Уточним постановку задачи.

Схема изучения функции на экстремум

1. Находим частные производные функции нескольких переменных по всем переменным и приравниваем их к нулю.

2. Определяем стационарные точки функции, т.е. те в которых частные производные по всем переменным равны нулю либо хотя бы одна из них не существовала.

3. Применяя достаточное условие экстремума делаем заключение о наличии либо отсутствии экстремума в критических точках.

Правило определения экстремума двух переменных.

Дабы выяснить экстремум (двух переменных) направляться:

1. Выяснить стационарные точки в которых функция может быть около экстремума, для чего решаем совокупность уравнений

либо

2. Находим вторые частные производные , , либо , , .

3. Вычислить значения вторых частных производных в каждой стационарной точке, а полученные числа обозначить соответственно через , , .

4. Составляем выражение

Наряду с этим,

а) В случае, если , то экстремум в стационарной точке имеется

I. В случае, если (либо ), то будет минимум

II. В случае, если (либо ), то будет максимум

б) В случае, если , то экстремума в разглядываемой стационарной точке нет

в) В случае, если , то имеет место вызывающий большие сомнения случай и для заключения об экстремуме требуется воспользоваться частными производными порядка выше второго.

Пример. Изучить на экстремум .

Нам известно для функции двух переменных (1)

Условие (1) есть нужным условием экстремума.

Достаточные условия экстремума для функции выражаются посредством определителя , где , , , то есть

1. В случае, если , то — точка экстремума

а) В случае, если (либо ), то будет минимум

б) В случае, если (либо ), то будет максимум

2. В случае, если , то в точке экстремума нет

3. В случае, если , то требуется дополнительные изучения функции, к примеру, по символу приращения вблизи данной точки.

1. Находим частные производные 1го и 2го порядка:

2. Обращаем в ноль все первые производные, возьмём совокупность уравнений для определения критических точек.

Разбиваем данную совокупность на две:

А)

В)

Решаем совокупность А)

. ,

Решаем совокупность В)

— комплексные корни. Не принимаем к сведенью.

Взяты две критические точки и .

Вычисляем значения производных второго порядка в этих точках и находим определитель.

, ,

Т.к. в точке нет экстремума (из достаточных условий)

, ,

Т.к. и , то в точке функция имеет максимум, причем

Условный (несвободный) экстремум.

Ранее мы разглядывали локальные экстремумы. Разглядим задачу об определении экстремума функции нескольких переменных при наличии дополнительных условий (уравнений связи). Эта задача носит название задачи об условном (относительном) экстремуме.

Пускай на множестве задана функция , . На кроме этого выяснены функции ( ).

Задача. Отыскать экстремум при наличии дополнительных условий (уравнений связи)

(1)

Пускай , .

Матрица Якоби

При — определитель Якоби (Якобиан).

Уточним постановку задачи.

Обозначим

Пускай , ( ) выяснены на , , — множество ответов совокупности (1). именуется точкой условного экстремума при исполнении уравнений (1) — точка локального экстремума на .

Замечание. Условный максимум (минимум) – это громаднейшее (мельчайшее) значение функции в точке по отношению не ко всем точкам из некоей окрестности точки ( ), а лишь к тем из них, каковые связаны между собой уравнениями связи.

Предположим сейчас, что

1) , ;

Из условия 2) направляться, что один из миноров порядка матрицы Якоби .

Пускай данный минор

Тогда в соответствии с теореме о существовании неявных функций в

Причем ,

Разглядим сложную функцию

— точка условного экстремума функции при условии 1) — точка локального экстремума функции .

Подтверждение.

Подтверждение направляться из того, что из теоремы о неявных функциях, условия 1) и 2) – эквиваленты.

дает способ отыскания условного экстремума, в то время, когда уравнения (2) смогут быть отысканы очевидно, что не всегда допустимо. Отметим потом, что строим матрицу Якоби – координаты градиентов , т.е. условие условие независимости строчков условие независимости , т.е. из условия:

Возможно кроме этого разглядеть

Пускай

Тогда — стационарная точка для функции .

(3)

Разумеется (3) условие зависимости

В скалярном виде оно эквивалентно.

(4)

Разглядим функцию

, (5)

(5) – функция Лагранжа, — множитель Лагранжа

Условия (4) – эквивалентны условию стационарной функции Лагранжа

(6)

Т.е. , причем

Следствие. (Нужное условие существования условного экстремума)

При указанных условия. В случае, если — точка условного экстремума, то — стационарная для функции Лагранжа.

