В архитектуре как мы знаем, что объекты, выстроенные с соблюдением золотых пропорций, владеют высокими гармоничностью и эстетическими качествами собственных частей. Для древних греков, обширно использовавших золотые пропорции в проектировании собственных сооружений, условием гармонии либо устойчивого совершенства являлось присутствие пропорциональной связи между всеми элементами сооружения. Да и само слово «гармония» свидетельствует в переводе с древнегреческого – «сообщение». А гармоничное сочетание частей в целом выражается через числовое соотношение – пропорции. Возможно заявить, что гармония это совокупность качеств, пропорционированная природе. Либо, иначе говоря разнообразие элементов (предметов, фигур, чисел и т.д.), пропорционированное природным параметрам. Что же обусловливает появление гармонии? Какие конкретно качества говорят о ее наличии?
К гармонически выдержанным неестественным либо числовым совокупностям, отображающим природные процессы, возможно отнести совокупность следующих особенностей:
Пропорционирование элементов золотому числу.
Единство целого в многообразии.
Общая связь между элементами.
Структурность одного отношения, разрешающая восстанавливать совокупность по минимуму данных.
Отсутствие случайных элементов и операций в совокупности.
Степенная и арифметическая комбинаторика элементов.
Память числа (любой элемент не забывает о наличии остальных). И т.д.
Все эти свойства возможно и не перечислять, потому что они заложены в пропорционировании по золотому числу. Но ученые еще не обучились осознавать и применять золотое сечение так, дабы его возможно было использовать ко всем природным явлениям. Мы не планируем рассматривать всю гамму связей гармонических совокупностей, кое-какие их нюансы будут отображены в будущем. Продемонстрируем лишь элементы гармонии в геометрии и для наглядности приведем из Библии пример восстановления главных параметров Храма, выстроенного царем Соломоном для Господа, правильные размеры которого к настоящему времени утеряны. А на данный момент возвратимся к последовательности 1.
Архитектор А. Пилецкий, изучая числовые совокупности архитектурного пропорционирования, обратил внимание на то, что числам последовательностей Фибоначчи характерна многовариантная слагаемость участников с получением результатирующего числа в их же совокупности [25]. К примеру:
3 + 5 = 8; 3 + 5 + 13 = 21; 3 + 5 + 13 + 34 = 55 и т.д.
Эти арифметические комбинаторные особенности последовательностей есть первым показателем гармоничности создаваемой совокупности. И совокупность имеет тем громадную гармонию, чем более высокими комбинаторными особенностями владеют ее члены, чем лучше они связаны между собой и чем более они отображают природу. Быть может, исходя из этого природа, среди них и живая, всегда использует в компоновках и своей структуре элементы золотых пропорций и последовательности типа Фибоначчи. И числовая совокупность А. Пилецкого из строчков Фибоначчи и столбцов Паскаля (таблица 3), владеет более высокими комбинаторными возможностями, чем отдельные последовательности Фибоначчи. В ней взаимозависимость между участниками последовательностей распространяется на все поле. Продемонстрируем это на примере получения одного и того же результата слагаемыми из различных последовательностей (табл. 3):
3 + 52 = 55; 4 + 5 + 13 + 16 + 17 = 55;
2 х 3 + 2 х 6,5 + 2 х 8 + 2 х 10 = 55 и т.д.
Вероятны не только вычитания чисел и действия сложения, но и пропорционирование многих из них. Но наивысшими комбинаторными «свойствами» владеют матрицы типа русских матриц, фрагмент одной из которых продемонстрирован ранее (матрица 1). В них проявляется первый показатель гармоничности – обоюдное степенное пропорционирование чисел всего поля. Именно это свойство заложено в структуру древнерусских саженей [23] и оно же отображается в проективной геометрии как сложное отношение четырех точек. Это так ответственное, для физики и понимания геометрии, отношение, что мы, опираясь на [26], кратко изложим его получение:
«Пускай в некоей плоскости имеется точка и окружность М вне — ее (рис. 46). Из данной точки (кроме того если она вечно удалена) возможно совершить две касательные. Точки касания определяют единственную прямую m. Точка М делается полюсом прямой m, а прямая m – полярой точки М. Через центр и полюс окружности совершим прямую. Она пересечет окружность в точках А и В, а поляру в точке N. Так, на данной прямой окажутся две пары точек: одна пара на окружности, а вторая точка и полюс на поляре. Оказывается, отношение длин отрезков АN и NВ равняется отношению длин отрезков АМ и МВ. Его возможно записать в виде равенства:
oANo/ oNBo = oAMo/oMBo,
либо равносильного ему равенства
(oANo/oNBo): (oAMo/oMBo) = 1 — const.» (3.28)
Принято сказать, что точки N и М дробят отрезок АВ гармонически либо, что на прямой имеется «гармоническая четверка точек»: А, N, В, М».
