Применение способа сил для расчета совокупностей с высокой степенью статической неопределимости связано с ответом совместной совокупности громадного количества линейных уравнений. Кроме того самый экономичных способ ответа таких совокупностей – метод Гаусса – требует вычислительных операций (где n – число уравнений, т.е. степень статической неопределимости совокупности), при условии, что все коэффициенты совокупности хороши от нуля. Поэтому необходимо стремиться так выбрать главную совокупность, дабы допустимо большее число побочных единичных свободных членов и перемещений обратилось в ноль.
Главным средством с целью достижения данной цели есть применение симметрии. Стержневая совокупность есть симметричной, в случае, если симметричны не только оси и опорные закрепления (геометрическая симметрия), но и жесткости (упругая симметрия). Наряду с этим внешняя нагрузка возможно и несимметричной.
При выборе главной совокупности лишние малоизвестные направляться выбирать в виде симметричных и обратно симметричных упрочнений. Симметричные малоизвестные создают симметричные эпюры моментов, а обратно симметричные малоизвестные – кососимметричные эпюры. Такие эпюры владеют свойством обоюдной ортогональности, т.е. итог их перемножения равен нулю:
(3.14)
Ортогонализация эпюр может достигаться разными методами:
1) выбор симметричной главной совокупности; 2) выбор симметричных и обратносимметричных малоизвестных; 3) группировка малоизвестных; 4) устройство твёрдых консолей (метод упругого центра); 5) применение статически неопределимой главной совокупности; 6) разложение произвольной нагрузки на симметричную и обратносимметричную составляющие.
Применение большинства этих способов будет рассмотрено ниже на конкретных примерах, тут же охарактеризуем лишь метод, заключающийся в применении статически неопределимой главной совокупности. Для расчета статически неопределимой совокупности возможно отбрасывать не все лишние малоизвестные, а одно либо пара. Наряду с этим значительно уменьшается число канонических уравнений. Так, рассчитывая n раз статически неопределимую совокупность, возможно не решать n уравнений, в случае, если в качестве главной совокупности использовать совокупность со степенью статической неопределимости n -1. Для определения упрочнения в i-ой удаленной связи достаточно решить только одно уравнение:
где и — перемещения по направлению в основной, (n-1) раз статически неопределимой совокупности, вызываемые внешней нагрузкой и усилием соответственно.
Следовательно, разглядываемый метод требует, дабы предварительно были вычислены все нужные перемещения в статически неопределимой главной совокупности. Для этого нужно заблаговременно иметь эпюры внутренних упрочнений от действия на статически неопределимую главную совокупность единичных малоизвестных и заданной внешней нагрузки. В случае, если же таких эпюр нет, то расчет не только не упростится, но кроме того может усложниться. Это событие быстро ограничивает практическую область применения рассмотренного метода.
Примеры расчетов
Разглядим вышеприведенный метод расчета разных совокупностей способом сил на конкретных примерах статически неопределимых балок и плоских рам.
Пример 18. Выстроить эпюру изгибающих моментов для статически неопределимой балки (рис.36,а).
Рис. 36
Степень статической неопределимости балки:
.
Главная и эквивалентная совокупность приведены на рис.36,б,в. Так выбор главной совокупности есть наиболее рациональным, но не единственным. Возможно было, к примеру, заменить твёрдую заделку на шарнирнонеподвижную опору; тогда главная совокупность воображала бы собой статически определимую шарнирную балку, а лишняя малоизвестная – сосредоточенный момент X, приложенный к левой опоре.
Эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки (рис.36,д) имеет размерность Кн·м, а единичная эпюра моментов (рис.36,ж) — м.
Каноническое уравнение способа сил:
Вычисляем коэффициенты и , перемножая соответствующие эпюры по правилу Верещагина:
Реакция лишней связи:
Так, исходная статически неопределимая совокупность, загруженная распределенной нагрузкой q, приведена к статически определимой совокупности (жестко защемленная балка), загруженной распределенной нагрузкой q и сосредоточенной силой (рис.36, з).
На рис.37,а,б представлены эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов для заданной совокупности.
Напомним, что эпюры Q и (рис.37) выстроены конкретно способом сечений, причем по условиям задачи построение эпюры Q не есть необходимым. Однако эта эпюра разрешила выяснить сечение, в котором будет экстремум на эпюре .
Рис. 37
Применение формулы (3.8) в виде:
(3.8)
не дает ответа на вопрос о месте нахождения экстремума совершает верное построение эпюры более сложной задачей, требующей определенных навыков.
Пример 19. Выстроить эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов для плоской рамы (рис.38,а).
Степень статической неопределимости рамы:
Выбираем главную совокупность, отбрасывая на правой опоре горизонтальный стержень (рис.38,б), т.е. заменяем шарнирно-неподвижною опору на шарнирно-подвижную. На базе главной совокупности формируем эквивалентную совокупность (рис.38,в).
Заменяя реакцию лишней связи соответствующей единичной силой,
(рис. 38,г) строим эпюру моментов (рис.38,д).
Грузовая эпюра моментов (рис.38,ж), выстроенная от одновременного действия всех внешних нагрузок (рис.38,е), есть знакопеременной на участке, где действует нагрузка q. Это формирует определенные трудности (не смотря на то, что и не непреодолимые!) при ее перемножении с единичной эпюрой Поэтому целесообразно выстроить две грузовых эпюры – раздельно от нагрузки q (эпюра ) и от совместного действия F и M (эпюра ). эпюры и Эти варианты нагружения представлены на рис.38,з и рис.39,а,б,в.
При таком разбиении внешней нагрузки каноническое уравнение способа сил содержит два грузовых перемещения и имеет форму:
Вычислим коэффициенты канонического уравнения:
Реакция лишних связи:
Эпюры Nz, Qy, Mx для заданной совокупности, загруженной нагрузками F, M, q и X1 (рис.39,г) представлены на рис.39,д,е,ж.
Как уже говорилось в гл.1, при построении эпюр и Q в рамах ординаты возможно откладывать в любую сторону, но непременно показывать символы; а при построении эпюр символы возможно не показывать, но непременно откладывать ординаты со стороны сжатых волокон соответствующих элементов.
В обоих рассмотренных примерах универсальная проверка правильности вычисления коэффициентов свободных членов и канонического уравнения не выполнялась, поскольку балка (пример 18) и рама (пример 19) имеют степень статической неопределимости , а, значит, суммарная единичная эпюра (в случае, если ее выстроить) совпадет с единичной эпюрой . В этом случае возможно (и нужно!) проверить правильность исполнения расчета при помощи универсальной кинематической проверки окончательной эпюры моментов .
Выполним эту диагностику для рамы, рассмотренной в последнем примере (рис.38,а). Должно выполняться условие:
Продемонстрируем раздельно фрагменты перемножаемых эпюр (рис.38,д и рис.39,ж) для ригеля (рис.40,а,б) и стойки (рис.40,в,г) с указанением всех характерных размеров и соответствующих им ординат. Причем стойка (на рис.40,в,г) продемонстрирована в горизонтальном положении.
Точка пересечения кривой на ригеле эпюры с осью (рис.40,б) определяется следующим образом. Обозначим координату произвольного сечения, отсчитываемую от правого финиша ригеля, через z, тогда момент определяется в виде:
Пересечение с осью свидетельствует, что в этом сечении исходя из этого подставляя числовые значения, для определения z при возьмём квадратное уравнение:
откуда (второй корень этого уравнения лишен физического смысла).
Рис. 38
Рис. 39
следовательно, расчет выполнен верно.
Перейдем к рассмотрению более сложной совокупности – рамы с двумя лишними связями, для которой метод расчета, приведенный в параграфе 3.3, возможно реализовать полностью.
Рис. 40
Пример 20. Для рамы (рис.41,а) выстроить эпюры Выполнить промежуточные и окончательные испытания в соответствии с методом расчета, указанным в параграфе 3.3.
Заданная рама имеет в опорных закреплениях пять связей: две в опоре 1 и три в опоре 2, следовательно, совокупность два раза статически неопределима:
Главную совокупность целесообразно выбрать методом удаления шарнирной опоры (рис.41,б). Соответствующая эквивалентная совокупность изображена на рис.41,в.
Рис. 41
Совокупность канонических уравнений:
Для свободных членов и вычисления коэффициентов канонических уравнений строим единичные рис.41,г,д) и грузовую ( , рис.41, ж,з) эпюры изгибающих моментов, а для исполнения испытаний – суммарную единичную эпюру (рис.41,е).
Коэффициенты совокупности канонических уравнений вычисляем методом перемножения соответствующих эпюр по правилу Верещагина. Наряду с этим непременно учитываем различную жесткость элементов рамы (E2I – на левой стойке ригеля; EI – на правой стойке).
