Пример 1. Отыскать угол между векторами и , в случае, если , , , .
Ответ. Используем формулу . Определим координаты векторов и , учитывая, что при сложении векторов мы складываем одноименные координаты, а при умножении вектора на число – умножаем на это число каждую координату этого вектора, а: , .
Отыщем скалярное произведение векторов и и их длины. , , . Подставив в формулу, возьмём . Из этого .
Пример 2. Параллелограмм выстроен на векторах и , где , , . Вычислить длину диагоналей этого параллелограмма, угол между диагоналями и площадь параллелограмма.
Ответ.
, ,
.
Угол между диагоналями обозначим буквой , тогда
Следовательно, .
Применяя свойства векторного произведения, вычислим площадь параллелограмма:
Пример 3. Компланарны ли векторы , , ?
Ответ. В случае, если векторы компланарны, то по свойству 4) их смешанное произведение равняется нулю. Удостоверимся в надежности это. Отыщем смешанное произведение данных векторов, вычислив определитель:
векторы , , некомпланарны.
Пример 4. Отыскать точку , дробящую отрезок в отношении , в случае, если .
Ответ. Определим координаты точки :
. Так, .
Пример 5. Пирамида задана координатами собственных вершин , , . Требуется отыскать: 1) длины ребер и ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани, содержащей вершины ; 4) количество пирамиды; 5) уравнения прямых и ; 6) уравнение высоты , опущенной из вершины на плоскость ; 7) расстояние от вершины до плоскости ; 
угол между гранью и ребром, содержащей вершины .
Ответ.1) Длины ребер и определим как модуль векторов и по формулам ;
;
2) Отыщем координаты векторов и :
Длины этих векторов, т.е. длины ребер и , таковы: ,
. Косинус угла между ребрами и вычислим по формуле
;
3) Площадь грани (треугольника) равна половине площади параллелограмма, выстроенного на векторах и , т.е. добрая половина модуля векторного произведения этих векторов, которое равняется
.
Тогда, (кв. ед);
4) Количество пирамиды равен .
(куб. ед);
5) Уравнения прямых и отыщем как уравнения прямых, проходящих через две эти точки:
( ): ,
( ): (абсциссы точек и однообразные);
6) Направляющим вектором высоты есть обычный вектор плоскости . Возьмём уравнение плоскости :
,
– уравнение плоскости . Тогда обычный вектор плоскости имеет координаты . Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет форму: ;
7) Для вычисления расстояния от вершины до плоскости воспользуемся формулой . В нашем случае – уравнение плоскости и . Итак, ;
Угол между плоскостью и прямой находят по формуле:
, где – обычный вектор плоскости . и (см. п.7) .
Так, ,
.
Задания для независимой работы
1. Отыскать угол между векторами и , в случае, если , .
А) , ,
Б) , ,
В) , ,
2. Параллелограмм выстроен на векторах и , где А) , , .
Б) , , .
В) , , .
Вычислить длину диагоналей этого параллелограмма, угол между диагоналями и площадь параллелограмма.
2. Компланарны ли векторы
А) , , ,
Б) , , ,
В) , , ?
3. Отыскать точку , дробящую отрезок в отношении , в случае, если
А) .
Б) .
В) .
4. Пирамида задана координатами собственных вершин
А) , , ,
Б) , , ,
В) , , .
Требуется отыскать: 1) длины ребер и ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани, содержащей вершины ; 4) количество пирамиды; 5) уравнения прямых и ; 6) уравнение высоты , опущенной из вершины на плоскость ; 7) расстояние от вершины до плоскости ; угол между гранью и ребром, содержащей вершины .
Форма контроля: Проверка заданий и решений задач
4. Функции комплексного пременного
Форма контроля: Проверка заданий и решений задач
Дифференциальное и интегральное исчисления
Пределы.
Пример:Отыскать пределы функций
а) б)
в) г)
д) е)
ж) з)
Ответ:
а) Яркая подстановка предельного значения довода x=2 ведет к неопределённости вида (0/0). Дабы раскрыть эту неопределённость, разложим знаменатель и числитель на множители по формуле где x1 и x2 находятся как корни квадратных трёхчленов стоящих в знаменатели и числители
Так как довод x лишь пытается к собственному предельному значению -2, но не сходится с ним, то множитель (x+2) отличен от нуля при х -2 и возможно сократить на (x+2). В следствии будем иметь:
б) При x® ¥ имеем неопределенность вида (¥/¥). Поделим знаменатель и числитель дроби на x2 (x¹0) при х ®¥. Возьмём:
= = 2,
(так как при х ®¥ 7/x ® 0, 6/x2 ® 0, 5/x ® 0, 9/x2 ® 0).
в) Яркая подстановка даёт неопределённость вида(0/0).
Используем формулу сокращённого умножения (a-не сильный)(a+b)=a2 +b2. Умножим знаменатель и числитель дроби на выражения: и .
Имеем:
г) При х ®¥ основание пытается к 1, а показатель степени (4x+1) пытается к ¥. Значит, имеем неопределённость вида (1¥).
Будем применять второй превосходный предел .
Сведем исходное выражение заданного предела ко второму превосходному пределу:
Положим . Тогда . Выразим показатель степени через переменную :
Помимо этого, при х ®¥, новая переменная y ®¥.
Так
Задания для независимой работы
1) а) б) в) г)
2) а) б) в) г)
3) а) б) в) г)
4) а) б) в) г)
5) а) б) в) г)
6) а) б) в) г)
7) а) б) в) г)
а) б) в) г)
9) а) б) в) г)
10) а) б) в) г)
Форма контроля: Проверка заданий и решений задач