат, прямоугольник и сказать ему соответствующие заглавия, то по окончании некоего времени он сможет точно распознавать эти фигуры только по их форме (причем еще не анализированной), не отличая квадрат от прямоугольника. На этом уровне квадрат противопоставляется прямоугольнику.
На следующем, втором уровне проводится анализ принимаемых форм, из-за которого выявляются их свойства. фигуры выступают уже как носители собственных особенностей и распознаются по этим особенностям, свойства фигур ло-гически еще не упорядочены, они устанавливаются эмпирическим методом. Сами фигуры кроме этого не упорядочены, поскольку они лишь описываются, но не определяются. Данный уровень мышления в области геометрии еще не включает структуру логического следования.
Обрисованные выше два уровня в полной мере дешёвы детям 4—6 лет, и это событие направляться учитывать при разработке программ методики и составлении обучения.
Из чего состоит фигура ?
Любая фигура подразумевается складывающейся из точек, т.е. любая фигура является множеством точек, а также одну точку также принято вычислять фигурой .
На предматематическом уровне дети знакомятся с несложными, но самый распространенными фигурами : разными линиями, формами блоков — квадратом, кругом, треугольником, и пятиугольником, шестиугольником. Строгих определений, очевидно, на этом уровне не дается.
Виды фигур
Будем разглядывать потом только те виды несложных фигур , с которыми приходится иметь дело в ходе обучения дошкольников.
Все фигуры делятся на плоские и пространственные. Так, к примеру, квадрат, круг — плоские фигуры; куб, шар — пространственные. Начнем с рассмотрения линий. Под линией будем иметь в виду плоскую линию — линию, все точки которой лежат на некоей плоскости, а сама линия имеется подмножество точек плоскости.
Прямую линию, либо легко прямую, возможно выделить среди вторых линий посредством ее характеристических особенностей, т. е.
таких особенностей, которыми владеет лишь прямая и никакие другие линии.
На илл. 8 между домом и деревом проложено пара тропинок. На геометрическом языке это указывает: через две точки D и С проходит пара линий. Прямая выделяется среди них тем, что это — линия малейшего расстояния.
Еще одно характеристическое свойство прямой: через две точки D и С возможно совершить довольно много разных линий, прямых — лишь одну, т. е. через две точки проходит только один прямая.
Линии бывают замкнутыми и незамкнутыми. К примеру, прямая — незамкнутая линия, окружность — замкнутая.
По отношению к прямой две точки смогут пребывать «по одну сторону» от нее либо «по различные стороны». К примеру, в случае, если дерево и дом находятся по одну сторону от речки, возможно дойти от дома до дерева либо обратно, не проходя через мост. В случае, если же они находятся по различным сторонам от реки, то дойти от дома до сада либо обратно, не проходя через мост, запрещено.
На геометрическом языке эта обстановка описывается следующим образом. Две точки А и В находятся по одну сторону от прямой /, в случае, если отрезок, соединяющий эти точки, не пересекает прямую / (илл. 9).
Первые представления о в и вне закрепляются в играх с обручами, в то время, когда дети видятся со все усложняющимися обстановками: определение блоков в и вне одного обруча, в одного и вне другого обруча, в всех трех обручей, в двух обручей и вне третьего и т. п. Исходя из этого перед ответом задач, которые связаны с классификацией блоков либо фигур в играх с обручами, нужно узнать, выявят ли дети внутреннюю и внешнюю области по отношению к каждому обручу.
Переведем сейчас эти ситуации на язык геометрии.
Интуитивно ясно, что любая окружность разбивает множество всех не принадлежащих ей точек плоскости на две области (илл. 10). В случае, если две точки А и В либо D и Е лежат в одной области, то отрезок, соединяющий их, не пересекает линии /; в случае, если две точки, к примеру С и D, принадлежат разным областям, то соединяющий их отрезок пересекает линию / (в точке К).
Илл. 10
Одна из этих областей именуется внутренней, вторая — внешней. Каким же геометрическим свойством возможно охарактеризовать внутреннюю либо внешнюю область?
Область, которая интуитивно принимается за внешнюю, владеет следующим свойством: возможно отыскать в данной области две точки, к примеру D и Е, такие, что прямая, проходящая через них, полностью лежит в данной области. Вторая область, которая интуитивно принимается за внутреннюю, не владеет этим свойством либо характеризуется свойством, воображающим собой отрицание характеристического свойства внешней области, т. е. нельзя найти в ней такие две точки, дабы прямая, проходящая через них, лежала полностью в данной области (либо, в противном случае, прямая, проходящая через каждые две точки данной области, непременно пересекает линию /)-
Выше мы пользовались понятием отрезок и связывали его неизменно с двумя точками: «отрезок АВ», «отрезок, соединяющий точки А и В» и т. п. Что же такое отрезок? Время от времени говорят «часть прямой». Это возможно осознавать как подмножество точек прямой. Но какое это подмножество?
Время от времени пользуются отношением между, применимым к трем точкам. Это отношение соответствует наглядному представлению о точке, лежащей на прямой между двумя вторыми точками: в случае, если точка С лежит между точками А и В, то нельзя «дойти» по прямой от А к В, не пройдя через точку С. Эти наглядные представления подсказывают и кое-какие свойства отношения между: в случае, если точка С лежит между А и В, то С лежит и между В и А; из трех точек лишь одна лежит между двумя вторыми, т. е. в случае, если Слежит между А и В, то уже А не лежит между Си В, а также В не лежит между А и С.
