Векторы и линейные операции над ними

Вектор – это направленный отрезок прямой, обозначается Векторы и линейные операции над ними либо Векторы и линейные операции над ними . Точка Векторы и линейные операции над ними — начало вектора, точка Векторы и линейные операции над ними — его финиш. Длиной либо модулем вектора Векторы и линейные операции над ними именуется протяженность отрезка Векторы и линейные операции над ними и обозначается Векторы и линейные операции над ними . Вектор, протяженность которого равна нулю, именуется нулевым вектором и обозначается Векторы и линейные операции над ними . Вектор, имеющий длина и Векторы и линейные операции над ними направление вектора которого равна 1, именуется единичным вектором либо ортом вектора Векторы и линейные операции над ними и обозначается Векторы и линейные операции над ними .

Векторы Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними именуются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых. Записывается так Векторы и линейные операции над ними . Два вектора именуются равными, если они одинаково направлены и имеют однообразные длины.

Три вектора в пространстве именуются компланарными, если они лежат в одной либо параллельных плоскостях.

Под линейными операциями над векторами знают умножение сложения вектора и операцию векторов Векторы и линейные операции над ними на настоящее число Векторы и линейные операции над ними .

Суммой двух векторов Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними именуется вектор Векторы и линейные операции над ними , соединяющий начало первого вектора Векторы и линейные операции над ними с финишем второго вектора Векторы и линейные операции над ними , при условии, что конец вектора Векторы и линейные операции над ними и начало вектора Векторы и линейные операции над ними совмещены. Обозначается сумма Векторы и линейные операции над ними . Рис.4.

Векторы и линейные операции над ними
Векторы и линейные операции над ними
Векторы и линейные операции над ними

Рис. 4.

Такое правило сложения векторов именуется правилом треугольника. Два вектора возможно сложить и по правилу параллелограмма. Рис.5.

Векторы и линейные операции над ними
Векторы и линейные операции над ними
Векторы и линейные операции над ними

Рис. 5.

Векторы и линейные операции над ними
Векторы и линейные операции над ними
Векторы и линейные операции над ними

Разность двух векторов Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними именуется третий вектор Векторы и линейные операции над ними , таковой, что Векторы и линейные операции над ними . Рис.6.

Рис. 6.

Произведение вектора Векторы и линейные операции над ними на число Векторы и линейные операции над ними именуется вектор Векторы и линейные операции над ними , протяженность которого равна Векторы и линейные операции над ними , он коллинеарен вектору Векторы и линейные операции над ними и имеет направление вектора Векторы и линейные операции над ними , в случае, если Векторы и линейные операции над ними , и противоположное, в случае, если Векторы и линейные операции над ними .

Линейные операции над векторами владеют следующими особенностями:

1. Векторы и линейные операции над ними

2. Векторы и линейные операции над ними

3. Векторы и линейные операции над ними

4. Векторы и линейные операции над ними

5. Векторы и линейные операции над ними

Нужным и достаточным условием коллинеарности двух векторов Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними есть существование для того чтобы числа Векторы и линейные операции над ними , что Векторы и линейные операции над ними .

Линейной комбинацией векторов Векторы и линейные операции над ними именуется сумма произведений этих векторов на настоящие числа:

Векторы и линейные операции над ними (7.1).

Совокупность векторов Векторы и линейные операции над ними именуется линейно свободной, в случае, если их линейная комбинация (7.1) равна нулю лишь при всех Векторы и линейные операции над ними одновременно равных нулю.

Два вектора Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними образуют базис на плоскости, в случае, если любой третий вектор Векторы и линейные операции над ними на плоскости возможно представить в виде

Векторы и линейные операции над ними (7.2).

Три вектора Векторы и линейные операции над ними образуют базис в пространстве, в случае, если любой вектор Векторы и линейные операции над ними этого пространства возможно представить в виде:

Векторы и линейные операции над ними (7.3).

Выражение (7.3) именуют разложением вектора Векторы и линейные операции над ними по базису из векторов Векторы и линейные операции над ними , а числа Векторы и линейные операции над ними именуют координатами вектора Векторы и линейные операции над ними в базисе Векторы и линейные операции над ними . Условно это записывается Векторы и линейные операции над ними .

Два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, три некомпланарных вектора образуют базис в пространстве.

В случае, если известны координаты векторов в некоем базисе, то линейные операции над векторами сводятся к простым арифметическим операциям над координатами этих векторов.

Дабы сложить два вектора необходимо сложить их соответствующие координаты.

Дабы отыскать разность двух векторов нужно отыскать разность их соответствующих координат.

Дабы умножить вектор на настоящее число, нужно умножить каждую его координату на это число.

Честны следующие утверждения. Два вектора равны, в случае, если равны их соответствующие координаты. Два вектора коллинеарны, в случае, если их координаты пропорциональны.

Пример 10. Даны векторы Векторы и линейные операции над ними . Проверить, что векторы Векторы и линейные операции над ними образуют базис и отыскать координаты вектора Векторы и линейные операции над ними в этом базисе.

Ответ. Составим линейную комбинацию векторов Векторы и линейные операции над ними и приравняем ее к нулю: Векторы и линейные операции над ними . Продемонстрируем, что это равенство справедливо только при условии Векторы и линейные операции над ними . Из равенства векторов направляться:

Векторы и линейные операции над ними

Отыщем определитель взятой однородной совокупности:

Векторы и линейные операции над ними

Следовательно, совокупность имеет единственное ответ Векторы и линейные операции над ними :

а это значит, что векторы Векторы и линейные операции над ними — образуют базис.

Отыщем координаты вектора Векторы и линейные операции над ними в этом базисе.

Запишем векторное равенство:

Векторы и линейные операции над ними .

Переходя к координатой форме, возьмём:

Векторы и линейные операции над ними

Решив эту совокупность, возьмём:

Векторы и линейные операции над ними .

Тогда Векторы и линейные операции над ними , либо Векторы и линейные операции над ними в базисе Векторы и линейные операции над ними .

В прямоугольной совокупности координат Векторы и линейные операции над ними любой вектор Векторы и линейные операции над ними возможно представить в виде

Векторы и линейные операции над ними (7.4),

где Векторы и линейные операции над ними — взаимно ортогональные единичные векторы осей координат Векторы и линейные операции над ними .

Координатами вектора Векторы и линейные операции над ними в прямоугольной совокупности координат являются проекции этого вектора на соответствующие оси координат, другими словами

Векторы и линейные операции над ними (7.5).

Векторы и линейные операции над ними — протяженность вектора Векторы и линейные операции над ними в прямоугольной совокупности координат.

Углы, каковые вектор Векторы и линейные операции над ними образует с осями координат, принято обозначать соответственно Векторы и линейные операции над ними . Косинусы этих углов именуют направляющими косинусами вектора Векторы и линейные операции над ними . Направляющие косинусы равны соответственно:

Векторы и линейные операции над ними (7.6),

Либо в координатной форме:

Векторы и линейные операции над ними .

Для направляющих косинусов выполняется равенство

Векторы и линейные операции над ними (7.7).

В случае, если известны координаты точек Векторы и линейные операции над ними то координаты вектора Векторы и линейные операции над ними определяются формулами Векторы и линейные операции над ними , другими словами

Векторы и линейные операции над ними .

Умножение векторов

Векторы возможно умножать скалярно и векторно. Скалярным произведением двух ненулевых векторов Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними именуется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Векторы и линейные операции над ними (8.1).

Эту формулу возможно записать в виде

Векторы и линейные операции над ними .

Скалярное произведение имеет следующие особенности:

1. Векторы и линейные операции над ними — переместительный закон.

2. Векторы и линейные операции над ними — распределительный закон

3. Векторы и линейные операции над ними

4. Векторы и линейные операции над ними , из этого Векторы и линейные операции над ними

5. В случае, если Векторы и линейные операции над ними , то Векторы и линейные операции над ними — условие перпендикулярности векторов Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними

6. Векторы и линейные операции над ними , Векторы и линейные операции над ними — вектор силы, Векторы и линейные операции над ними — вектор перемещения, Векторы и линейные операции над ними — работа силы Векторы и линейные операции над ними .

В случае, если Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними заданы в прямоугольной совокупности координат Векторы и линейные операции над ними , то Векторы и линейные операции над ними (8.2).

Упорядоченная тройка векторов Векторы и линейные операции над ними именуется правой, в случае, если малейший поворот от вектора Векторы и линейные операции над ними к вектору Векторы и линейные операции над ними из финиша вектора Векторы и линейные операции над ними виден совершающимся против часовой стрелки. Рис.7.

Векторы и линейные операции над ними
Векторы и линейные операции над ними

Векторы и линейные операции над ними

Рис. 7.

Векторным произведением вектора Векторы и линейные операции над ними на вектор Векторы и линейные операции над ними именуется третий вектор Векторы и линейные операции над ними , протяженность которого равна Векторы и линейные операции над ними , он перпендикулярен векторам Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними и направлен в ту сторону, что векторы Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается Векторы и линейные операции над ними .

Векторное произведение имеет следующие особенности:

1. Векторы и линейные операции над ними

2. Векторы и линейные операции над ними

3. Векторы и линейные операции над ними

4. В случае, если Векторы и линейные операции над ними , то Векторы и линейные операции над ними

5. Векторы и линейные операции над ними , где Векторы и линейные операции над ними — площадь параллелограмма, выстроенного на этих векторах как на сторонах.

