Элементы математического анализа

непрерывность и Пределы

Отметим кое-какие теоремы о пределах, каковые довольно часто используются для ответа задач.

В случае, если существуют конечные пределы и , то

1) ;

2) ;

3) ( в случае, если ).

Отметим еще два превосходных следствия и предела из них:

1) ;

2) ;

3) ; 4) ; 5) .

Задача. Отыскать указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) . ж) .

Ответ. а) В случае, если , то для нахождения предела частного двух многочленов достаточно поделить и числитель, и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на , где — степень многочлена, стоящего в знаменателе: .

б) Умножим знаменатель и числитель дроби на , избавившись тем самым от иррациональности в знаменателе. Итак,

.

в) Для решения данной задачи воспользуемся первым превосходным пределом:

(Так как при ).

г) Для решения данной задачи воспользуемся вторым превосходным пределом:

.

Последнее равенство вытекает из того, что в квадратной скобке стоит , где .

Решения задач е, ж подобны ответу задачи а.

К примеру, задача ж имеет следующее ответ:

.

Производная функции

Производная функция от функции в данной точке определяется равенством

.

Таблица производных выглядит следующим образом:

1. . 2. .

3. , в частности .

4. , в частности .

5. . 9. .

6. . 10. .

7. . 11. .

8. . 12. .

Главные правила дифференцирования

1. 2. ,в частности, 3. ,где

Задача. Отыскать производные следующих функций:

а) ; б) .

Ответ. а) Преобразуем выражение в скобках, переходя к дробным и отрицательным показателям. Возьмём

.

Применяя суммы дифференцирования и правило произведения находим =

= .

б) Совершим предварительное преобразование функции:

= .

Применяя правила дифференцирования произведения, частного и суммы, возьмём

=

= .

Дифференцирование сложной функции

В случае, если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и

,

где индекс внизу показывает, по какой переменной берется производная.

Задача. Отыскать производные следующих функций:

а) ; г) ;

б) ;

в) ;

Ответ. а) Функцию представим как композицию функций и . Применяя таблицу производных, находим: , .

Тогда

.

б) Функцию представим как композицию функций ,

и .Отыщем производные по промежуточным доводам: , и .

Производную сложной функции находим по формуле . Совсем возьмём = .

Подобно решается задача в:

=

= = .

г) Предварительно упростив выражение, определяющее функцию, до вида

,

находим производную:

.

Методические указания к исполнению

Контрольной работы № 2

Приложение производной функции одной переменной

Теорема Лопиталя. Пускай функции и дифференцируемы в некоей окрестности точки за исключением, возможно, самой точки и постоянны в данной окрестности (включая саму точку ), причем и = =0. Тогда, в случае, если существует , то существует и эти пределы равны, другими словами

.

Так, для нахождения предела (для раскрытия неопределенности типа ( )) достаточно отыскать производные знаменателя и числителя дроби и вычислить предел .

Такое же правило используется при , и для раскрытия неопределенностей типа ( ).

Замечание. В случае, если производные знаменателя и числителя со своей стороны стремятся к нулю либо , то обрисованное правило используется повторно и без того потом.

Пример.Вычислить .

Ответ.

.

Пример.Вычислить .

Ответ.

= .

В случае, если функция постоянна на замкнутом промежутке , то громаднейшее и мельчайшее значения она принимает либо на финишах этого отрезка, либо в точках ее экстремума. Следовательно, для ответа поставленной задачи нужно определить значения функции на финишах отрезка и в стационарных точках, которыми владел этому отрезку. После этого из них выбрать мельчайшее и громаднейшее значения.

Пример.

Отыскать громаднейшее и мельчайшее значения функции на отрезке .

Ответ. Определяем критические, либо стационарные, точки функции :

; ; ; .

Разглядываем лишь те стационарные точки, каковые принадлежат отрезку . Таковой точкой есть точка .

Вычисляем значения функции на финишах промежутка и в точке :

1) ;

2) = ;

3) = .

Ясно, что громаднейшее значение функции будет равняется , которое она принимает в точке ; мельчайшее значение принимается функцией в точке и равняется .

построение и Общее исследование функций их графиков комфортно делать по следующей схеме:

1) Отыскать область определения функции.

2) Отыскать точки пересечения с осями координат.

3) Узнать, не есть ли функция четной либо нечетной, периодической либо непериодической.