Имеются две разные трактовки понятия отрезка (по существу это два разных понятия). По одной из них отрезку АВ принадлежат сами точки А я В (финиши отрезка) и все точки прямой АВ, лежащие между А и В. По второй трактовке точки А и В не считаются принадлежащими отрезку АВ, не смотря на то, что так же, как и прежде именуются его финишами (т. е. финиши отрезка не принадлежат ему).
Мы будем придерживаться первой трактовки, дидактически более целесообразной.
Так как через две точки А и В проходит единственная прямая АВ, то эти две точки определяют и единственный отрезок с финишами А я В.
Зная, что такое отрезок, возможно уточнить и понятие ломаной линии.
В случае, если А\,А2, At,, .., A„-j, Ап — точки, никакие последовательные три из которых не лежат на одной прямой, то линия, складывающаяся из отрезков/41Л2^2^3 ..,Ап_]А„, именуется ломаной линией, эти отрезки именуются звеньями ломаной, а точки А\, А2, A3,.., Ап_], А„ — ее вершинами; точки А\ я Ап именуются кроме этого финишами ломаной В случае, если финиши ломаной совпадают, то ломаная именуется замкнутой, в другом случае — незамкнутой (строгие определения замкнутой и незамкнутой кривой линии в элементарной геометрии не даются).
На илл. 11, А изображена замкнутая ломаная линия, на илл. 11, 2 — незамкнутая.
Как и любая замкнутая линия, замкнутая ломаная линия разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на две области — внутреннюю и внешнюю.
Среди ломаных линий выделяют простые (без самопересечений) ломаные линии, т. е. такие, каковые сами себя не пересекают.
Изображенные на илл. 11 ломаные линии простые. На илл. 12 изображены непростые, сами себя пересекающие ломаные линии.
 |
Перейдем сейчас к рассмотрению многоугольников. Имеются два главных подхода, по существу определяющих разные понятия: в соответствии с одному из них, под многоугольником знают несложную замкнутую ломаную линию, в соответствии с второму — несложную замкнутую ломаную вместе с ее внутренней областью либо объединение несложной замкнутой ломаной и ее внутренней области.
В соответствии с первой трактовке, модель многоугольника, к примеру, возможно изготовить из проволоки, по второй — вырезать из бумаги. Какая же из двух трактовок более целесообразна с дидактической точки зрения? (С логической точки зрения обе трактовки корректны и есть в праве на существование.) Для мелких детей более естественным есть именовать квадратом, треугольником и т. д. конкретно ту фигуру, которую они закрасили и вырезали, т. е. ломаную вместе с ее внутренней областью. Исходя из этого представляется, что и для школы вторая трактовка есть более целесообразной.
Многоугольники классифицируются по числу сторон либо углов: треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и т.д. Замечая разные многоугольники, возможно найти наличие либо отсутствие свойства, именуемого выпуклостью.
На илл. 13 изображены многоугольники, владеющие (в случаях/1, Б, Г, Е) и не владеющие (в случаях В, Д, Ж) этим свойством.
Как же геометрически обрисовать это интуитивно ясное свойство? Любой из многоугольников в случаях Л, Б, Г, Е расположен по одну сторону от прямой, совершённой через каждую его сторону, т. е., в случае, если продолжить любую сторону, полученная прямая не пересечет многоугольник (с целью этого на рисунке стороны этих многоугольников продолжены пунктиром). В каждом из многоугольников в случаях В, Д, Ж существует хотя бы одна такая сторона, продолжение которой пересекает многоугольник. Первые именуются выпуклыми, вторые — невыпуклыми.
Треугольник, квадрат, прямоугольник — выпуклые четырехугольники. Пятиконечная звездочка — невыпуклый десятиугольник.
вершины и Стороны многоугольника, т. е. замкнутая ломаная, образуют границу многоугольника. Это интуитивно ясное понятие. К примеру, интуитивное представление о границе фигуры готовит детей к географическому понятию границы.
Чем же отличается граничная точка, т. е. точка, находящеяся в собствености границе, от внутренней точки многоугольника (и по большому счету фигуры)? Как это различие обрисовать геометрически?
С целью этого введем понятие окрестности точки. Под окрестностью точки А будем осознавать круг любого радиуса с центром в точке А. Сейчас, пользуясь этим очень наглядным понятием, обрисуем различие между внутренней и граничной точками многоугольника.
 |
Для любой внутренней точки А, как бы близка она ни была к границе, в любой момент возможно отыскать окрестность, все точки которой внутренние (илл. 14).
Для граничной точки В нет таковой окрестности, т. е., какую бы окрестность точки В ни забрали, внутри ее найдутся как внутренние, так и внешние точки. Такими же особенностями владеют внутренние и граничные точки на географической карте, являющейся некую фигуру .
К примеру, на географической карте России для любой внутренней точки возможно отыскать окрестность, в которой все точки принадлежат территории России. Для любой точки на границе России таковой окрестности нет, т. е. в любой окрестности таковой точки найдутся как точки, находящиеся в собствености России, так и точки, находящиеся в собствености соседнему стране.