Комплексное число возможно записать в тригонометрической форме:
Тригонометрическая форма КЧ употребляется при возведении КЧ в n-ую степень и при извлечении корня n-ой степени из КЧ:
Формула Муавра:
Формула вычислений квадратного корня:
, k=1,2,3,…
Тригонометрическая форма КЧ употребляется при возведении КЧ в n-ую степень и при извлечении корня n-ой степени из КЧ: Формула Муавра:
Формула вычислений квадратного корня: , k=1,2,3,…
Пускай а = ? + i? — произвольное комплексное число. Соединим начало координат с точкой А(?,?) и длину взятого отрезка обозначим r. Угол между направлением и оси положительным направлением абсцисс из начала координат на эту точку обозначим . Из прямоугольного треугольника ОАВ имеем: ? = r cos , ? = r sin (1.1) Наряду с этим, разумеетсяПодставляя ? и ? из (1.1) в формулу а = ? + i? приобретаем тригонометрическую форму записи комплексного числа а: а = r (cos + isin ).
Умножение: произведение компл.чисел и — это компл.число, определяемое формулой . Из этого следует важн.соотношение : Именно поэтому соотношен. Формула произведения получается методом перемножения двучленов и . Умножение компл.чисел владеет переместительными особенностями: ; ( ) = ); )= + . При умножении компл.чисел из модули перемножаются, а доводы складываются. Это правило рапространяется на любое конечное число множителей. В случае, если имеется n множителей и все они однообразные, то: . – Формула Муавра. Деление – воздействие, обратное умножению.
Функция , имеющая производную в каждой точке промежутка именуется дифференцируемой в этом промежутке, операция нахождения производной функции именуется дифференцированием. Значение производной функции в точке в точке обозначается . Скорость прямолинейного перемещения материальной точки в момент времени t имеется производная от пути S по времени t – мех. Суть производной. Геом. Суть : производная в точке х равняется угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна х.
количество произведенной продукции 
В случае, если применять понятие
, то производная труда в момент времени 
именуется пределом 
О. эластичностью ф-ии
наз. величину 
, которая высказывает приближенный %- ный прирост значения ф-ии при приросте довода на 1%. 
кроме этого дифф. в данной точке. 
2. – задана неявно.
, х-дифференцируем.
– дифференцируем по Х.
3.Параметрически. x=x(t) y=y(t)
ВОПРОС 69 Вторая производная. В случае, если производная f ‘( x ) функции f ( x ) дифференцируема в точке ( x0 ), то её производная именуется второй производной функции f ( x ) в точке ( x0 ), и обозначаетсяf » ( x0 ). Функция f ( x ) именуется выпуклой на промежутке ( a, b ), в случае, если её график на этом промежутке лежит ниже касательной, совершённой к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0, f ( x0 ) ), x0 ( a, b ). Функция f ( x ) именуется вогнутой на промежутке ( a, b ), в случае, если её график на этом промежутке лежит выше касательной, совершённой к кривой y = f ( x ) в любой точке ( x0, f ( x0 ) ), x0 ( a, b ). Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции. Пускай функция f ( x ) два раза дифференцируема ( имеет вторую производную ) на промежутке ( a, b ), тогда: в случае, если f » ( x ) 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) есть вогнутой на промежутке ( a, b ); в случае, если f » ( x ) 0 для любого x ( a, b ), то функция f ( x ) есть выпуклой на промежутке ( a, b ) . Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость либо напротив, именуется точкойперегиба. Из этого следует, что в случае, если в точке перегиба x0 существует вторая производная f » ( x0 ), то f » ( x0 ) = 0
Т.Ролля: Пускай y=f(x) постоянна на [a,b],дифференцируема в каждой точке промежутка (a,b) и выполняется соотношение f(a)=f(b) Тогда существует хотя бы одна т.сиз промежутка (a,b),что f’(x) в с=0.
Т.Коши f(x) и g(x) постоянна на [a,b] дифференцируема на (a,b) и для всех тогда на (a,b) найдется такая точка с (a,b), что
Т.Лагранжа(следствие из Т.Коши) Пускай f(x) и g(x) постоянна на [a,b] дифференцируема на (a,b),тогда в (a,b) найдется такая т.с (a,b) что f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) т.е. с (a,b), что хорда АВ параллельна касательной. Вопросы к экзамену по курсу Математика (I курс, I семестр) 1 Определение матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами 2 Произведения матриц. Свойства. 3 Теорема о разложении определителя по элементам последовательности (на примере определителя 4 его порядка). 4 Свойства определителей. 5 Определение обратной матрицы и критерий существования обратной матрицы 6. Теорема о существовании единственной обратной матрицы 7. Определение совокупности линейных уравнений, запись в матричном виде Ответ совокупностей 8 Ответ невырожденных совокупностей линейных уравнений метод Крамера и матричный метод. 9 Определение ранга матрицы Способы нахождения ранга 10 Теорема Кренекера-Капелли. Правило ответа произвольных линейных совокупностей 11. Совокупности однородных линейных уравнений. 12 Межотраслевой баланс Технологическая матрица 13 Уравнение Леонтьева Критерий продуктивности матрицы. 14 Понятие вектора. Линейные операции над векторами. 15 Понятие базиса. Теорема о разложении вектора по базовым векторам в R3. 16 Скалярное произведение векторов: определение, приложения и свойства . 17. Векторное произведение векторов: определение, приложения и свойства . 18 Смешанное произведение векторов определение, свойства, приложения . 19. Разные формы уравнения прямой на плоскости. 20 Обоюдное размещение прямых на плоскости 21 Расстояние от точки до прямой на плоскости ( вывод ). 22 Окружность — определение, каноническое уравнение, запись в полярных координатах 23. Эллипс-определение, вывод канонического уравнения 24. Главные характеристики эллипса. Теорема ( второе определение эллипса ) 25. Преувеличение — определение, вывод канонического уравнения 26. Главные характеристики преувеличения. 27. Парабола -определение, вывод канонического уравнения. 28 Разные виды уравнений плоскости в пространстве. 29 Расстояние от точки до плоскости. Обоюдное размещение плоскостей 30. Виды уравнений прямой в пространстве. 31 плоскости и Взаимное расположение прямой 32 Расстояние от точки до прямой в пространстве 33 Понятие скрещивающихся прямых Расстояние между скрещивающимися прямыми 34. Понятие функции, методы задания, главные элементарные функции. 35. Главные характеристики функций
Т.1.(правило Лопиталя ) Пускай f(x) и g(x) постоянны на [a,b],дифференцируемы на (a,b) и существует О( ), за исключением возможно самой данной точки. Предположим,что , в О( ) тогда в случае, если
Подтверждение Определим f(x) и g(x) в т. )=0 ,тогда эти функции будут постоянны в т. и по Т.Коши на [ ] будет выполняется неравенство.
Т.2(Правило Лопиталя ) Пускай f(x) и g(x) постоянны и дифференцируемы в О( ) и
Тогда в случае, если существует , то существует и
Замечания 1.Правило Лопиталя возможно использовать много раз. 2.При неопределенности сперва сводятся к одной из неопределенностей и используется правило Лопиталя. 36 Понятие обратной и сложной функций. 37. Определение числовой последовательности и ее предела. 38 Теорема о пределе ограниченной последовательности. Определение верхней и нижней грани последовательности. 39 Теорема Вейерштрасса. 40 Вывод числа е 41 Определение предела функции в точке, геометрический суть предела. 42. Определение односторонних пределов функции в точке. Предел на бесконечности. 43. Определение вечно громадных и бесконечно малых функций Теорема об алгебраической сумме б.м.ф 44. Главные теоремы о б.м.ф. ( одна с доказательством ). 45. Теорема ( о единственности предела функции в точке ). 46 Теорема ( главные операции над пределами ). 47 Показатели существования предела функции в точке. 48. Превосходные пределы 49. Сравнение б.м.ф. Теорема об эквивалентныхб.м.ф. 50. Три определения непрерывности функции в точке. 51 Главные теоремы о постоянных функциях 52 Классификация точек разрыва. 53 Свойства функций, постоянных на отрезке. 54 Определение комплексного числа, главные обозначения, алгебраическая форма. 55 Тригонометрическая форма комплексного числа, изображение на плоскости 56. Формула Муавра и формула корня п — ой степени для комплексного числа. 57. Комплексное число в показательной форме Формула Эйлера Действия над комплексными числами в показательной форме. 58. Определение производной функции в точке. Геометрический и механический суть производной 59. Экономический суть производной. ее свойства и Эластичность функции. 60. Главные правила дифференцирования 61 Таблица главных производных 62. Логарифмическая производная. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически. 63. Дифференциал функции; его геометрический суть. Использование дифференциала к приближенным вычислениям 64 дифференциалы и Производные высших порядков 65. Теоремы Ферма, Роля, Коши, Лагргнжа. 66. Правило Лопиталя 67 Условия монотонности функции Экстремум функции: нужное условие, достаточные условия. 68 Громаднейшее и мельчайшее значение функции на отрезке. 69 Выпуклость вогнутость графика функции. Точки перегиба. 70 Асимптоты графика функции. Неспециализированная схема изучения функции
2.(достаточное условие функции) В случае, если функция y=f(x) дифференцируема на (a,b) и , то
Т.3 (нужное условие экстремума) В случае, если дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум в т. т.е. производная в данной точке равна 0.
4(первое достаточное условие экстремума) В случае, если постоянная функция y=f(x) дифференцируема в и при переходе через нее ( )) меняет символ с «+» на «-»,тогда -max,в случае, если с «-» на «+» -min Т.(второе достаточное условие экстремума) В случае, если т
ВОПРОС 70 Асимптоты графика функций при изучении графика функции на бесконечность, т.е. при x®+¥ и x®-¥, конечно вблизи точек разрыва довольно часто оказывается, что график сколь угодно близко приближается к той либо другой прямой, т.е. асимптоте. Прямая х=х0 – вертикальная асимптота графика функции y=f(x), в случае, если хотя бы один из пределов либо равен ± ¥. Нахождение вертикальных асимптот: 1) точки разрыва и граничные точки на области определения 2) вычисляем односторонний предел при х стремящимся к этим точкам. Прямая y=a – горизонтальная асимптота графика y=f(x), при х®±¥, в случае, если . Прямая y=kx+b именуется наклонной асимптотой к графику y=f(x) при х®±¥, в случае, если саму функцию y=f(x) возможно представить в виде f(x)=kx+b+a(x), где . Схема нахождения: вычисляем , в случае, если данный предел не существует либо равен бесконечности, то функция не имеет наклонной асимптоты. Вычисляем , в случае, если его нет либо он нескончаем, то асимптоты нет. исследование исследования и Схема функции её графика 1. Область определения функции, промежутки непрерывности, точки разрыва, вертикальные асимптоты 2. точки пересечения с осями. 3. чётность/нечётность 4. периодичность 5. экстремумы и промежутки монотонности 6. Выпуклости, точки перегиба 7. наклонные асимптоты