Подтверждение.

— условный экстремум — стационарная точка функции (3) , т.е. , (6)

Т.о. для отыскания точек, странных на условный экстремум нужно отыскать ответ следующей совокупности:

(7)

где , . Следовательно уравнений довольно — малоизвестных.

Замечание 1. Отыщем дифференциалы в совокупности (1)

(8)

Для предстоящего видно, что дифференциалов возможно отыскать из (8), т.к. .

Замечание 2. Пускай ,

где (при ) открытое множество.

Пускай множество есть « » мерным пространством . Разглядим отображение , где

, причем и кое-какие постоянные. Тогда для локального условного экстремума функции на множестве имеем при некоем выборе постоянных . Тем самым задача об отыскании условных экстремумов сводится к ответу следующей совокупности « » уравнений с « » малоизвестными

где , .

Th 3 (Достаточное условие существования условного экстремума)

Пускай

3) — стационарная точка для функции Лагранжа.

Тогда

а) — условный минимум

б) — условный максимум.

Пример 1. Отыскать условный экстремум функции при условии .

Ответ.

1й метод.

Составим функцию Лагранжа.

Отыщем стационарные (критические) точки, решив совокупность уравнений:

— критическая точка

Но . Тогда точка — точка условного минимума.

Проверить, что для исходной функции точка не есть минимумом.

2й метод. (Вероятен не всегда)

— минимум.

Пример 2. Отыскать условный экстремум функции на прямой

Ответ.

1) Составим функцию Лагранжа:

, , . В точке — это имеется знакопеременная квадратичная форма. Следовательно, точка не экстремальная точка функции , но эта точка возможно экстремальной точкой функции при условии связи . Из этого условия связи имеем .учитывая это соотношение для приобретаем:

— отрицательно определенная квадратичная форма, и, следовательно, точка есть точкой локального максимума функции из условия связи .

Пример 3. Исследуем, имеет ли функция условный экстремум в точке , в случае, если (*).

Ответ.

Составляем функцию Лагранжа

Координаты критической точки должны удовлетворять совокупности:

(1)

По проверке убеждаемся, что при , , , — ответ совокупности (1)

В точке вероятен условный экстремум функции с условием связи (*), причем .

Находим второй дифференциал функции Лагранжа

В силу условий связи

Исходя из этого при , , имеем:

в точке

Т.к. в данной точке есть отрицательно определенной квадратичной формой, то функция в точке имеет локальный максимум. Следовательно, точка имеется точка условного максимума функции при условии функции связи (*).

Пример 4. Отыскать extr. f. f(x,y,z)=

Ответ. ,

Решив совокупность находим единственную стационарную (.) M (

Определим в данной точке (.) M вторые производные.

= -1 .

Возьмём матрицу квадратной формы.

А =

И главные (угловые) миноры.

0; = =

Т.о матрица порождает положительно определенную квадратичную форму и (.) М Точка min f(x) = .

Пример 5. Изучить на extr f(x,y)=14 .

Ответ.

Решив совокупность,возьмём 4-ре пары ответов, при которых исследуемая функция может иметь extr.

2) Определим 2-е производные

;

3) Для каждой пары значения определим числа

а) А = ; B =

Число ? = а так как А= 84 0,то имеет месть min.

Min f(1,1) = 14*1+27*1-69-54=-82.

б) А = B =

? = = extr нет.

с) . А= -84, В = -54, С = -54.

? = = (-84)*(-54)-(- 0 extr имеется т.к A=-84 max.

max f(-1,1)=-14-27+69+54 = 82.

d) A = — C = — .

? = =(- — нет.

Пример 6. Изучить на extr f(x,y,z) =

Ответ.

Решив эту совокупность, мы возьмём пять критических точек.

(

= -2; ; ;

Поставив, преобразовав возьмём :

Так как есть отрицательно определенной квадратичной формой ,то в (.) функция f имеет строгий локальный min.

Для анализа квадратичной формы

применим Критерий Сильвестра.

Матрица данной формы имеет форму:

её главные угловые миноры

2 0 0

Распределение знаков этих миноров говорит о том, что квадратичная форма знакопеременная в (.) функция не имеет extr. Точка – седловая (.) функции.

Подобно в остальных (…) — (самостоятельно)- убедитесь ,что это седловые точки.

Уточним постановку задачи.

Правильная постановка задач и целей в менеджменте. Александр Фридман

Интересные записи: