Значительно чаще анализ софизма не может быть закончен раскрытием логической либо фактической неточности, допущенной в нем. Это именно самая несложная часть дела. Сложнее уяснить неприятности, стоящие за софизмом, и тем самым раскрыть беспокойства и источник недоумения, вызываемого им, и растолковать, что придает ему видимость убедительного рассуждения.
В простом представлении и в особых работах, касающихся развития науки, неспециализированным местом есть положение, что всякое изучение начинается с постановки неприятности. Последовательность «неприятность — изучение — ответ» считается приложимой ко всем стадиям развития научных теорий и ко всем видам людской деятельности. Хорошая, другими словами ясная и отчетливая, формулировка задачи рассматривается как непременное условие успеха грядущего изучения либо другой деятельности.
Все это светло, но только применительно к развитым научным теориям и достаточно стабилизировавшейся
и отработанной деятельности. В теориях, находящихся на начальных этапах собственного развития и лишь нащупывающих собственные ключевые принципы, уяснение и выдвижение неприятностей во многом сходится и переплетается ссамим процессом изучения и не может быть конкретно отделено от него. Подобно при вторых видов людской деятельности.
В обстановке, в то время, когда нет еще связной, единой и принятой большинством исследователей теории, жёсткой в собственном ядре и развитой в подробностях, неприятности ставятся во многом в расчете на будущую теорию. И они являются столь же расплывчатыми и неизвестными, как и те сведения и теоретические построения, в рамках которых они появляются.
Эту особенную форму выдвижения неприятностей возможно назвать парадоксальной, либо софистической. Она подобна в собственном существе тому методу, каким в античном мире поднимались первые неприятности, касающиеся языка и логики.
Отличительной изюминкой софизма есть его двойственность, наличие, кроме внешнего, еще и определенного внутреннего содержания. В этом он подобен притче и символу.
Подобно притче, снаружи софизм говорит о отлично известных вещах. Наряду с этим рассказ в большинстве случаев строится так, дабы поверхность не завлекала независимого внимания и тем либо иным методом — значительно чаще методом несоответствия здравому смыслу — намекала на иное, лежащее в глубине содержание. Последнее, в большинстве случаев, неясно и многозначно. Оно содержит в неразвернутом виде, как бы в зародыше, проблему, которая чувствуется, но не может быть сколь-нибудь светло сформулирована , пока софизм не помещен в достаточно широкий и глубочайший контекст. Лишь в нем она обнаруживается в относительно отчетливой форме. С рассмотрением софизма и изменением контекста под углом зрения иного теоретического построения в большинстве случаев оказывается, что в том же софизме скрыта совсем другая неприятность.
В русских сказках видится мотив весьма неизвестного задания. «Отправься в том направлении, не знаю куда, принеси то, не знаю что». Как это ни страно, но храбрец, отправляясь «неизвестно куда», находит конкретно то, что необходимо. Задача, которую ставит софизм, подобна этому заданию, не смотря на то, что и есть намного более определенной.
В притче «Перед параболами» Ф.Кафка пишет: «Слова мудрецов подобны параболам. В то время, когда мудрец го-
ворит: «Иди в том направлении», то он не имеет в виду, что ты должен решительно перейти на другую сторону. Нет, он имеет в виду некое легендарное «В том месте», что-то, чего мы не знаем, что и он сам не имел возможности бы правильнее обозначить». Это правильная черта софизма как разновидности притчи. Запрещено лишь дать согласие с Кафкой, что «все эти параболы означают лишь одно — непостижимое непостижимо». Содержание софизмов разностороннее и глубже, и оно, как показывает опыт их изучения, в полной мере постижимо. Подводя итог дискуссии неприятностей, которые связаны с софизмами, нужно выделить, что не может быть и речи о реабилитации либо каком-то оправдании тех рассуждений, каковые преследуют цель выдать неправда за истину, применяя для этого логические либо семантические неточности.