Сложное отношение (3.28) — главное отношение гармонического пропорциониро-вания в проективной геометрии. Оно пронизывает все девять проективных геометрий. Но оно избыточно. Для построения гармоничес-ких совокупностей всех элементов проективной геометрии необходимо не четыре, а три точки. Те самые три точки, каковые появляются при делении отрезка в крайнем и среднем отношении. Три точки нужно и достаточно для построения гармоничной нескончаемой совокупности отрезков на рис. 46. Три числа нужны и достаточны для построения каждой (не считая объемной) золотой матрицы. Три свойства нужны и достаточны для нахождения всех параметров любой отдельной физической совокупности. На числе три базируется вся теория физической размерности. Да и в православной религии, как и во многих вторых, число три, отображающее духовную связь между действующими личностями: Папа, Дух и Сын Святой, занимает весьма значимое положение, отображая всю совокупность духовного сотрудничества.
Все начинается с числа З. (Отыщем в памяти пословицу: «Всевышний троицу обожает».) И не по причине того, что оно простое и, пребывав в натуральном последовательности по окончании двух, в некоторых случаях имеет значение «довольно много», а по причине того, что число два формирует размерность, обусловливая появление эталонного размера, а число три соразмерность, обусловливая появление гармонии в совокупности. Для нахождения гармоничных золотых фигур проективной геометрии начнем построение с деления отрезка в крайнем и среднем отношении способом, к примеру, двумерного квадрата (рис. 47). Заберём отрезок ВА произвольной длины и совершим деление в крайнем и среднем отношении способом двойного квадрата. Порядок деления отрезка продемонстрирован пунктиром. В следствии деления взяли на прямой три точки В, N, А и два отрезка АN и ВN, отношение которых АN/NВ = 1,618, протяженность же в см АN = 2,057 см, а ВN = 1,272 см. Прямая ТТ¢, перпендикуляр, восстановленный из точки N, делается полярой четвертой, отсутствующей на чертеже точки М. Обозначения соответствуют рис. 46. 
Перенесем три точки на новую прямую (рис. 48) и определим для них четвертую точку – полюс М. Полюс возможно найти двумя методами: геометрическим и проективным. На рис. 48 продемонстрированы оба метода. Геометрическим методом делим отрезок АВ пополам и из центра циркулем проводим окружность, у которой АВ – диаметр. К точке пересечения окружности с полярой ТТ¢ проводим касательную МД. Ее пересечение в точке М с продолжением диаметра и будет полюсом — четвертой гармонической точкой. Построение проективное: Проводим из точки В две «случайные» прямые 1 и 2 (все обозначены пунктиром). Из точки N проводим прямую 3 до пересечения с прямой 1 в точке 6. Из точки А проводим в точку 6 прямую 4, и из нее же через точку пересечения прямых 2 и 3, проводим прямую 5. Через точки пересечения прямых 1 и 5, 2 и 4 проводим прямую МК, которая и пересечет продолжение диаметра АВ в той же точке М, и опять приобретаем четвертую гармоническую точку
– полюс. Совершив прямые АL и ВL возьмём вписанный прямоугольный треугольник АLВ составленный из двух аналогичных треугольников ВLN и АLN. Зная длину отрезков АN = 2,058 см и ВN = 1,272 см, определяем длины всех отрезков между отысканных точек. Приобретаем: АВ = 3,33 см, NL = 1,618 см, ВL = 2,058 см, АL = 2,618 см, МВ = 5,39 см, МL = 6,85 см, АМ = 8,72 см. Все модули этих отрезков входят в восходящую ветвь русского последовательности золотых чисел [23]:
1; 1,272; 1,618: 2,058; 2,618; 3,330; 4,236; 5,388; 6,854; 8,718; … (3.29)
Последовательность (3.29) возможно разложить на последовательность Пилецкого:
…; 1,000; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; …
…; 1,272; 2,058; 3,330; 5,388; 8,718; …
взяв фрагмент необычной многобазисной русской матрицы.
Все появившиеся точки связаны отрезками, модули длин которых кратны золотому числу Ф = 1,618 и, следовательно, эти точки квантованы гармонически через Ф, которая и лежит в базах проективных геометрий. Построение точек возможно продолжить применяя совокупность отысканных точек и на прямой и на поляре, к примеру, совершив из точки А радиусом АВ дугу до пересечения с полярой. Отсеченная часть поляры будет иметь длину -2,618 см, протяженность же касательной от данной точки до точки пересечения М¢¢ будет равна 4,236 см, и т.д.
направляться обратить внимание на то, что с возрастанием количества искомых точек их сложное пропорционирование отображается отрезками не только на прямой, на которой расположен отрезок АВ, но и сопровождается пропорционированием поляры по золотому числу. И ее кроме этого возможно применять для нахождения последующих гармонических точек.
Количество взаимосвязанных точек бесчисленно и методом построения, как геометрическим способом, так и способами проективной геометрии возможно взять любое их гармоничное количество, начиная с трех первых.
Нахождение проективными способами геометрической золотой пропорции обусловливает появление сложных взаимоотношений не только между точками и отрезками проективной геометрии аналогичных (3.28), но и между модулями этих отрезков. Причем пропорционирование проявляет себя в степенной форме, образуя необычную геометрическую степенную комбинаторику, связывающую в единую совокупность все многообразие приобретаемых проективными способами модулей. Приведем пара примеров:
ВL/АN = 1 — const. АВ/ВN3 = 1 — const. ВL2 ?МВ?АL/АВ4?ВN = 1 — const.
МL2/АВ2?NL2?ВN2? const. МL2 =АВ2?NL2?ВN2-const. И т.д. (3.30)
Базой геометрической степенной комбинаторики, образующей гармонические совокупности, включая совокупность физической размерности, есть в собственной совокупности класс русских матриц. Конкретно общая связь участников числового поля русских матриц делается качественной базой математической гармонии и обрисовывает гармонию природных, геометрических и физических совокупностей.
Это свойство гармоничных фигур и комбинаторика, степенная и арифметическая, чисел обусловливает, к примеру, возможность восстановления отдельных элементов фигур либо чисел в том случае, в то время, когда они выясняются потерянными либо еще не были отысканы. Конечно, такое допустимо лишь в том случае, в то время, когда построение фигур, либо уравнения, связывающие потерянные числа, базируются на золотых пропорциях. Потому что золотые пропорции это гармоническая совокупность, снабжающая связь всех собственных участников. Приведем пример восстановления размеров храма Господа, выстроенного Соломоном. Предварительно напомним, что существуют соизмерительные инструменты – древнерусские сажени числом 15, восстановленные А. Пилецким, названная им «Всемером», и базирующиеся на золотом числе. Операции соизмерения, проводимые в древности с комплексом древнерусских инструментов – саженей, до сих пор остается непонятными не только для широкой общественности, но и для экспертов, реставрирующих храмы и древние сооружения. Не светло, по какой причине их было довольно много? Для чего было применять для разметки объекта в высоту одни сажени в ширину другие и в длину третьи? По какой причине они несоразмерны между собой? И т.д. Логика длины потребовала применения единообразного измерительного инструмента. И таким инструментом стал метр. Но метр эталон для отделения частей от целого. Им нереально соизмерять. Он годится лишь для измерения отысканных пропорций. Проектировать и строить на основании метра запрещено.
