Элементы математического анализа

непрерывность и Пределы

Отметим кое-какие теоремы о пределах, каковые довольно часто используются для ответа задач.

В случае, если существуют конечные пределы Элементы математического анализа и Элементы математического анализа , то

1) Элементы математического анализа ;

2) Элементы математического анализа ;

3) Элементы математического анализа ( в случае, если Элементы математического анализа ).

Отметим еще два превосходных следствия и предела из них:

1) Элементы математического анализа ;

2) Элементы математического анализа ;

3) Элементы математического анализа ; 4) Элементы математического анализа ; 5) Элементы математического анализа .

Задача. Отыскать указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

а) Элементы математического анализа ;

б) Элементы математического анализа ;

в) Элементы математического анализа ;

г) Элементы математического анализа ;

д) Элементы математического анализа ;

е) Элементы математического анализа . ж) Элементы математического анализа .

Ответ. а) В случае, если Элементы математического анализа , то для нахождения предела частного двух многочленов достаточно поделить и числитель, и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на Элементы математического анализа , где Элементы математического анализа — степень многочлена, стоящего в знаменателе: Элементы математического анализа Элементы математического анализа .

б) Умножим знаменатель и числитель дроби на Элементы математического анализа , избавившись тем самым от иррациональности в знаменателе. Итак,

Элементы математического анализа

Элементы математического анализа

Элементы математического анализа

Элементы математического анализа .

в) Для решения данной задачи воспользуемся первым превосходным пределом:

Элементы математического анализа

Элементы математического анализа

Элементы математического анализа

(Так как Элементы математического анализа при Элементы математического анализа ).

г) Для решения данной задачи воспользуемся вторым превосходным пределом:

Элементы математического анализа

Элементы математического анализа .

Последнее равенство вытекает из того, что в квадратной скобке стоит Элементы математического анализа , где Элементы математического анализа .

Решения задач е, ж подобны ответу задачи а.

К примеру, задача ж имеет следующее ответ:

Элементы математического анализа .

Производная функции

Производная функция Элементы математического анализа от функции Элементы математического анализа в данной точке Элементы математического анализа определяется равенством

Элементы математического анализа .

Таблица производных выглядит следующим образом:

1. Элементы математического анализа . 2. Элементы математического анализа .

3. Элементы математического анализа , в частности Элементы математического анализа .

4. Элементы математического анализа , в частности Элементы математического анализа .

5. Элементы математического анализа . 9. Элементы математического анализа .

6. Элементы математического анализа . 10. Элементы математического анализа .

7. Элементы математического анализа . 11. Элементы математического анализа .

8. Элементы математического анализа . 12. Элементы математического анализа .

Главные правила дифференцирования

1. Элементы математического анализа 2. Элементы математического анализа ,в частности,Элементы математического анализа 3. Элементы математического анализа ,где Элементы математического анализа

Задача. Отыскать производные следующих функций:

а) Элементы математического анализа ; б) Элементы математического анализа .

Ответ. а) Преобразуем выражение в скобках, переходя к дробным и отрицательным показателям. Возьмём

Элементы математического анализа .

Применяя суммы дифференцирования и правило произведения находим Элементы математического анализа Элементы математического анализа =

= Элементы математического анализа Элементы математического анализа .

б) Совершим предварительное преобразование функции:

Элементы математического анализа = Элементы математического анализа .

Применяя правила дифференцирования произведения, частного и суммы, возьмём

Элементы математического анализа =

= Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа .

Дифференцирование сложной функции

В случае, если функция Элементы математического анализа дифференцируема в точке Элементы математического анализа , а функция Элементы математического анализа дифференцируема в точке Элементы математического анализа , то сложная функция Элементы математического анализа дифференцируема в точке Элементы математического анализа и

Элементы математического анализа ,

где индекс внизу показывает, по какой переменной берется производная.

Задача. Отыскать производные следующих функций:

а) Элементы математического анализа ; г) Элементы математического анализа ;

б) Элементы математического анализа ;

в) Элементы математического анализа ;

Ответ. а) Функцию Элементы математического анализа представим как композицию функций Элементы математического анализа и Элементы математического анализа . Применяя таблицу производных, находим: Элементы математического анализа , Элементы математического анализа .

Тогда

Элементы математического анализа Элементы математического анализа .

б) Функцию Элементы математического анализа представим как композицию функций Элементы математического анализа ,

Элементы математического анализа и Элементы математического анализа .Отыщем производные по промежуточным доводам: Элементы математического анализа , Элементы математического анализа и Элементы математического анализа .

Производную сложной функции находим по формуле Элементы математического анализа . Совсем возьмём Элементы математического анализа = Элементы математического анализа Элементы математического анализа .

Подобно решается задача в:

Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа =

= Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа = Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа .

г) Предварительно упростив выражение, определяющее функцию, до вида

Элементы математического анализа ,

находим производную:

Элементы математического анализа .

