Введём еще одну дополнительную чёрта в пространстве сигналов в отображения упорядоченной пары векторов на поле скаляров из F.
Эту операцию именуют скалярным (внутренним) произведением векторов и записывают в виде:
1. В случае, если , то вектора х и у ортогональны.
2. В случае, если –знак Кронекера: при и
при , совокупность векторов – ортонормированная.
Совокупность ортонормированных векторов линейно свободная.
В линейном пространстве со скалярным произведением метрику и норму целесообразно определять через скалярное произведение.
В ТЭС громаднейший интерес воображают следующие линейные нормированные пространства:
1. – n-мерное вещественное евклидово пространство, в котором любой вектор определяется совокупностью n его координат.
Скалярное произведение векторов в этом пространстве:
| (2.1) |
Оно порождает расстояние и норму:
|
(2.2) |
|
(2.3) |
метрики:определения Евклида и Пример нормы в декартовой совокупности координат: заданы два вектора (сигнала) положение которых абсолютно выяснено их координатами (рисунок 2.1).
|
| Рисунок 2.1 – метрики Евклида и Определения нормы в декартовой совокупности координат |
|
|
|
Расстояние между векторами определяет различимость сигналов. Чем больше расстояние (метрика), тем лучше различимы сигналы. Метрика Евклида используется при декодировании свёрточных кодов посредством метода Витерби с мягким ответом. Выигрыш от применения мягкого ответа в отношении сигнал/шум если сравнивать с твёрдым ответом образовывает 2,5 дБ (при квантовании продетектированного сигнала на 8 уровней).
2. – бесконечномерное пространство Гильберта, которое образуют постоянные комплексные либо вещественные функции, заданные на промежутке (0,Т):
| (2.4) |
– квадрат нормы – это энергия сигнала, в случае, если под иметь ввиду напряжение (ток) на сопротивлении 1 Ом. Энергию разностного сигнала возможно представить следующим выражением:
| (2.5) |
В пространстве Гильберта определяется квадрат расстояния между любой парой сигналов (векторов). Величина абсолютно характеризует различие между сигналами.
3. 2n – n-мерное пространство Хэмминга, которое образуют бинарные n-последовательности, обширно применяемые в совокупностях связи.
Норма, метрика в этом пространстве:
|
(2.6) | |||
| где | – | суммирование по модулю «2». | ||
Норма вектора в пространстве Хэмминга определяется общим числом содержащихся в нём единиц, а расстояние между векторами – числом позиций (разрядов) кодовых комбинаций, в которых они различаются.
Примеры:
1. Задана кодовая комбинация (вектор в пространстве Хэмминга): 1011010. Выяснить норму.
– норма данного вектора. Норма вектора в пространстве Хэмминга сходится с числом единиц в кодовой комбинации, т.е. с весом кодовой комбинации.
2. Заданы две кодовые комбинации: 1001011 и 0110010. Выяснить расстояние (метрику) в пространстве Хэмминга между кодовыми комбинациями.
Метрика (расстояние) между кодовыми комбинациями равна 5. Метрика Хэмминга находит широкое использование при декодировании свёрточных кодов по методу Витерби с твёрдым ответом. Чем больше метрика Хэмминга, тем посильнее различима кодовые комбинации.
Выводы
1. Векторное представление применимо как для детерминированных функций, так и для случайных. В последнем случае скалярное произведение, расстояние и норма – случайные размеры.