Воссоздание А. Пилецким «Всемера» из 15-ти древнерусских саженей — наиболее значимое историческое, культурное и архитектурное открытие ХХ века (см. приложение 2.). Особенность, отличающая древнерусские сажени от всех других инструментов, содержится в том, что получение их долей происходило методом раздвоения (делением пополам). Никакого разделения элементов на части более 2-х не допускалось. Всего сажень включала шесть элементов (долей), и последний – вершок был 32-ой частью сажени. Любой элемент имел двойное наименование. К примеру, сажень великая, локоть греческий либо пядь церковная, потому, что ни один из них не был равен по длине никакому второму. И лишь элементы малой сажени не имеют второго заглавия. К тому же любая сажень по воле мастера имела возможность «возрастать» по длине в полтора, два и два с половиной раза. Конечно, что части этих саженей также пропорционально увеличатся. В приложении 3 приведена таблица локтей и длин саженей в метрических размерах (в см.) с округлением до 4-х знаков.
Последовательное деление саженей надвое производилось чтобы в одной из частей строительного объекта укладывалось лишь целое число саженей либо их элементов. Причем разбивка замысла каждого объекта производилась четным числом саженей. Количество объекта формировался, начиная с высоты – от Всевышнего, в котором укладывалось четное число одной сажени, после этого разбивалась ширина четным числом вторых саженей и, наконец, протяженность подобным числом третьих саженей. Разметка внутренних количеств объекта производилась так же, но уже элементами саженей и чем меньше было помещение, тем меньшинство сажени употреблялась.
Напомним, что сажень, в противоположность метру, трехчастный инструмент. Комплекс саженей – совокупность для образования целого количества. Основное отличие саженей от всех измерительных инструментов содержится в том, что они являются не измерительными, а соизмерительными инструментами, используются в комплексе и предназначаются для образования гармоничных сооружений и объёмов зданий. Исходя из этого логика применения саженей абсолютно отличается от логики применения метра.
Пространство, по логике изобретателей метра, мертво и потому его возможно дробить и объединять в произвольных пропорциях, не заботясь о том, что окажется в пространстве по окончании объединения. Результатом делается возведение бесформенных пространственных сооружений, безликость городов, нагромождение коробок, психологический прессинг и дискомфорт обитателей.
Для древнерусского мастера пространство, как и Почва, являлось живым телом Господа и складывалось из целых долей. Бездумное разделение Его становилось расчленением живого на части, становилось смертным грехом, надругательством над Почвой независимо от того, осознавал ли это мастер либо нет. Мастер в собственном творчестве, а правильнее в амурном сотворчестве с Господом, наделял образуемые количества строений пропорциональностью Его долям. И пропорциональности эти формировались объемными комбинациями соизмерительных иррациональных инструментов — саженей. Пропорциональность жилого пространства строения долям Господа обусловливала ему гармоничность, благостность и долговременность.
Каковы подлинные размеры храма Соломона и до этого дня «тайна великая имеется». В Библии [16] говорится (3 Цар 6.2): «Храм, что выстроил царь Соломон Господу, длиною был в шестьдесят локтей, шириною в двадцать локтей и вышиною в тридцать локтей». И строили Его 11 лет. Многие эксперты считают, что локоть, как и метр, был единственным инструментом для измерения протяженности, и, переводя локти длиною 0,44 м в метровую совокупность, приобретают 26,4 х 8,8 х 13,2 м, что в кубатуре образовывает 4600 м3. Но вот парадокс, та же Библия свидетельствует, что собственный дом (не храм, а дом) Соломон строил 13 лет (3 Цар 7.2): «И выстроил он дом из дерева Ливанского, длиною во сто локтей, шириною в пятьдесятлоктей, а вышиною в тридцать локтей…».
Переведя эти размеры в метрическую совокупность, приобретаем 44 х 22 х 13,2 м, что по кубатуре 12800 м3, либо практически втрое больше, чем храм Господа. Не говоря уже о том, что по высоте они оказываются равными. И, следовательно, Соломон символически приравнивает себя Господу. Не просто так эта головоломка путает многих, и часто в ссылках указывается храм Господа в размерах дома Соломона [32]. Но так как Соломон был умён как никто в древности и, наверное, ни при каких обстоятельствах не высказывал желание поставить себя на уровень Господа. Не имел возможности он выстроить собственный дом по высоте равным храму Господню. Исходя из этого дом Соломона должен быть, как минимум, наполовину меньше храма Господа. Так что же образует головоломку? Головоломку формирует молчание Библии о множественности саженей и о том, что сажени не являются измерительными документами (где-то, на каком-то этапе написания Библии эту «мелочь» потеряли, а допустимо и просто не включили). К Библии претензии предъявлять запрещено, она не учебник по постройке, а в то время, когда ее писали, любой мальчишка владел знанием иерархии хотя бы нескольких локтей. А логика метра, ну что сделаешь, в случае, если мы забыли другую, заставляет нас мерить по метрическому правилу одним локтем и приобретать что-то неординарное, не имеющее отношения к разглядываемому объекту.
Сейчас, имея некое представление о древних саженях, попытаемся выяснить, какие конкретно же размеры имеет храм, выстроенный Соломоном для Господа. Сперва определимся, какой информацией мы располагаем, не считая знания о назначении саженей:
В первую очередь, нам малоизвестны сакральные числа религии времен Соломона, не смотря на то, что два из них – 3 и 10 заложены в параметрах 20, 30, 60. Нам как мы знаем, что иудейский народ, незадолго до построения храма, в течение сотен лет жил в почве египетской и, значит, пользовался теми же строительными инструментами, что и египтяне. Следовательно, возможно высказать предположение, что два вторых египетских сакральных числа 7 и 11 смогут входить в структуру храма, и сделать вывод о том, что мастера Соломона трудились по египетскому канону. На это показывает и продолжительность строительства храма. светло кроме этого, что при проектировании храма употреблялись бoльшие строительные локти (к примеру, полуторные), чем в доме Соломона. Наконец один из параметров обязан давать единственное ответ, т.е. иметь одно сакральное число. Вероятнее, это ширина в 20 локтей. Сейчас возможно приступать к нахождению метрических размеров параметров храма Господа конкретно с его ширины.
Запишем метрические размеры локтей и, умножив их на 20, определим вероятные параметры ширины храма Господа. Эти размеры последовательно поделим на числа кратные 7 и 11. В следствии приобретаем размер, в котором укладываются все египетские и христианские сакральные числа. Расчет говорит о том, что ширина храма равнялась приблизительно 21,3 метра, и в ней укладывалось полуторных локтей городовых 20; 1,068 х 20 = 21,36 м, полуторных локтей громадных 22; 0,969 х 22 = 21,32 м и локтей меньших 42; 0,5045 х 42 = 21,19 м. И, приобретаем, что параметры храма включали все сакральные числа: 1(0), 7 (7х3х2), 11 (11х2). Зная это, находим длину и высоту храма. Они оказываются равными следующим размерам: высота равна 25,90 м и в ней укладываются 33 полуторных локтя фараона; 0,7842 х 33 = 25,88 м, 35 локтей царских; 0,74 х 35 = 25,90 м, и 30 полуторных локтей греческих; 0,864 х 30 = 25,92 м. Протяженность равна 39,56 м и в ней укладываются полуторных локтей народных 60; 0,66 х 60 = 39,6 м, кладочных 66 локтей; 0,599 х 66 = 39,53 м и несложных 70 локтей; 0,5655 х 70 = 39,58 м. Главные размеры храма Господа, выстроенного Соломоном, выяснены. Любой его параметр размерялся тремя разными полуторными саженями, т.е. храм владел высшей степенью святости.
Сейчас, для сопоставления, тем же способом, вычислим размеры, каковые имел дом Соломона, исходя из того, что его параметры размечались одинарными локтями. За точку отсчета опять берем количество локтей, включающее одно сакральное число – 50. И находим, что дом Соломона имел следующие размеры: высоту – 15,42 м, в которой укладывались 33 локтя церковных и 35 локтей народных, ширину – 18,9 м, в которой укладывалось 33 локтя греческих, 50 локтей несложных 56 локтей меньших и длину 39,9 м, где укладывалось локтей Пилецкого 77, и кладочных 100. И дом самого Соломона по количеству оказывается меньше храма Господа практически вдвое, да и времени на его постройку Соломон затратил больше, чем на сооружение храма Господня.
Похоже, что возможно не ограничиваться получением основных размеров храма Господня, но и распознать структуру и величину тех элементов, из которых он складывается. Полное описание храма дается пророком Иезекиилем. Применяя это методы и описание проективной геометрии, учитывая, что три главных размера храма имеется сложное отношение трех исходных точек, возможно, по описанию, выяснить все элементы храма. Но это отдельная и громадная задача, ответ которой не есть целью данной работы. Исходя из этого возвратимся к теме и продолжим рассмотрение качественных изюминок статической геометрии.
3.5. Фигуры золотого сечения
Задачу деления отрезка в крайнем и среднем отношении (Рис. 42) возможно обрисовать двумя размерностными уравнениями:
(a + c)/c = c/a (3,31)
(a + c)/a = (c/a)2, (3.32)
И решать тремя методами:
? алгебраическим, подставляя в (3.31) либо (3.32) b = с ? а и приобретая алгебраическое уравнение:
b2 – b – 1 = 0, (3,33)
не имеющего отношения ни к (3.31) ни к (3.32) потому, что в (3.33) отсутствует размерность, и к тому же ответ ограничивается лишь нахождением безразмерностного числа Ф.
? геометрически, посредством циркуля и линейки, либо приведением уравнений (3.31) и (3.32) к геометрической форме при помощи освобождения от знаменателя:
a2 + ac = c2, (3,34)
и по окончании замены ас на b2 имеем уравнение Пифагора для прямоугольного треугольника,
a2 + b2 = c2, (3,35)
где b протяженность одного из катетов треугольника имеющая размерность. Появление b говорит о том, что первичный отрезок АВ, по-видимому, есть отображением в виде прямой некоей фигуры, находящейся на горизонтальной плоскости, а точки А, В, С, значимые точки данной фигуры.
? и, как продемонстрировано выше, совместным ответом (3.31) и (3.35) – находя величины всех параметров, задействованных в уравнении (3.31).
Но возникновением (3.31)-(3.35) количество вероятных формализаций результатов деления отрезка в крайнем и среднем отношении не исчерпывается. Нельзя исключать, что данной операцией не отрезок делится надвое, а находится отношение длин некоторых параллельных отрезков АВ, АС, и ВС (рис. 49.1) расположенных на соответствующем расстоянии друг от друга торцом к наблюдателю и для них возможно записать следующую пропорцию:
АВ ? АС = АС ? ВС. (3,36)
И это не все. Уравнение (3.35) может оказаться не уравнением Пифагора, а формализацией положения окружности на плоскости, достаточно преобразовать его в следующий вид:
а2 ? с2 + b2 ? с2 = 1. (3,37)
Вот тот комплект фигур, каковые смогут «прятаться» на плоскости за формулировкой «деление отрезка в крайнем и среднем отношении». И у нас отсутствует основание для игнорирования анализа любого из этих уравнений. Начнем рассмотрение с уравнения (3.35), потому, что конкретно в нем проявляет себя появление третьего отрезка.
Как направляться из (3.35) в следствии деления отрезка АС на две части взяты три отрезка образующие прямоугольный треугольник, что логически нереально. К тому же остается неясным механизм обнаружения размерностного Ф, и отсутствуют ответы на вопросы: Откуда появляется третий отрезок в уравнении Пифагора (3.35), так как в соответствии с уравнению (3.31), отрезок делится на две, а не на три части? Вправду ли уравнения (3.31), (3.32) воспроизводят деление отрезка, либо совместно они отображают какие-то другие фигуры ? В случае, если фигуры, то какие конкретно? Возможно ли по одной доле отрезка, а либо с, решить обратную задачу: вернуть его полную длину геометрическими способами (посредством циркуля и линейки)? Давайте разберемся в этих вопросах.
Сперва напомним, что предполагаемая прямая может оказаться горизонтально расположенной плоскостью с нанесенными на ней одной либо несколькими фигурами, каковые при таких условиях будут невидимы, либо покажут себя в виде отрезка. И потому процесс «деления» оказывается не только делением, но и обнаружением на «ребре» плоскости элементов какой-то фигуры либо фигур, расположенных в промежутке между точками А и С. Возможно исходя из этого для деления отрезка АС посредством линейки и циркуля приходится строить, как это продемонстрировано ранее на рис. 47, вспомогательный двусмежный квадрат АСДВ.