Речь заходит лишь о том, что слово «софизм» имеет, также современного и отлично устоявшегося смысла, еще и другой суть. В этом втором смысле софизм представляет собой неизбежную на определенном этапе развития теоретического мышления форму постановки неприятностей. Сходным образом и само слово «софист» свидетельствует не только «интеллектуального мошенника», но и философа, в первый раз задумавшегося над проблемами языка и логики.
Все в истории повторяется, появляясь в первоначальный раз как катастрофа, а во второй — как фарс. Перефразируя данный афоризм, возможно заявить, что софизм, в первый раз выдвигающий некую проблему, есть, в сущности, катастрофой слишком мало зрелого и слишком мало опытного ума, пробующего как-то осознать то, что он пока не способен выразить кроме того в форме вопроса. Софизм, вуалирующий известную и, быть может, уже решенную проблему, повторяющий тем самым то, что уже пройдено, есть, само собой разумеется, фарсом.
Литература
Аристотель. Риторика//Древние риторики. — М.: 1978.
Ивин А. А. Мастерство верно мыслить. — М.: 1990.
Поварнин С.И. Спор. О теории и практике спора. — Пг.: 1918.
Попов П.С., Стяжкин Н.И. Развитие логических идей от античности до ренесанса. — М.: 1974.
Уемов А. И. Логические неточности. — М.: 1957.
Чернышев Б.С. Софистика. — М.: 1951.
Шопенгауэр А. Эристика, либо Мастерство побеждать в спорах. — СПб.: 1900.
Контрольные вопросы
Какие конкретно логические неточности лежат в базе софизмов? В чем недочёты стандартного истолкования софизмов? Какие конкретно ответы предлагались для апорий Зенона? Какие конкретно неприятности смогут находиться за этими апориями?
Какую роль сыграли софизмы в становлении логики?
В чем особенность софизма как формы постановки неприятности?
докладов и Темы рефератов
Софизм как интеллектуальное мошенничество Софизмы как особенная форма постановки неприятностей Софизмы в логике и античной философии Роль софизмов в становлении логики Логические неточности в софизмах Апории Зенона и их современное истолкование
Глава 8
Логические парадоксы
§ 1. Король логических парадоксов
Как мы знаем, что сформулировать проблему довольно часто серьёзнее и тяжелее, чем решить ее. «В науке, — писал британский химик Ф. Содди, — задача, надлежащим образом поставленная, более чем наполовину решена. Процесс умственной подготовки, нужный для выяснения того, что существует определенная задача, довольно часто отнимает больше времени, чем само ответ задачи».
Формы, в которых проявляется и осознается проблемная обстановка, весьма разнообразны. Далеко не всегда она обнаруживает себя в виде прямого вопроса, поднявшегося в начале изучения. Мир неприятностей так же сложен, как и порождающий их процесс познания. Обнаружение неприятностей связано с самой сутью творческого, мышления. Парадоксы являются самый интересный случай неявных, безвопросных способов постановки неприятностей. Парадоксы просты на ранних стадиях развития научных теорий, в то время, когда делаются первые шаги в еще неизученной области и нащупываются самые неспециализированные правила подхода к ней.
Парадоксы и логика
В широком смысле парадокс — это положение, быстро расходящееся с общепринятыми, устоявшимися, ортодоксальными мнениями. «Общепризнанные мнения да и то, что вычисляют делом в далеком прошлом решенным, значительно чаще заслуживают изучения» (ГЛихтенберг). Парадокс — начало для того чтобы изучения.
Парадокс в более узком и особом значении — это два противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными доводы.
самая резкая форма парадокса — антиномия, рассуждение, обосновывающее эквивалентность двух утверждений, одно из которых есть отрицанием другого.
Особенной известностью пользуются парадоксы в самых строгих и правильных науках — логике и математике. И это не просто так.
Логика — абстрактная наука. В ней нет опытов, нет кроме того фактов в простом смысле этого слова. Строя собственные совокупности, логика исходит в конечном итоге из анализа настоящего мышления. Но результаты этого анализа носят синтетический, нерасчлененный темперамент. Они не являются констатациями каких-либо отдельных процессов либо событий, каковые должна была бы растолковать теория. Таковой анализ запрещено, разумеется, назвать наблюдением: отмечается в любой момент конкретное явление.
Конструируя новую теорию, ученый в большинстве случаев отправляется от фактов, от того, что возможно замечать в опыте. Как бы ни была свободна его творческая фантазия, она обязана принимать во внимание с одним непременным событием: теория имеет суть лишь в том случае, в то время, когда она согласуется с относящимися к ней фактами. Теория, расходящаяся с наблюдениями и фактами, есть надуманной и ценности не имеет.
Но в случае, если в логике нет опытов, нет фактов и нет самого наблюдения, то чем сдерживается логическая фантазия? Какие конкретно если не факты, то факторы принимаются во внимание при разработке новых логических теорий?
Расхождение логической теории с практикой настоящего мышления часто обнаруживается в форме более либо менее острого логического парадокса, а время от времени кроме того в форме логической антиномии, говорящей о внутренней противоречивости теории. Этим именно разъясняется то значение, которое придается парадоксам в логике, да и то громадное внимание, которым они в ней пользуются.
Варианты парадокса «Лжеца»
самые известным и, пожалуй, самым занимательным из всех логических парадоксов есть парадокс «Лжец». Он-то в большинстве случаев и прославил имя открывшего его Евбулида из Милета.
Имеются варианты этого парадокса, либо антиномии, многие из которых являются лишь по видимости парадоксальными.
В несложном варианте «Лжеца» человек произносит всего одну фразу: «Я лгу». Либо говорит: «Высказывание, которое я на данный момент произношу, есть фальшивым». Либо: «Это высказывание ложно».
В случае, если высказывание ложно, то говорящий сообщил правду, и значит, сообщённое им не есть ложью. В случае, если же высказывание не есть фальшивым, а говорящий говорит, что оно ложно, то это его высказывание ложно. Оказывается, так, что, в случае, если говорящий лжет, он говорит правду, и напротив.
В средние века распространенной была такая формулировка:
— Сообщённое Платоном — ложно, — говорит Сократ.
— То, что сообщил Сократ, — истина, — говорит Платон.
Появляется вопрос, кто из них высказывает истину, а кто неправда?
А вот современная перефразировка этого парадокса. Допустим, что на лицевой стороне карточки написаны лишь слова: «На другой стороне данной карточки написано подлинное высказывание». Ясно, что эти слова являются осмысленное утверждение. Перевернув карточку, мы должны или найти обещанное высказывание, или его нет. Если оно написано на обороте, то оно есть или подлинным, или нет. Но на обороте стоят слова: «На другой стороне данной карточки написано фальшивое высказывание» — и ничего более. Допустим, что утверждение на лицевой стороне действительно. Тогда утверждение на обороте должно быть подлинным и, значит, утверждение на лицевой стороне должно быть фальшивым. Но в случае, если утверждение на лицевой стороне ложно, тогда утверждение на обороте кроме этого должно быть фальшивым, и, следовательно, утверждение на лицевой стороне должно быть подлинным. В итоге — парадокс.
Парадокс «Лжец» произвел громадное впечатление на греков. И легко понять по какой причине. Вопрос, что в нем ставится, с первого взора думается совсем несложным: лжет ли тот, кто говорит лишь то, что он лжет? Но ответ «да» ведет к ответу «нет», и напротив. И
размышление никак не проясняет обстановку. За простотой а также обыденностью вопроса оно открывает какую-то неясную и неизмеримую глубину.
Ходит кроме того легенда, что некоторый Филит Косский, отчаявшись дать добро данный парадокс, наложил на себя руки. Говорят кроме этого, что один из известных древнегреческих логиков, Диодор Кронос, уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не отыщет ответ «Лжеца», и скоро погиб, так ничего и не добившись.
В средние века данный парадокс был отнесен к так называемым неразрешимым предложениям и сделался объектом систематического анализа.