4) Отыскать точки экстремума функции, вычислить значения функции в этих точках. Установить промежутки монотонности функции.

5) Отыскать точки перегиба графика функции, вычислить значения функции в этих точках. Установить вогнутости графика и интервалы выпуклости функции.

6) Отыскать асимптоты графика функции.

7) Применяя данные исследований, выстроить график функции.

Пример. Изучить функцию и выстроить ее график.

Ответ.

1) Функция выяснена и постоянна на всей оси. Итак, .

2) Отыщем точки пересечения с осями координат.

а) с осью ОХ: , .

Следовательно, точки пересечения с осью ОХ — , , , ;

б) с осью ОY: .

Следовательно, точка пересечения с осью ОY — .

3) Функция четная, поскольку (исходя из этого ее график будет симметричен относительно оси OY).

Функция непериодическая.

4) Посредством первой производной отыщем убывания функции и промежутки возрастания.

Имеем =0. Следовательно, точки , , будут странными на экстремум. Разбиваем всю область определения на промежутки , , , и исследуем функцию для . Информация о поведении функции на промежутке нужна для анализа функции в точке . По символу производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Данные исследований заносим в таблицу:

	Возрастает		Убывает		Возрастает

5) Дабы изучить функцию на выпуклость, отыщем вторую производную: .Находим точки, в которых либо не существует.

при .

Исследуем символ второй производной на промежутках , , и данные исследований представим в таблице:

	Выпукла	Перегиб	Вогнута	Перегиб	Выпукла

6) Вертикальных асимптот нет, потому, что область определения функции – вся числовая ось.

Отыщем наклонную асимптоту :

= .

Следовательно, наклонных асимптот нет.

7) На базе исследования функции строим ее график (рис.1).

Рис. 1

Пример. Изучить функцию и выстроить ее график.

Ответ.

1) Функция выяснена и постоянна на всей оси, не считая точки . Итак, .

2) Отыщем точки пересечения с осями координат.

а) с осью ОХ: .

Следовательно, точка пересечения с осью ОХ — .

б) с осью ОY: .

Следовательно, точка пересечения с осью ОY — .

3) Функция неспециализированного вида, поскольку .

Функция непериодическая.

4) Посредством первой производной отыщем убывания функции и промежутки возрастания.

Имеем .

Следовательно, точка будет странной на экстремум. Точка , в которой производная не существует, но в данной точке не существует и функция. Разбиваем всю область определения на промежутки , , и исследуем функцию на указанных промежутках. По символу производной определяем монотонность функции на каждом промежутке. Данные исследований заносим в таблицу:

				нет
	Убывает		Возрастает	нет	Убывает

5) Дабы изучить функцию на выпуклость, отыщем вторую производную:

.

Находим точки, в которых либо не существует: при , не существует при .Исследуем символ второй производной на промежутках , , и данные исследований представим в таблице:

				нет
	Вогнута	Перегиб	Выпукла	нет	Выпукла

6) Отыщем вертикальные асимптоты:

Исследуем поведение функции в окрестности точки :

; .

Пределы не конечны, следовательно, вертикальная асимптота имеет форму: .

Отыщем наклонную асимптоту :

;

.

Следовательно, наклонная асимптота: .

7) На базе исследования функции строим ее график (рис.2).

Рис. 2

Неизвестный интеграл

Функция именуется первообразной функции на некоем промежутке , в случае, если для всех значений . В случае, если — первообразная , то разумеется, что нескончаемое множество всех первообразных , отличающихся лишь константой, кроме этого будет первообразной . Множество всех первообразных функций именуется неизвестным интегралом от функции и обозначается . Наряду с этим именуется подынтегральной функцией, — подынтегральным выражением, — переменной интегрирования.

В соответствии с приведенному выше:

,

где — некая первообразная функции ; — произвольная постоянная.

Неизвестный интеграл владеет следующими особенностями:

1) .

2) .

3) , где .

4) .

5) .

Таблица главных неизвестных интегралов:

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)
9)	10)
11)	12)
13)	14)

Весь курс мат. анализа. Часть 1. Теория пределов

Интересные записи:

• Философия и методология науки в россии хх века.
• Философия иммануила канта (1724 — 1804).
• Философия как рефлексия над основаниями культуры
• Философия, мировоззрение, культура. понятие мировоззрения, его структура и исторические типы.