На рис. 47. точка N, дробящая отрезок в золотой пропорции, отыскана. Она делается значимой, потому, что вместе с А и В может отображать, к примеру, существование трех евклидовых параллельных прямых, видимых с торца. Данное отображение не проявляет наличия параметра b, но и не отрицает возможность существования евклидовых параллельных. Таковой вариант не исключается, потому, что три искомые точки А, В, и N наличествуют, и его нельзя отбросить без рассмотрения. Второй вариант – возможность наличия двусмежного квадрата на плоскости, применяемого для геометрического деления отрезка в крайнем и среднем отношении. Но для двусмежного квадрата точка N не есть значимой. Она не отображает ни одного элемента этого квадрата и не определяет значимость параметра b. Двусмежный квадрат, наверное, проявляет себя лишь как подсобный элемент для нахождения точки N. В случае, если же на базе АС выстроить два квадрата (продемонстрировано пунктиром), стороны которых равны долям поделенного отрезка а и с и одна из сторон неспециализированная, то на горизонтальной плоскости отобразятся три значащих точки А, В, N. Но и в этом построении существование параметра b не просматривается.
Точка N дробит отрезок АВ на две части (доли), отношение которых в соответствии с (3.33) равняется: Ф = ВN/AN = 1,618… либо 1/Ф = АN ? ВN = 0,618… . Но у нас нет доказательства того, что формализация, обрисовывающая деление отрезка в крайнем и среднем отношении, есть единственной и ограничивается лишь этим делением. Нельзя исключить и того, что за процедурой, определяемой как деление отрезка, прячется некоторый метод обнаружения элементов еще некоей фигуры (фигур?) «лежащей» на плоскости, к примеру, прямоугольного треугольника. Об этом свидетельствует да и то, что в следствии преобразования пропорций (3.31) и (3.32) получается уравнение Пифагора (3.35) включающее – гипотенузу с и два катета а и b. Причем появление катета b из уравнений (3.31) и (3.32) оказывается полной неожиданностью. И потому деление отрезка в крайнем и среднем отношении требует дополнительного изучения.
Предположим, основываясь на уравнении (3.35), что процесс деления отрезка (то, что процесс ограничивается делением «отрезка», сейчас ставится под сомнение), есть кроме этого процедурой нахождения какой-то выделенной точки некоего прямоугольного треугольника видимого с ребра. Развернём предполагаемую плоскость на 90о и разглядим элементы каких фигур могут быть отображенными точками А, В, N (рис. 49.2).
Потому, что отрезок АВ разделен на две части золотым сечением, то возможно считать, что и треугольник, опирающийся на данный отрезок есть золотым треугольником. Выстроим на отрезке равном АВ золотой прямоугольный треугольник АВС, и опустим из вершины С на гипотенузу перпендикуляр СN. Перпендикуляр достигнет гипотенузы в точке N, и поделит треугольник АВС на два аналогичных золотых треугольника АNС и СNВ. Причем катет СN оказывается неспециализированным для обоих треугольников, а сами треугольники «сомкнутыми» (сдвоенными) катетом b = b´.
Возможно подойти к построению золотого треугольника в противном случае, в случае, если в соответствии с (3.36) высказать предположение, что отрезок АВ есть диаметром окружности, а точка N – вершина прямоугольного треугольника с гипотенузой АВ, расположенной на горизонтальной плоскости (рис. 50). В этом случае центр окружности О скрыт катетом треугольника и не есть значимой величиной. В случае, если принять, что радиус окружности равен, к примеру, R = 5 см, доли отрезка равны АN´ = 6,18 см, ВN´ = 3,82 см, т.е. диаметр, поделен в золотой пропорции: АN`?ВN` = 1,618, то возможно выяснить высоту NN` и длину катетов АN = 7,86 см и ВN = 6,18см данного треугольника. Т.е. АN` = ВN. У треугольника АВN высота NN` = 4,86 см, и она пропорциональна отношению |АN´| ? |NN´| = Ф = 1,618, а стороны пропорциональны числу Ф. (Продемонстрируем это на отношениях модулей сторон: 3,82 : 3,82 = 1; 6,18 : 3,82 = 1,618; 10,0 : 3,82 = 2,618). Следовательно, процедура деления «отрезка» в крайнем и среднем отношении может распознать как точку N на отрезке или угол АNВ, или высоту N´N вписанного в окружность прямоугольного треугольника.