Для проверки вычисленных коэффициентов при малоизвестных и свободных участников канонических уравнений используем суммарную единичную эпюру (рис. 41,е).
Должны быть выполнены два условия:
1)
2)
Вычисляем величины и .
1)
2)
так, коэффициенты при малоизвестных и свободные участников канонических уравнений вычислены верно.
Вычисляем реакции лишних связей:
Строим эпюры продольных (Nz) и поперечных (Qy) сил и изгибающих моментов (Мх) для заданной совокупности с учетом вычисленных реакций лишних связей (рис.43,а-г).
Для исполнения статической проверки нужно вырезать рис и жёсткие 3 узлы 4 (рамы.43,а) и убедиться в справедливости условий равновесия для каждого из них.
Условия равновесия для узла 3 (рис.42,а):
Условия равновесия для узла 4 (рис.42,б):
Так, статическая проверка выполняется.
Рис. 42
Для исполнения кинематической испытания перемножим суммарную единичную эпюру (рис.41,е) и окончательную эпюру изгибающих моментов Мх (рис.43,г):
следовательно, все проверки способа сил выполняются, и расчет проделан верно.
Рис. 43
Сейчас разглядим примеры, иллюстрирующие разные методы применения симметрии.
Пример 21. Выстроить эпюры Nz, Qy и Mx для симметричной рамы, загруженной несимметричной внешней нагрузкой (рис.44,а).
Заданная рама имеет два замкнутых бесшарнирных контура, следовательно, ее степень статической неопределимости
Записанная формально, без применения симметрии, совокупность канонических уравнений способа сил имеет форму
Из многих вероятных вариантов выбора главной совокупности наиболее целесообразным, максимально упрощающим расчет, есть вариант, представленный на рис.44,б, полученный методом разрезания каждого из ригелей посредине пролета. Так как разрез стержня ведет к появлению трех малоизвестных факторов (двух момента и сил), то эквивалентная совокупность (рис.44,в) будет складываться из двух жестко защемленных рам, одна из которых загружена лишь малоизвестными реакциями, а вторая – такими же (по величине) внешней нагрузкой и реакциями.
Указанный выбор главной совокупности разрешает не только взять простые единичные эпюры (рис.44,г-и), но, что особенно принципиально важно, наряду с этим множество побочных коэффициентов совокупности канонических уравнений обращается в ноль. Это те коэффициенты, каковые получаются методом перемножения симметричной и кососимметричной эпюр:
В силу теоремы о взаимности перемещений число нулевых коэффициентов удваивается. В следствии формально записанная совокупность канонических уравнений распадается на две независимых совокупности:
I)
II)
Вычисление коэффициентов этих совокупностей уравнений (с необходимым учетом соотношения жестокостей элементов) ведет к следующим итогам:
Рис. 44
Для исполнения проверки вычисленных перемещений строим суммарную единичную эпюру от одновременного действия шести единичных факторов (рис.45,б).
Вычисляем коэффициенты и :
Делаем диагностику:
следовательно, свободные члены и коэффициенты совокупностей канонических уравнений вычислены верно.
Рис. 45
Подставляя вычисленные значения перемещений, возьмём совокупности канонических уравнений I и II в виде:
I.
II.
Ответ совокупности I и II дает значения реакций лишних связей:
Окончательные эпюры Nz, Qy, Mx, выстроенные от одновременного действия вычисленных внешней нагрузки и реакций q (рис.45,в) продемонстрированы на рис.45,г,д,е.
Пример 22. Выстроить эпюры Nz, Qy, Mx в симметричной раме (рис.46.а).
Рама имеет два замкнутых бесшарнирных контура, исходя из этого она шесть раз статически неопределима. При простом подходе в этом случае было бы нужно решить совокупность шести линейных уравнений, т.е. расчет был бы очень трудоемким. Применение симметрии, как это будет продемонстрировано ниже, разрешит свести задачу к ответу лишь только двух линейных уравнений.
Выберем главную совокупность, разрезая любой из ригелей посредине пролета (рис.46,б). Но, в отличие от прошлого примера, организуем две эквивалентных совокупности, одну из которых загрузим симметричными составляющими внешней нагрузки (рис.46,в), а другую – обратно симметричными составляющими (рис.46,г). Легко убедиться в том, что сумма внешних нагрузок, приложенных к обеим эквивалентным совокупностям, равна внешней нагрузке, приложенной к заданной раме.
При действии симметричных самоуравновешенных сил и (рис.46,в), приложенных в узлах, в элементах рамы отсутствуют изгибающие поперечные силы и моменты, а продольные силы появляются лишь в ригелях и вычисляются из условий равновесия узлов 3 и 5, либо, что то же самое, 4 и 6:
При действии обратносимметричных сил и (рис.46,г) в разрезах, сделанных по оси симметрии рамы, появляются обратносимметричные малоизвестные поперечные силы Х1, Х2, а продольные силы и изгибающие моменты обращаются в ноль как симметричные упрочнения при обратносимметричной нагрузке.
Так, для расчета рамы необходимо составить лишь два канонических уравнения способа сил:
Единичные и грузовая эпюра изгибающих моментов продемонстрированы на рис.46,д,е,ж. Вычислим коэффициенты канонических уравнений методом перемножения соответствующих эпюр по правилу Верещагина:
Единичные и грузовая эпюра изгибающих моментов продемонстрированы на рис.46,д,е,ж.
Рис. 45
Вычислим коэффициенты канонических уравнений методом перемножения соответствующих эпюр по правилу Верещагина:
Для проверки вычисленных перемещений используем суммарную единичную эпюру изгибающих моментов (рис.46,з).
Проверка:
По окончании подстановки отысканных значений коэффициентов при малоизвестных и свободных участников в умножения и канонические уравнения последних на EI возьмём:
из этого:
Так, в следствии раскрытия статической неопределимости исходная, шесть раз статически неопределимая совокупность приведена к статически определимой совокупности (рис.46,и), загруженной внешней нагрузкой F1 и F2, продольными упрочнениями N34 и N56, и вычисленными реакциями X1 и X2.
Эпюры продольных, поперечных сил и изгибающих моментов для заданной рамы продемонстрированы на рис.46,к,л,м.
Для исполнения универсальной кинематической проверки эпюры Мх используем суммарную единичную эпюру :
следовательно, задача решена верно.
Пример 23. Выстроить эпюру изгибающих моментов для статически неопределимой рамы (рис.47,а), применяя метод введения твёрдых консолей.
Данный метод употребляется для ортогонализации эпюр (т.е. для получения нулевых перемещений – коэффициентов канонических уравнений) в пределах каждого замкнутого либо открытого с защемленными финишами симметричного контура. Для ортогонализации эпюр посредством твёрдых консолей соответствующие малоизвестных переносятся в некую точку, именуемую упругим центром. Положение данной точки определяется как положение центра тяжести условного тонкостенного сечения с толщиной
Заданная рама имеет степень статической неопределенности:
Для выбора главной совокупности (рис.47,б) используем то событие, что левый (П-образный) контур рамы симметричен. Разрежем его по оси симметрии, что будет эквивалентно удалению трех связей и появлению трех малоизвестных реакций. Четвертую сообщение устраним методом удаления шарнирно-подвижной опоры. Введение в месте разреза твёрдых консолей с приложенными на их финишах реакциями Х1, Х2, Х3 совместно с реакцией Х4 и внешними нагрузками ведет к эквивалентной совокупности (рис.47,в).
Определим положение упругого центра, т.е. практически длину твёрдых консолей (рис.47,г), вычисляя координаты центра тяжести условного тонкостенного П-образного сечения:
Хс=0;
Единичные эпюры изгибающих моментов продемонстрированы на рис.47,д,е,ж,з, а эпюра моментов от внешних нагрузок – на рис.47,и.
Учитывая, что итог перемножения симметричной эпюры на кососимметричную равен нулю, совокупность канонических уравнений способа сил разглядываемой рамы запишем в виде:
Вычислим коэффициенты уравнений, применяя, как в большинстве случаев, метод Верещагина:
Рис. 47
Для проверки свободных вычисления членов и правильности коэффициентов канонических уравнений выстроим суммарную единичную эпюру изгибающих моментов (рис.48,а) и определим коэффициенты и .
Рис. 48
Проверка:
Следовательно, свободные члены и коэффициенты канонических уравнений вычислены верно. Ответ совокупности канонических уравнений дает следующие значения малоизвестных:
Окончательная эпюра моментов для заданной рамы продемонстрирована на рис.48,б.
Читатель имеет возможность самостоятельно убедиться в правильности выстроенной эпюры, перемножив ее с суммарной единичной эпюрой (итог, как мы знаем, обязан равняться нулю).
Глава 4