В случае, если векторы Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними заданы в прямоугольной совокупности координат: Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними , то:

Векторы и линейные операции над ними (8.3).

В случае, если Векторы и линейные операции над ними вектор силы, приложенной в точке Векторы и линейные операции над ними , а Векторы и линейные операции над ними радиус-вектор точки Векторы и линейные операции над ними , то момент силы Векторы и линейные операции над ними , относительно начала координат Векторы и линейные операции над ними равен:

Векторы и линейные операции над ними .

Смешанным произведением трех векторов Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними именуется их векторно-скалярное произведение. Обозначается Векторы и линейные операции над ними .

В случае, если заданы координаты векторов в прямоугольной совокупности координат, то их смешанное произведение вычисляется по формуле:

Векторы и линейные операции над ними (8.4).

Свойства смешанного произведения векторов:

1. Векторы и линейные операции над ними — условие компланарности векторов;

2. Векторы и линейные операции над ними — количество параллелепипеда, выстроенного на векторах, как на сторонах;

3. Векторы и линейные операции над ними — циклическая перестановка сомножителей не меняет величины смешанного произведения;

4. Векторы и линейные операции над ними

Пример 11. Даны вершины пирамиды Векторы и линейные операции над ними . Отыскать 1) угол между гранью Векторы и линейные операции над ними и ребром Векторы и линейные операции над ними ; 2) площадь грани Векторы и линейные операции над ними ; 3) количество пирамиды Векторы и линейные операции над ними ; 4) длину высоты, опущенной из вершины Векторы и линейные операции над ними на грань Векторы и линейные операции над ними .

Ответ. Вычислим координаты вектора Векторы и линейные операции над ними :

Векторы и линейные операции над ними .

Угол Векторы и линейные операции над ними между гранью Векторы и линейные операции над ними и ребром Векторы и линейные операции над ними есть дополнительным углом для угла Векторы и линейные операции над ними , образованного перпендикуляром, совершённым к плоскости треугольника Векторы и линейные операции над ними и ребром Векторы и линейные операции над ними . Векторы и линейные операции над ними . Для нахождения Векторы и линейные операции над ними вычислим координаты векторного произведения векторов Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними :

Векторы и линейные операции над ними ;

Векторы и линейные операции над ними .

Векторы и линейные операции над ними .

Векторы и линейные операции над ними ;

Векторы и линейные операции над ними .

1) Площадь грани Векторы и линейные операции над ними равна половине площади параллелограмма, выстроенного на сторонах Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними , т.е.

Векторы и линейные операции над ними .

2) Количество пирамиды равен одной трети от количества параллелепипеда,

выстроенного на ребрах Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними . Следовательно

Векторы и линейные операции над ними .

3) Протяженность высоты Векторы и линейные операции над ними определяется из формулы:

Векторы и линейные операции над ними ; Векторы и линейные операции над ними .

Ответ: Векторы и линейные операции над ними ; Векторы и линейные операции над ними ; Векторы и линейные операции над ними ; Векторы и линейные операции над ними .

Комплексные числа

Комплексным числом Векторы и линейные операции над ними именуется выражение

Векторы и линейные операции над ними (9.1),

где Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними — настоящие числа; — мнимая единица, определяемая равенством

Векторы и линейные операции над ними либо Векторы и линейные операции над ними (9.2).

Число Векторы и линейные операции над ними именуют настоящей частью комплексного числа Векторы и линейные операции над ними и обозначают Векторы и линейные операции над ними ; Векторы и линейные операции над ними — мнимая часть комплексного числа Векторы и линейные операции над ними . Ее обозначают Векторы и линейные операции над ними . В случае, если Векторы и линейные операции над ними , то число Векторы и линейные операции над ними именуют чисто мнимым, в случае, если Векторы и линейные операции над ними , то число Векторы и линейные операции над ними , имеется настоящее число.

Два комплексных числа Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними именуют комплексно сопряженными числами.

Два комплексных числа Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними считаются равными, в случае, если Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними . Комплексное число Векторы и линейные операции над ними , в случае, если Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними . Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, именуется комплексной плоскостью.

Время от времени комплексное число Векторы и линейные операции над ними эргономичнее изображать в виде вектора Векторы и линейные операции над ними , начало которого сходится с началом координат, соединяющего точку Векторы и линейные операции над ними с точкой Векторы и линейные операции над ними . Протяженность этого вектора именуется модулем комплексного числа Векторы и линейные операции над ними и обозначается Векторы и линейные операции над ними .

Векторы и линейные операции над ними .

Угол Векторы и линейные операции над ними между вектором Векторы и линейные операции над ними и осью Векторы и линейные операции над ними , отсчитанный против часовой стрелки, именуется доводом комплексного числа Векторы и линейные операции над ними и обозначается Векторы и линейные операции над ними .

Довод числа Векторы и линейные операции над ними определяется с точностью до слагаемого Векторы и линейные операции над ними , где Векторы и линейные операции над ними — целое число. Основное значение довода числа Векторы и линейные операции над ними — значение довода, удовлетворяющее неравенству Векторы и линейные операции над ними . Основное значение довода комплексного числа Векторы и линейные операции над ними обозначается через Векторы и линейные операции над ними : Векторы и линейные операции над ними .

Запись числа Векторы и линейные операции над ними в виде Векторы и линейные операции над ними именуют алгебраической формой записи комплексного числа.

Сумма, разность комплексных чисел и умножение определяется так же, как действия над соответствующими векторами.

Суммой комплексных чисел Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними именуется комплексное число

Векторы и линейные операции над ними (9.3).

Разностью комплексных чисел Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними именуется комплексное число

Векторы и линейные операции над ними (9.4).

Произведение комплексного числа Векторы и линейные операции над ними на настоящее число Векторы и линейные операции над ними именуется комплексное число Векторы и линейные операции над ними .

Произведение двух комплексных чисел Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними , записанных в алгебраической форме определяется как произведение двучленов:

Векторы и линейные операции над ними (9.5).

Произведением двух комплексно сопряженных чисел помогает настоящее число

Векторы и линейные операции над ними (9.6).

Деление комплексных чисел определяется, как воздействие обратное умножению. Частное двух комплексных чисел Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними определяется следующим образом:

Векторы и линейные операции над ними (9.7).

Наровне с прямоугольной совокупностью координат Векторы и линейные операции над ними введем полярную совокупность, начало которой сходится с началом прямоугольной совокупности, а полярная ось – с хорошим направлением оси Векторы и линейные операции над ними . Рис. 8.

Векторы и линейные операции над ними
Векторы и линейные операции над ними
Векторы и линейные операции над ними
Векторы и линейные операции над ними
Векторы и линейные операции над ними
Векторы и линейные операции над ними

Рис. 8.

Из Рис.8 направляться, что:

Векторы и линейные операции над ними .

Подставляя Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними в алгебраическую форму комплексного числа, возьмём

Векторы и линейные операции над ними (9.8).

Выражение (9.8) именуют тригонометрической формой записи комплексного числа Векторы и линейные операции над ними , где Векторы и линейные операции над ними .

Пускай даны два комплексных числа Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними . Записанные в тригонометрической форме:

Векторы и линейные операции над ними .

Тогда Векторы и линейные операции над ними .

Векторы и линейные операции над ними (9.9).

Так, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а доводы складываются; при делении комплексных чисел их модули делятся, а доводы вычитаются.

В случае, если Векторы и линейные операции над ними — целое положительное число, то из (9.9) направляться:

Векторы и линейные операции над ними (9.10).

Корнем Векторы и линейные операции над ними -й степени из комплексного числа Векторы и линейные операции над ними именуется такое комплексное число Векторы и линейные операции над ними , Векторы и линейные операции над ними -я степень которого равна Векторы и линейные операции над ними , т.е. Векторы и линейные операции над ними .

Корень Векторы и линейные операции над ними -й степени из Векторы и линейные операции над ними обозначается Векторы и линейные операции над ними .

В случае, если Векторы и линейные операции над ними , то Векторы и линейные операции над ними равен:

Векторы и линейные операции над ними (9.11).

Подставляя в (9.11) значения Векторы и линейные операции над ними возьмём ровно Векторы и линейные операции над ними разных корней Векторы и линейные операции над ними -й степени из Векторы и линейные операции над ними .

Пример 12. Дано комплексное число Векторы и линейные операции над ними .

Записать число Векторы и линейные операции над ними в алгебраической и тригонометрической формах. Отыскать все корни уравнения Векторы и линейные операции над ними .

Ответ. Запишем число Векторы и линейные операции над ними в алгебраической форме:

Векторы и линейные операции над ними .

Отыщем Векторы и линейные операции над ними : Векторы и линейные операции над ними .

Вычислим Векторы и линейные операции над ними . Тригонометрическая форма записи комплексного числа Векторы и линейные операции над ними имеет форму:

Векторы и линейные операции над ними .

Вычислим Векторы и линейные операции над ними :

Векторы и линейные операции над ними

при Векторы и линейные операции над ними

при Векторы и линейные операции над ними

при Векторы и линейные операции над ними

Не считая алгебраической и тригонометрической форм записи комплексного числа Векторы и линейные операции над ними , используется более маленькая, так называемая показательная форма комплексного числа Векторы и линейные операции над ними , в соответствии с которой

Векторы и линейные операции над ними .

Пускай Векторы и линейные операции над ними и Векторы и линейные операции над ними , тогда:

Векторы и линейные операции над ними .

Действия над векторами


Интересные записи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: