Обоюдное размещение прямых в пространстве
Разглядим две прямые, записанные в каноническом виде
и 
,
где 
и 
– точки, находящиеся в собствености этим прямым, а 
и 
– направляющие векторы этих прямых.
1. Прямые параллельны, в случае, если параллельны их направляющие векторы:
. (5.13)
Но направляющие векторы прямых не должны быть параллельны вектору 
.
2. Прямые перпендикулярны, в случае, если перпендикулярны их направляющие векторы:
(5.14)
3. В случае, если прямые образуют угол 
, то
. (5.15)
4. Прямые скрещиваются, если они лежат в различных плоскостях, другими словами векторы 
, 
и 
не компланарны:
. (5.16)
Пример 9. Установите обоюдное размещение прямых 
и 
.
Ответ. 1. В соответствии с условию запишем: 
, 
, 
, 
.
2. Узнаем, являются ли прямые параллельными: 
. Так как не выполняется условие 5.13, то эти прямые не параллельны.
3. Узнаем, являются ли прямые скрещивающимися:
.
Так как выполняется условие 5.16, то эти прямые скрещиваются.
Ответ: прямые скрещиваются.
Пример 10. Отыщите угол между прямыми 
и 
.
Ответ. 1. Запишем направляющие векторы этих прямых:
и 
.
2. Отыщем скалярное произведение направляющих векторов:
.
Так как эти прямые перпендикулярны, то 
.
Ответ: 
.
плоскости и Взаимное расположение прямой
Разглядим плоскость 
и прямую 
.
1. Прямая параллельна плоскости, в случае, если
. (5.17)
2. Прямая перпендикулярна плоскости, в случае, если
. (5.18)
3. В случае, если прямая образует с плоскостью угол , то
. (5.19)
Пример 11. Определите значение p, при котором прямая 
параллельна плоскости 
.
Ответ. В соответствии с условию задачи запишем:
, 
, 
, 
, 
, 
.
Подставляя эти значения в формулу 5.17, возьмём:
, откуда 
.
Ответ: 3.
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки 
до плоскости
с обычным вектором 
находят по формуле:
. (5.20)
Пример 12. Отыщите расстояние между плоскостями 
и 
.
Ответ. 1. Эти плоскости параллельны, поскольку выполняется условие 5.6: 
.
2. Отыщем любую точку, принадлежащую первой плоскости. К примеру, полагая 
, а 
, возьмём 
.
2. Отыщем расстояние от точки 
до плоскости 
. В соответствии с формуле 5.20 запишем:
.
Ответ: 
.
Контрольный тест 5
Укажите верный вариант ответа (1 – 10):
1. В случае, если точка 
в собственности плоскости
,
а вектор 
– обычный вектор данной плоскости, то значение D равняется
Варианты ответов: 1) 0; 2) 14; 3) – 8; 4) – 24; 5) 24.
2. В случае, если плоскость проходит через точки 
, 
и 
, то сумма координат обычного вектора данной плоскости равна
Варианты ответов: 1) 4; 2) 9; 3) 0; 4) – 4; 5) 17.
3.В случае, если 
– обычный вектор плоскости 
, а 
– обычный вектор плоскости 
, то угол между этими плоскостями равен
Варианты ответов: 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
4. Расстояние от точки 
до плоскости 
равняется
Варианты ответов:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
5.Плоскости 
и 
перпендикулярны при условии, что значение n равняется
Варианты ответов: 1) – 2; 2) 1; 3) 0; 4) 4; 5) – 5.
6.В случае, если прямая 
параллельна вектору 
и проходит через точку 
, то значение выражения 
равняется
Варианты ответов: 1) 10; 2) 15; 3) – 24; 4) 24; 5) – 6.
7.В случае, если прямая перпендикулярна векторам 
и 
, то она параллельна вектору
Варианты ответов: 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
8. В случае, если точки 
, 
, 
и 
– вершины пирамиды, то безотносительная величина скалярного произведения обычных векторов граней ABC и ADC равна
Варианты ответов: 1) 3; 2) 0; 3) 1; 4) – 6; 5) 33.
9. В случае, если точки , , и – вершины пирамиды, то угол между гранями ABC и ADC равен
Варианты ответов:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
10. В случае, если точки , , и – вершины пирамиды, то прямая AD образует с гранью ABC угол, величина которого равна
Варианты ответов:
1) ; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
ФУНКЦИИ
6.2. Функция: определения и основные понятия
Функцией 
именуют такую зависимость переменной 
от переменной 
, при которой каждому допустимому значению 
соответствует единственное значение 
. Наряду с этим переменную х именуют свободной переменной либо доводом функции, а переменную у – зависимой от х переменной либо значением функции.
К примеру, равенства 
, 
, 
, 
, 
– функции.
Уравнение задает функцию очевидно, а уравнение 
задает функцию неявно. Дабы задать функцию очевидно, нужно в уравнении выразить одну переменную через другую.
К примеру, зададим очевидно уравнение преувеличения 
, выразив переменную y через переменную x: 
Но, не всякое равенство, содержащее переменные, есть функцией. К примеру, уравнение окружности 
нельзя считать функцией, поскольку каждому значению х соответствует два значения у.
К примеру, в случае, если уравнение окружности имеет форму 
, то при 
возьмём: 
. Но в случае, если разглядывать не всю окружность, а лишь ее часть, то возможно конкретно записать у, как функцию от х. Так, к примеру, в случае, если забрать часть окружности, расположенную над осью абсцисс, то 
, а вдруг забрать часть окружности, расположенную под осью абсцисс, то 
.
Множество всех допустимых значений переменной 
образуют область определения функции. Область определения функции обозначают 
. Множество всех допустимых значений переменной 
образуют область значений функции. Область значений функции обозначают 
.
К примеру:
1) областью определения функции 
есть множество всех настоящих чисел и область значений данной функции – множество всех настоящих чисел;
2) область определения функции 
составляют числа, находящиеся в собствености промежутку 
, а область ее значений – числа, находящиеся в собствености промежутку 
.
Графиком функции 
именуют множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, другими словами точек вида 
. График функции представляет собой некую линию на плоскости. Дабы выстроить график функции, возможно, придавая переменной х каждые допустимые значения, отыскать соответствующие им значения функции и нанести полученные точки на координатную плоскость. Соединив эти точки, возьмём график функции. Наряду с этим выстроенный так график не всегда верно отражает функциональную зависимость между переменными. Дабы выстроить графическое изображение верно, нужно знать вид функциональной зависимости и наносить на координатную плоскость характерные для данной зависимости точки. В случае, если функция сложная, то выполняют ее полное изучение.
Функция 
возрастает на промежутке (a; b), в случае, если для любых x1 и x2, принадлежащих промежутку (a; b), из неравенства 
направляться неравенство 
(рис. 6.1).
Функция убывает на промежутке (a; b), в случае, если для любых x1 и x2, принадлежащих промежутку (a; b), из неравенства 
направляться неравенство 
(рис. 6.2).
| b |
| y = f (x) |
| а |
| f (x2) |
| f (x1) |
| х2 |
| х1 |
| у |
| х |
| y = f (x) |
| f (x1) |
| f (x2) |
| х2 |
| а |
| х1 |
| у |
| х |
Функция есть монотонной, если она или лишь возрастает, или лишь убывает на .
К примеру, функция, график которой изображен на рисунке 6.3, монотонна, поскольку она возрастает на множестве всех настоящих чисел, а функция, график которой изображен на рисунке 6.4, не монотонна, поскольку на промежутке 
она убывает, а на промежутке 
– возрастает.
| y = f (x) |
| х |
| О |
| у |
| y = f (x) |
| х |
| О |
| у |
Говорят, что числовое множество симметрично относительно точки 
(начала отсчета) координатной прямой, если оно содержит лишь противоположные элементы.
К примеру, числовые множества 
, 
, 
– симметричные, а множества 
, 
и 
– не симметричные.
Функция есть четной, в случае, если: – симметричное множество относительно начала отсчета и 
. График четной функции симметричен относительно оси 
.
Функция есть нечетной, в случае, если: – симметричное множество относительно начала отсчета и 
. График нечетной функции симметричен относительно точки 
.
К примеру:
1) функция 
четная, поскольку:
а) 
– симметричное множество относительно начала отсчета;
б) 
;
2) функция 
четная, поскольку:
а) 
– симметричное множество относительно начала отсчета;
б) 
;
3) функция 
не есть четной и не есть нечетной, поскольку 
.
Функция именуется периодической, в случае, если существует такое число 
, при котором для всех х из области определения функции выполняется равенство 
.
К примеру, тригонометрические функции 
, 
, 
и 
являются периодическими, поскольку выполняются равенства: 
, 
, 
и 
, где 
.
Дабы выстроить график периодической функции, достаточно выстроить ее график на главном (мельчайшем) периоде T и выполнить параллельный перенос этого графика на протяжении оси абсцисс на любое количество периодов влево и вправо.
К примеру, разглядим функцию 
. Увидим, что запись 
обозначает солиднейшую целую часть некоего числа, не превосходящую это число, а запись 
обозначает его дробную часть. Так, к примеру, 
, 
, 
, 
, 
, 
. Тогда функция есть периодической с главным периодом, равным 1. На рисунке 6.5 выстроен график данной функции на ее главном периоде 
, а на рисунке 6.6 выстроен график данной функции на нескольких периодах.
| х |
| О |
| у |
| х |
| О |
| у |
Точки пересечения графика функции с осью абсцисс именуют нулями функции.
Дабы отыскать нули функции нужно решить уравнение 
.
К примеру, отыщем нули функции 
. Решая уравнение 
, возьмём 
, 
и 
.
Функция обратима, т. е. имеет обратную функцию 
, если она либо монотонно возрастает либо монотонно убывает на всей собственной области определения.
Функции и образуют несколько взаимно обратных функций. Взаимно обратные функции владеют следующими особенностями:
1) область определения функции есть областью значений функции , а область значений функции есть областью определения функции , т.е. 
, 
;
2) в случае, если функция монотонно возрастает (убывает), то и функция возрастает (убывает);
3) графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой 
.
К примеру, функции 
и 
(рис. 6.7) взаимно обратные, поскольку формулы и 
высказывают одну и ту же функциональную зависимость между переменными. Причем:
а) 
, 
;
б) обе функции монотонно возрастают на всей области их определения;
в) их графики симметричны относительно прямой .
| y = x |
| y=ax |
| y=loga x |
| О |
| у |
| х |
Дабы отыскать функцию обратную функции нужно решить уравнение довольно переменной х и в этом уравнении заменить х на у, а у заменить на х.
К примеру, отыщем функцию обратную функции . Решим уравнение довольно х, другими словами, выразим переменную х очевидно. Возьмём: 
, 
и 
. Заменив в этом уравнении х на у, а у на х, запишем: 
. Функции и взаимно обратные.
Разглядим две функции 
и 
. Функцию вида 
именуют сложной функцией.
К примеру: 1) в случае, если 
, а 
, то 
;
2) в случае, если 
, а 
, то 
;
3) в случае, если 
, а 
, то 
.
Асимптоты графика функции
Асимптотой линии именуют прямую, к которой неограниченно приближается эта линия, в то время, когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат.
Виды асимптот:
1) вертикальные – параллельные оси Оу;
2) наклонные – пересекающие ось Оу;
3) горизонтальные – параллельные оси ОУ.
1. Уравнение вертикальной асимптоты графика функции 
имеет форму 
, при условии, что выполняется хотя бы одно из условий: 
, 
.
2. Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет форму 
, где
, (6.18)
. (6.19)
3. В случае, если 
, то имеем горизонтальную асимптоту 
.