В новое время «Лжец» продолжительно не завлекал никакого внимания. В нем не видели никаких, кроме того малозначительных затруднений, касающихся потребления языка. И лишь в отечественное, так именуемое новейшее время развитие логики достигло наконец уровня, в то время, когда неприятности, стоящие, как представляется, за этим парадоксом, произошло формулировать уже в строгих терминах.
Сейчас «Лжец» — данный обычный бывший софизм — часто именуется королем логических парадоксов. Ему посвящена широкая научная литература. И однако, как и при многих вторых парадоксов, остается не в полной мере ясным, какие конкретно конкретно неприятности прячутся за ним и как направляться избавляться от него.
метаязык и язык
на данный момент «Лжец» в большинстве случаев считается характерным примером тех трудностей, к каким ведет смешение двух языков: языка, на котором говорится о лежащей вне его действительности, и языка, на котором говорят о самом первом языке.
В повседневном языке нет различия между этими уровнями: и о действительности, и о языке мы говорим на одном и том же языке. К примеру, человек, родным языком которого есть русский язык, не видит никакой особенной отличия между утверждениями: «Стекло прозрачно» и «Правильно, что стекло прозрачно», не смотря на то, что одно из них говорит о стекле, а второе — о высказывании относительно стекла.
Если бы у кого-то появилась идея о необходимости сказать о мире на одном языке, а о особенностях этого языка — на втором, он имел возможность бы воспользоваться двумя различными существующими языками, допустим русским и британским. Вместо того, дабы : «Корова — это существительное», сообщил бы «Корова is a noun», а вместо: «Утверждение «Стекло не прозрачно»
ложно» сказал бы «The assertion «Стекло не прозрачно» is false». При таком применении двух различных языков сообщённое о мире светло отличалось бы от сообщённого о языке, благодаря которому говорят о мире. В действительности, первые высказывания относились бы к русскому языку, тогда как вторые — к британскому.
Если бы потом отечественному знатоку языков захотелось высказаться по поводу каких-то событий, касающихся уже английского, он имел возможность бы воспользоваться еще одним языком. Допустим германским. Для беседы об этом последнем возможно было бы прибегнуть, допустим, к испанскому языку и т.д.
Получается, так, необычная лесенка, либо иерархия, языков, любой из которых употребляется для в полной мере определенной цели: на первом говорят о предметном мире, на втором — об этом первом языке, на третьем — о втором языке и т.д. Такое разграничение языков по области их применения — редкое явление в простой судьбе. Но в науках, намерено занимающихся, подобно логике, языками, оно время от времени выясняется очень нужным. Язык, на котором рассуждают о мире, в большинстве случаев именуют предметным языком. Язык, применяемый для описания предметного языка, именуют метаязыком.
Ясно, что, в случае, если метаязык и язык разграничиваются указанным образом, утверждение «Я лгу» уже не может быть сформулировано. Оно говорит о ложности того, что сообщено на русском, и, значит, относится к метаязыку и должно быть высказано на английском. Конкретно оно должно звучать так: «Everything I speak in Russian is false» («Все сообщённое мной по-русски ложно»); в этом британском утверждении ничего не говорится о нем самом, и никакого парадокса не появляется.
Различение метаязыка и языка разрешает устранить парадокс «Лжеца». Тем самым появляется возможность корректно, без несоответствия выяснить хорошее понятие истины: подлинным есть высказывание, соответствующее обрисовываемой им действительности.
Понятие истины, как и все иные семантические понятия, имеет относительный темперамент: оно в любой момент возможно отнесено к определенному языку.
Как продемонстрировал польский логик АТарский, хорошее определение истины должно формулироваться в языке более широком, чем тот язык, для которого оно предназначено. Иными словами, в случае, если мы желаем указать, что свидетельствует оборот «высказывание, подлинное в данном языке», необходимо, кроме выражений этого языка, пользоваться кроме этого выражениями, которых в нем нет.
Тарский ввел понятие семантически замкнутого языка. Таковой язык включает, кроме собственных выражений, их имена, и, что принципиально важно выделить, высказывания об истинности формулируемых в нем предложений.
Границы между метаязыком и языком в семантически замкнутом языке не существует. Средства его так богаты, что разрешают не только что-то утверждать о внеязыковой действительности, но и оценивать истинность таких утверждений. Этих средств достаточно, например, чтобы воспроизвести в языке антиномию «Лжец». Семантически замкнутый язык оказывается, так, внутренне противоречивым. Любой естественный язык есть, разумеется, семантически замкнутым.
Единственно приемлемый путь для устранения антиномии, соответственно, и внутренней противоречивости, в соответствии с Тарскому, — отказ от потребления семантически замкнутого языка. Данный путь приемлем, само собой разумеется, лишь при неестественных, формализованных языков, допускающих ясное подразделение на метаязык и язык. В естественных же языках с их возможностью и неясной структурой сказать обо всем на одном и том же языке таковой подход не весьма настоящ. Ставить вопрос о внутренней непротиворечивости этих языков не имеет смысла. Их богатые ясные возможности имеют и собственную обратную сторону — парадоксы.
Другие решения парадокса
Итак, существуют высказывания, говорящие о собственной истинности либо ложности. Мысль, что для того чтобы рода высказывания не являются осмысленными, весьма ветха. Ее отстаивал еще древнегреческий логик Хрисипп.
В средние века логик и английский философ У.Оккам заявлял, что утверждение «Всякое высказывание ложно» бессмысленно, потому, что оно говорит в числе другого и о собственной ложности. Из этого утверждения прямо направляться несоответствие. В случае, если всякое высказывание ложно, то это относится и к самому данному утверждению; но то, что оно ложно, свидетельствует, что не всякое высказывание есть фальшивым. Подобно обстоит дело и с утверждением «Всякое высказывание действительно». Оно кроме этого должно быть отнесено к тщетным и кроме этого ведет к несоответствию: в случае, если каждое высказывание действительно, то подлинным есть и отрицание самого этого высказывания, другими словами высказывание, что не всякое высказывание действительно.
По какой причине, но, высказывание не имеет возможности осмысленно сказать о собственной истинности либо ложности?
Уже современник Оккама, французский философ XIV в. Ж. Буридан, не был согласен с его ответом. С позиций простых представлений о бессмысленности, выражения типа «Я лгу», «Всякое высказывание действительно (ложно)» и т.п. в полной мере осмысленны. О чем возможно поразмыслить, о том возможно высказаться, — таков неспециализированный принцип Буридана. Человек может думать об истинности утверждения, которое он произносит, значит, он может и высказаться об этом. Не все утверждения, говорящие о самих себе, относятся к тщетным. К примеру, утверждение «Это предложение написано по-русски» есть подлинным, а утверждение «В этом предложении десять слов» ложно. И оба они совсем осмысленны. В случае, если допускается, что утверждение может сказать и о самом себе, то по какой причине оно не может со смыслом сказать и о таком собственном свойстве, как истинность?
Сам Буридан вычислял высказывание «Я лгу» не тщетным, а фальшивым. Он обосновывал это так. В то время, когда человек утверждает какое-то предложение, он утверждает тем самым, что оно действительно. В случае, если же предложение говорит о себе, что оно само есть фальшивым, то оно представляет собой лишь сокращенную формулировку более сложного выражения, утверждающего одновременно и собственную истинность, и собственную ложность. Это выражение противоречиво и, следовательно, ложно. Но оно никак не бессмысленно.
Аргументация Буридана и по сей день время от времени считается убедительной.
Имеются и другие направления критики того ответа парадокса «Лжец», которое было в подробностях развито Тарским. Вправду ли в семантически замкнутых языках — а таковы так как все естественные языки — нет никакого противоядия против парадоксов этого типа?
Если бы это было так, то понятие истины возможно было бы выяснить строгим образом лишь в формализованных языках. Лишь в них удается разграничить предметный язык, на котором рассуждают об окружающем мире, и метаязык, на котором говорят об этом языке. Эта иерархия языков строится по примеру усвоения зарубежного языка посредством родного. Изучение таковой иерархии привело ко многим увлекательным выводам, и в определенных случаях она значительна. Но ее нет в естественном языке. Дискредитирует ли это его? И в случае, если да, то в какой конкретно мере? Так как в нем понятие истины все-таки
употребляется, и в большинстве случаев без всяких осложнений. есть ли введение иерархии единственным методом исключения парадоксов, аналогичных «Лжецу?»
В 30-е годы ответы на эти вопросы представлялись без сомнений утвердительными. Но на данный момент прежнего единодушия уже нет, не смотря на то, что традиция ликвидировать парадоксы данного типа методом «расслаивания» языка остается господствующей.
Сейчас все больше внимания завлекают эгоцентрические выражения. В них видятся слова, подобные «я», «это», «тут», «сейчас», и их истинность зависит от того, в то время, когда, кем, где они употребляются.
В утверждении «Это высказывание есть фальшивым» видится слово «это». К какому конкретно объекту оно относится? «Лжец» может сказать о том, что слово «это» не относится к смыслу данного утверждения. Но тогда к чему оно относится, что обозначает? И по какой причине этот суть не может быть все-таки обозначен словом «это»?
Не вдаваясь тут в подробности, необходимо подчеркнуть лишь, что в контексте анализа эгоцентрических выражений «Лжец» наполняется совсем иным содержанием, чем ранее. Оказывается, он уже не предостерегает от метаязыка и смешения языка, а указывает на опасности, которые связаны с неправильным потреблением слова «это» и аналогичных ему эгоцентрических слов.
Неприятности, связывавшие в течении столетий с «Лжецом», радикально изменялись в зависимости от того, рассматривался ли он как пример неясности, либо же как выражение, снаружи представляющееся как пример метаязыка и смешения языка, либо же, наконец, как обычный пример неверного потребления эгоцентрических выражений. И нет уверенности в том, что с этим парадоксом не окажутся связанными в будущем и другие неприятности.
Узнаваемый современный философ и финский логик Г. фон Вригт писал в собственной работе, посвященной «Лжецу», что этот парадокс ни за что не должен пониматься как локальное, изолированное препятствие, устранимое одним изобретательным перемещением мысли. «Лжец» затрагивает многие наиболее семантики темы и важные логики. Это и определение истины, и доказательства и истолкование противоречия, и целая серия ответственных различий: между предложением и высказываемой им мыслью, между его упоминанием и употреблением выражения, между смыслом имени и обозначаемым им объектом.
Подобно обстоит дело и с другими логическими парадоксами. «Антиномии логики, — пишет фон Вригг, — озадачили с момента собственного открытия и, возможно, будут озадачивать нас в любой момент. Мы должны, я думаю, разглядывать их не столько как неприятности, ожидающие ответы, сколько как неисчерпаемый сырой материал для размышления. Они ответственны, потому, что размышление о них затрагивает самые фундаментальные вопросы всей логики, соответственно, и всего мышления».
Подводя итог этого беседы о «Лжеце» возможно отыскать в памяти курьезный эпизод из того времени, в то время, когда формальная логика еще преподавалась в школе. В книжке логики, изданном в конце 40-х годов, школьникам восьмого класса предлагалось в качестве домашнего задания — в порядке, так сообщить, разминки — отыскать неточность, допущенную в этом простеньком на вид утверждении: «Я лгу». И, пускай это не покажется необычным, считалось, что школьники в большинстве собственном удачно справлялись с таким заданием.
Парадокс Рассела
Самым известным из открытых уже в отечественном веке парадоксов есть антиномия, найденная Б. Расселом и сказанная им в письме к Г. Ферге. Эту же антиномию обсуждали в один момент в Геттингене германские математики 3. Цермело и Д. Гильберт.
Мысль носилась в воздухе, и ее опубликование произвело чувство разорвавшейся бомбы. Данный парадокс позвал в математике, согласно точки зрения Гильберта, эффект полной трагедии. Нависла угроза над самыми несложными и серьёзными логическими способами, самыми обычными и нужными понятиями.
Сразу же стало очевидным, что ни в логике, ни в математике за всю продолжительную историю их существования не было выработано решительно ничего, что имело возможность бы послужить базой для. устранения антиномии. очевидно был нужным отход от привычных способов мышления. Но из какого именно места и в каком направлении? Как радикальным должен был стать отказ от устоявшихся способов теоретизирования?
С предстоящим изучением антиномии убеждение в необходимости принципиально нового подхода неуклонно росло. Спустя пяти десятилетий по окончании ее открытия эксперты по основаниям математики и логики Л. Френкель и И.Бар-Хиллел уже без всяких оговорок утверждали: «Мы полагаем, что каждые попытки выйти из по-
ложения посредством классических (другими словами имевших хождение до XX столетия) способов мышления, до сих пор неизменно проваливавшихся, заведомо недостаточны для данной цели».
Современный американский логик X. Карри писал мало позднее об этом парадоксе: «В терминах логики, известной в XIX в., положение просто не поддавалось объяснению, не смотря на то, что, само собой разумеется, в отечественный образованный век смогут найтись люди, каковые заметят (либо поразмыслят, что заметят), в чем же состоит неточность».
Парадокс Рассела в начальной его форме связан с понятием множества, либо класса.
Возможно сказать о множествах разных объектов, к примеру, о множестве всех людей либо о множестве натуральных чисел. Элементом первого множества будет каждый отдельный человек, элементом второго — каждое натуральное число. Возможно кроме этого сами множества разглядывать как кое-какие объекты и сказать о множествах множеств. Возможно ввести кроме того такие понятия, как множество всех множеств либо множество всех понятий.
Множество простых множеств
Довольно любого произвольно забранного множества представляется осмысленным задать вопрос, есть оно своим собственным элементом либо нет. Множества, не которые содержат себя в качестве элемента, назовем простыми. К примеру, множество всех людей не есть человеком, так же как множество атомов — это не атом. Необыкновенными будут множества, являющиеся собственными элементами. К примеру, множество, объединяющее все множества, является множеством и, значит, содержит само себя в качестве элемента.
Разглядим сейчас множество всех простых множеств. Потому, что оно множество, о нем также возможно задавать вопросы, простое оно либо необыкновенное. Ответ, но, выясняется обескураживающим. Если оно простое, то, в соответствии с собственному определению, должно содержать само себя в качестве элемента, потому, что содержит все простые множества. Но это указывает, что оно есть необыкновенным множеством. Допущение, что отечественное множество представляет собой простое множество, приводит, так, к несоответствию. Значит, оно не может быть простым. Иначе, оно не может быть кроме этого необыкновенным: необыкновенное множество содержит само себя в качестве элемента, а элементами отечественного множества являются лишь простые множества. В итоге приходим к заключению, что мно-
жество всех простых множеств не может быть ни простым, ни необыкновенным множеством.
Итак, множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, имеется собственный элемент в том и лишь том случае, в то время, когда оно не есть таким элементом. Это явное несоответствие. И получено оно на базе самых правдоподобных догадок и посредством неоспоримых как словно бы шагов.
Несоответствие показывает, что для того чтобы множества не существует. Но по какой причине оно не существует? Так как оно складывается из объектов, удовлетворяющих четко определенному условию, причем само условие не думается каким-то необыкновенным либо неясным. В случае, если столь легко и светло заданное множество не существует, то в чем, фактически, содержится различие между вероятными и неосуществимыми множествами? Вывод о несуществовании разглядываемого множества звучит нежданно и внушает беспокойство. Он делает отечественное неспециализированное понятие множества аморфным и хаотичным, и нет гарантии, что оно не может породить какие-то новые парадоксы.
Парадокс Рассела превосходен собственной крайней общностью. Для его построения не необходимы какие-либо сложные технические понятия, как при некоторых вторых парадоксов, хватает понятий «элемент» и «множество множества». Но эта простота именно и говорит о его фундаментальности: он затрагивает самые глубокие основания отечественных рассуждений о множествах, потому, что говорит не о каких-то особых случаях, а о множествах по большому счету.
Другие варианты парадокса
Парадокс Рассела не имеет своеобразны математического характера. В нем употребляется понятие множества, но не затрагиваются какие-то особенные, связанные конкретно с математикой его свойства.
Это делается очевидным, в случае, если переформулировать парадокс в чисто логических терминах.
О каждом свойстве возможно, по всей видимости, задавать вопросы, приложимо оно к самому себе либо нет.
Свойство быть горячим, к примеру, неприложимо к самому себе, потому, что само не есть горячим; свойство быть конкретным также не относится к самому себе, потому что это абстрактное свойство. Но вот свойство быть абстрактным, являясь абстрактным, приложимо к самому себе. Назовем эти неприменимые к самим себе свойства неприложимыми. Применимо ли свойство быть
неприложимым к самому себе? Оказывается, неприложимость есть неприложимой лишь в том случае, если она не есть такой. Это, само собой разумеется, парадоксально.
Логическая, касающаяся особенностей разновидность антиномии Рассела, столь же парадоксальна, как и математическая, относящаяся к множествам, ее разновидность.
Рассел предложил также следующий популярный вариант открытого им парадокса.
Представим, что совет одной деревни так выяснил обязанности парикмахера: брить всех мужчин деревни, каковые не бреются сами, и лишь этих мужчин. Обязан ли он брить самого себя? В случае, если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. В случае, если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он обязан будет брить себя. Мы приходим, так, к заключению, что данный парикмахер бреет себя в том и лишь том случае, в то время, когда он не бреет себя. Это, очевидно, нереально.
Рассуждение о парикмахере опирается на допущение, что таковой парикмахер существует. Полученное несоответствие свидетельствует, что это допущение ложно, и нет для того чтобы обитателя деревни, что брил бы всех тех и лишь тех ее обитателей, каковые не бреются сами.
Обязанности парикмахера не кажутся на первый взгляд противоречивыми, исходя из этого вывод, что его не может быть, звучит пара нежданно. Но данный вывод не являтся все-таки парадоксальным. Условие, которому обязан удовлетворять деревенский брадобрей, в действительности внутренне противоречиво и, следовательно, невыполнимо. Аналогичного парикмахера не может быть в деревне по той же причине, по какой в ней нет человека, что был бы старше самого себя либо что появился бы до собственного рождения.
Рассуждение о парикмахере возможно названо псевдопарадоксом. По собственному ходу оно строго подобно парадоксу Рассела и этим весьма интересно. Но оно все-таки не есть настоящим парадоксом.
Второй пример для того чтобы же псевдопарадокса представляет собой известное рассуждение о каталоге.
Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и лишь те библиографические каталоги, каковые не содержат ссылки на самих себя. Обязан ли таковой каталог включать ссылку на себя?
Нетрудно продемонстрировать, что мысль создания для того чтобы каталога неосуществима; он просто не существует, потому, что обязан одновременно и включать ссылку на себя и не включать.
Весьма интересно подчернуть, что составление каталога всех каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, возможно представить как нескончаемый, ни при каких обстоятельствах не завершающийся процесс. Допустим, что в какой-то момент был составлен каталог, скажем К1, включающий, все хорошие от него каталоги, не которые содержат ссылки на себя. С созданием К1 показался еще один каталог, не содержащий ссылки на себя. Так как задача содержится в том, дабы составить полный каталог всех каталогов, не упоминающих себя, то разумеется, что К1 не есть ее ответом. Он не упоминает один из таких каталогов — самого себя. Включив в К1 это упоминание о нем самом, возьмём каталог К2. В нем упоминается К1, но не сам К2. Добавив к К2 такое упоминание, возьмём КЗ, что опять-таки не полон по причине того, что не упоминает самого себя. И потом без финиша.
Парадоксы Греллинга и Берри
Занимательный логический парадокс был открыт германскими логиками К. Греллингом и Л. Нельсоном (парадокс Греллинга). Данный парадокс возможно сформулировать весьма легко.