Методические указания к исполнению

Контрольной работы № 2

Приложение производной функции одной переменной

Теорема Лопиталя. Пускай функции Элементы математического анализа и Элементы математического анализа дифференцируемы в некоей окрестности точки Элементы математического анализа за исключением, возможно, самой точки Элементы математического анализа и постоянны в данной окрестности (включая саму точку Элементы математического анализа ), причем Элементы математического анализа и Элементы математического анализа = Элементы математического анализа =0. Тогда, в случае, если существует Элементы математического анализа , то существует Элементы математического анализа и эти пределы равны, другими словами

Элементы математического анализа .

Так, для нахождения предела Элементы математического анализа (для раскрытия неопределенности типа ( Элементы математического анализа )) достаточно отыскать производные знаменателя и числителя дроби и вычислить предел Элементы математического анализа .

Такое же правило используется при Элементы математического анализа , и для раскрытия неопределенностей типа ( Элементы математического анализа ).

Замечание. В случае, если производные знаменателя и числителя со своей стороны стремятся к нулю либо Элементы математического анализа , то обрисованное правило используется повторно и без того потом.

Пример.Вычислить Элементы математического анализа .

Ответ.

Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа .

Пример.Вычислить Элементы математического анализа .

Ответ.

Элементы математического анализа = Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа .

В случае, если функция Элементы математического анализа постоянна на замкнутом промежутке Элементы математического анализа , то громаднейшее и мельчайшее значения она принимает либо на финишах этого отрезка, либо в точках ее экстремума. Следовательно, для ответа поставленной задачи нужно определить значения функции на финишах отрезка Элементы математического анализа и в стационарных точках, которыми владел этому отрезку. После этого из них выбрать мельчайшее и громаднейшее значения.

Пример.

Отыскать громаднейшее и мельчайшее значения функции Элементы математического анализа на отрезке Элементы математического анализа .

Ответ. Определяем критические, либо стационарные, точки функции Элементы математического анализа :

Элементы математического анализа ; Элементы математического анализа ; Элементы математического анализа ; Элементы математического анализа .

Разглядываем лишь те стационарные точки, каковые принадлежат отрезку Элементы математического анализа . Таковой точкой есть точка Элементы математического анализа .

Вычисляем значения функции на финишах промежутка и в точке Элементы математического анализа :

1) Элементы математического анализа Элементы математического анализа ;

2) Элементы математического анализа = Элементы математического анализа ;

3) Элементы математического анализа = Элементы математического анализа .

Ясно, что громаднейшее значение функции будет равняется Элементы математического анализа , которое она принимает в точке Элементы математического анализа ; мельчайшее значение принимается функцией в точке Элементы математического анализа и равняется Элементы математического анализа .

построение и Общее исследование функций их графиков комфортно делать по следующей схеме:

1) Отыскать область определения функции.

2) Отыскать точки пересечения с осями координат.

3) Узнать, не есть ли функция четной либо нечетной, периодической либо непериодической.

4) Отыскать точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках. Установить промежутки монотонности функции.

5) Отыскать точки перегиба графика функции, вычислить значения функции в этих точках. Установить вогнутости графика и интервалы выпуклости функции.

6) Отыскать асимптоты графика функции.

7) Применяя данные исследований, выстроить график функции.

Пример. Изучить функцию Элементы математического анализа и выстроить ее график.

Ответ.

1) Функция выяснена и постоянна на всей оси. Итак, Элементы математического анализа .

2) Отыщем точки пересечения с осями координат.

а) с осью ОХ: Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа , Элементы математического анализа .

Следовательно, точки пересечения с осью ОХ — Элементы математического анализа , Элементы математического анализа , Элементы математического анализа , Элементы математического анализа ;

б) с осью ОY: Элементы математического анализа Элементы математического анализа .

Следовательно, точка пересечения с осью ОY — Элементы математического анализа .

3) Функция четная, поскольку Элементы математического анализа Элементы математического анализа (исходя из этого ее график будет симметричен относительно оси OY).

Функция непериодическая.

4) Посредством первой производной отыщем убывания функции и промежутки возрастания.

Имеем Элементы математического анализа =0. Следовательно, точки Элементы математического анализа , Элементы математического анализа , Элементы математического анализа будут странными на экстремум. Разбиваем всю область определения на промежутки Элементы математического анализа , Элементы математического анализа , Элементы математического анализа , Элементы математического анализа и исследуем функцию для Элементы математического анализа . Информация о поведении функции на промежутке Элементы математического анализа нужна для анализа функции в точке Элементы математического анализа . По символу производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Данные исследований заносим в таблицу:

Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа
Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа
Элементы математического анализа Возрастает Элементы математического анализа Убывает Элементы математического анализа Возрастает

5) Дабы изучить функцию на выпуклость, отыщем вторую производную:Элементы математического анализа .Находим точки, в которых Элементы математического анализа либо Элементы математического анализа не существует.

Элементы математического анализа при Элементы математического анализа .

Исследуем символ второй производной на промежутках Элементы математического анализа , Элементы математического анализа , Элементы математического анализа и данные исследований представим в таблице:

Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа
Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа
Элементы математического анализа Выпукла Перегиб Вогнута Перегиб Выпукла

6) Вертикальных асимптот нет, потому, что область определения функции – вся числовая ось.

Отыщем наклонную асимптоту Элементы математического анализа :

Элементы математического анализа = Элементы математического анализа .

Следовательно, наклонных асимптот нет.

7) На базе исследования функции строим ее график (рис.1).

Элементы математического анализа

Рис. 1

Пример. Изучить функцию Элементы математического анализа и выстроить ее график.

Ответ.

1) Функция выяснена и постоянна на всей оси, не считая точки Элементы математического анализа . Итак, Элементы математического анализа .

2) Отыщем точки пересечения с осями координат.

а) с осью ОХ: Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа .

Следовательно, точка пересечения с осью ОХ — Элементы математического анализа .

б) с осью ОY: Элементы математического анализа Элементы математического анализа .

Следовательно, точка пересечения с осью ОY — Элементы математического анализа .

3) Функция неспециализированного вида, поскольку Элементы математического анализа Элементы математического анализа .

Функция непериодическая.

4) Посредством первой производной отыщем убывания функции и промежутки возрастания.

Имеем Элементы математического анализа Элементы математического анализа .

Следовательно, точка Элементы математического анализа будет странной на экстремум. Точка Элементы математического анализа , в которой производная не существует, но в данной точке не существует и функция. Разбиваем всю область определения на промежутки Элементы математического анализа , Элементы математического анализа , Элементы математического анализа и исследуем функцию на указанных промежутках. По символу производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Данные исследований заносим в таблицу:

Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа
Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа нет
Элементы математического анализа Убывает Элементы математического анализа Возрастает нет Убывает

5) Дабы изучить функцию на выпуклость, отыщем вторую производную:

Элементы математического анализа

Элементы математического анализа .

Находим точки, в которых Элементы математического анализа либо Элементы математического анализа не существует: Элементы математического анализа при Элементы математического анализа , не существует при Элементы математического анализа .Исследуем символ второй производной на промежутках Элементы математического анализа , Элементы математического анализа , Элементы математического анализа и данные исследований представим в таблице:

Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа
Элементы математического анализа Элементы математического анализа Элементы математического анализа нет Элементы математического анализа
Элементы математического анализа Вогнута Перегиб Выпукла нет Выпукла

6) Отыщем вертикальные асимптоты:

Исследуем поведение функции в окрестности точки Элементы математического анализа :

Элементы математического анализа ; Элементы математического анализа .

Пределы не конечны, следовательно, вертикальная асимптота имеет форму: Элементы математического анализа .

Отыщем наклонную асимптоту Элементы математического анализа :

Элементы математического анализа ;

Элементы математического анализа .

Следовательно, наклонная асимптота: Элементы математического анализа .

7) На базе исследования функции строим ее график (рис.2).

Элементы математического анализа

Рис. 2

Неизвестный интеграл

Функция Элементы математического анализа именуется первообразной функции Элементы математического анализа на некоем промежутке Элементы математического анализа , в случае, если Элементы математического анализа для всех значений Элементы математического анализа . В случае, если Элементы математического анализа — первообразная Элементы математического анализа , то разумеется, что нескончаемое множество всех первообразных Элементы математического анализа , отличающихся лишь константой, кроме этого будет первообразной Элементы математического анализа . Множество всех первообразных функций Элементы математического анализа Элементы математического анализа именуется неизвестным интегралом от функции Элементы математического анализа и обозначается Элементы математического анализа . Наряду с этим Элементы математического анализа именуется подынтегральной функцией, Элементы математического анализа — подынтегральным выражением, Элементы математического анализа — переменной интегрирования.

В соответствии с приведенному выше:

Элементы математического анализа ,

где Элементы математического анализа — некая первообразная функции Элементы математического анализа ; Элементы математического анализа — произвольная постоянная.

Неизвестный интеграл владеет следующими особенностями:

1) Элементы математического анализа .

2) Элементы математического анализа .

3) Элементы математического анализа , где Элементы математического анализа .

4) Элементы математического анализа .

5) Элементы математического анализа .

Таблица главных неизвестных интегралов:

1) Элементы математического анализа 2) Элементы математического анализа
3) Элементы математического анализа 4) Элементы математического анализа
5) Элементы математического анализа 6) Элементы математического анализа
7) Элементы математического анализа 8) Элементы математического анализа
9) Элементы математического анализа 10) Элементы математического анализа
11) Элементы математического анализа 12) Элементы математического анализа
13) Элементы математического анализа 14) Элементы математического анализа

Весь курс мат. анализа. Часть 1. Теория пределов


Интересные записи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: