Математическая обработка факторного эксперимента

Дабы уменьшить влияние неточности опыта на величину параметра оптимизации, матрицы планирования опытов строят с учетом дублирования опытов (табл.3.1). В этом случае в предстоящих расчетах уже употребляется средняя арифметическая величина функции отклика (математическое ожидание при нескончаемого числа опытов), определяемая по следующей формуле:

где m — число повторных опытов.

Для оценки отклонения значений параметра оптимизации от математического ожидания определяют дисперсию параллельных опытов в каждой строке замысла (построчные дисперсии):

— число степеней свободы — это число свободных групп наблюдений исследуемого объекта.

В этом случае из m наблюдений свободных результатов Ym будет m-1,так как следствие любого одного наблюдения зависим и возможно выяснен по величине остальным среднего и известным опытам значения ?.

После этого проверяется однородность построчных дисперсий по критерию Коxpeна. Критерий Коxpeна G-это отношение большой построчной дисперсии к сумме всех дисперсий. Этот критерий говорит о том, что при незначимых отличий построчных дисперсий (GрасчGтабл) дисперсии неоднородны и, следовательно, замечаемые экспериментальные результаты Yim или характеризуют разные объекты изучения, или испытания некорректны.

Для расчета критерия Кохрена из всех дисперсий Si2 находится громаднейшая S2max и делится на сумму всех построчных дисперсий:

В случае, если вычисленное значение критерия Коxpeна Gрасч меньше его критического значения Gкр, отысканного по табл.3.4 для числа степеней свободы ?=m-l и числа опытов N при выбранном уровне значимости ? (в большинстве случаев принимают ?=0,05), то результаты не противоречат догадке об однородности дисперсий и на следующих этапах анализа возможно использовать обобщенную (усредненную) дисперсию воспроизводимости.

Таблица 3.4

Значения G-критерия Кохрена при уровне значимости 5%

Дисперсия параметра оптимизации Sу2 либо дисперсия вопроизводимости опыта определиться как частное от деления суммы построчных дисперсий на число опытов в матрице планирования N.

Тут N=?2 – число степеней свободы для определения Sy2. Применение таковой формулы допустимо в том случае, если число повторных опытов одинаково во всей матрице планирования.

Таблица 3.5

Пример обработки результатов опыта

GтаблGрасч последовательность дисперсий однороден.

Дабы исключить влияние на параметр оптимизации систематических неточностей, обусловленных разными внешними условиями, нужно порядок опытов рандомизировать во времени посредством таблицы случайных чисел. Рандомизация-случайный порядок проведения опытов.

Фрагмент таблицы случайных чисел

В случае, если нужно совершить восемь опытов, то из случайного места таблицы выписывают числа от l до 8, отбрасывая числа больше 8 и уже выписанные. Полученная последовательность цифр определяет последовательность проведения опытов. К примеру, беря во внимание последнюю цифру числа, стоящего в первой строке и столбце, и двигаясь по столбцам, возьмём 6, 3, 1, 2, 4, 7, 3, 5.

При проверке статистической значимости коэффициентов модели в первую очередь рассчитывается дисперсия в определении коэффициентов:

Коэффициент считается значимым, в то время, когда его безотносительная величина больше доверительного промежутка, т.е

где t — критерий Стьюдента (берется из таблиц в зависимости от уровня значимости ? и числа степеней свободы при определении дисперсии опыта);

Sbj — среднеквадратичная неточность определения коэффициентов регрессии,

Суть этого неравенства содержится в том, что безотносительная величина коэффициента должна быть в t раза больше чем неточность его определения.

Статистическая незначимость коэффициента интерпретируется как отсутствие влияния соответствующего фактора в изученных промежутках его трансформации. Такие коэффициенты из модели исключаются.

Пример: Проверить значимость коэффициентов модели

Все коэффициенты значимы, не считая b12=0,5. Тогда модель имеет форму

Проверка адекватности модели призвана подтвердить либо опровергнуть догадку о том, что параметр оптимизации вправду изменяется в соответствии с взятым уравнением регрессии. Эта процедура осуществляется посредством критерия Фишера F что является отношением двух дисперсий — адекватности S?д2 и воспроизводимости Sу2.

Дисперсия адекватности представляет собой остаточную сумму квадратов разности экспериментальных и расчетных значений параметра оптимизации, отнесенную к числу степеней свободы:

где ?1=N — l; где l – число коэффициентов модели, включая b0;

— значения параметра оптимизации в направляться-м опыте, соответственно определенные экспериментально и вычисленные по уровню регрессии.

Догадка об адекватности модели принимается в том случае, если выполняется условие Fрасч?Fтабл.

Критические значения F – критерия для ?=0,05 и степень свободы ?1 и ?2 представлены в табл. 3.6.

Таблица 3.6

Значения F-критерия Фишера при уровне значимости 5%

Обстоятельством неадекватности модели смогут быть недостаточный порядок модели, неудачный выбор промежутка варьирования факторами, солидная дисперсия воспроизводимости либо включение солидного числа факторов, не оказывающих значительного влияния на функцию отклика. Ответ о предстоящих действиях в таких случаях зависит от того, какой догадке отдает предпочтение исследователь. Довольно часто по окончании для того чтобы результата анализа модели выполняют новое изучение с усовершенствованной другими условиями и постановкой задачи проведения опытов.

Подводя итог нужно подчернуть, что при равенства числа опытов N числу коэффициентов l для проверки адекватности модели нужно реализовать пара параллельных опытов на главном уровне и выяснить среднее значение . В случае, если разность , то модель также можно считать адекватной.

Как пример разглядим построение математической модели, разрешающей осуществлять контроль инструмент.

Рис. 3.1. Матрица для прессования винтовых профилей

При прессовании профилей формирование винтового оребрения осуществляется методом затекания металла в пазы на матрице (рис.3.1,а). Наряду с этим перемещение металла в окружном направлении является следствием неравномерности скоростей истечения в пазах с наклонными рабочими поясками однообразной пo сторонам ребра ширины (рис.3.1,б) либо в пазах с поясками параллельными оси прессования, но имеющими разную ширину на противоположных сторонах канала (рис.3.1,в).

Ребра профиля в ходе закрутки претерпевают определенную деформацию, обусловленную механизмом процесса. Величина деформации кручения зависит, в большинстве случаев, от геометрии поясков профиля и параметров матрицы. Исходя из этого воображает узнаваемый интерес изучение совместного влияния этих факторов на угол закрутки (угол закрутки характеризует поворот сечений, поделённых расстоянием в 1 м, относительно друг друга). Для данной цели употреблялся способ статистического планирования опыта. Помимо этого, было принято, что ребристый профиль возможно представить как совокупность симметрично расположенных элементов. В силу таковой симметрии исследовалась закрутка только одного элемента ребристого изделия — профиля с поперечным сечением прямоугольника с размерами a и b.

Изучение проводилось по замыслу дробного факторного опыта 23-1 с генерирующим соотношением Х3=Х1Х2 и определяющим контрастом l=X1 X2 X3. В качестве исследуемых факторов были забраны: относительная высота рабочего пояска Х1=l/l0 , где l0 предельная высота, равная 10 мм; угол наклона плоскости рабочих поясков к оси прессования ?=Х2 (рад); относительная толщина ребра ?/b=Х3, где ? — ширина, b-толщина ребра. Откликом помогает угол закрутки ?? (рад/м). Были приняты следующие промежутки варьирования факторов: Х1=0,25…0,75; Х2=0…0,104 рад; Х3=10…15 (табл.3.7)

Таблица 3.7 — Условия проведения и экспериментальные результаты

Испытания проводились на вертикальном гидравлическом прессе ПСУ-250 с упрочнением 250 т на свинце, т.к. угол закрутки не зависит от природы метала. Условия проведения опыта приведены в табл.3.6; число повторных опытов было забрано равным двум. Порядок проведения опытов был выяснен по таблице случайных чисел и имел следующую очередность: 6, 5, 2, 8, 4, 7, 3, l. Прессование слитков осуществлялось без смазки в контейнере диаметром 50мм. Угол закрутки измерялся посредством угломера с точностью ±3º.

В следствии статистической обработки экспериментальных данных было получено адекватное уравнение регрессии в виде

где

Графическая иллюстрация уравнения приведена на рис.3.2. Разбирая диаграмму, можно подчернуть, что угол закрутки возрастает с ростом утла наклона плоскости рабочих поясков и с уменьшением отношения длин поясков. Самый действенно воздействует на угол закрутки угол наклона плоскости рабочих поясков. Полученная зависимость была использована при расчете параметров матрицы, снабжающих заданный угол закрутки.

Рис. 3.2. Влияние параметров матрицы на угол закрути

Замыслы второго порядка

Замыслы второго порядка в большинстве случаев используют в следующих случаях:

а) в то время, когда линейная модель неадекватна;

б) после достижения области экстремума для ее описания.

К примеру, модель второго порядка для k=2 имеет форму

Число участников в данной модели равняется

Исходя из этого число опытов для ее построения N должно быть не меньше, чем

Наряду с этим опытов в полном факторном опыте ПФЭ 22 не достаточно. Дабы повысить колличество опытов, любой фактор обязан принимать не 2 значения, a 3, т.е. нужно проводить опыты N=3k=9. Использование таких замыслов связано с солидным числом опытов. А мы стремимся к минимизации их числа. При построении замыслов второго порядка более рациональным есть использование ЦКП — центрального композиционного планирования. Эта процедура предполагает реализацию опытов ПФЭ при k5. После этого к этим точкам добавляется некое количество намерено расположенных точек, каковые именуются «звездными». Для случая двух факторов ЦКП имеет форму:

Такие замыслы именуются центральными, т.к. все испытания расположены симметрично относительно центра (главного уровня), и композиционными, т.к. строятся они последовательно.

Неспециализированное число опытов для ЦКП N=N1+2k+N0, где N1 – число опытов ядра замысла, N1=2k при k?5; N1=2k-p при k5; 2k – число «звездных» точек, N0 – число опытов в центре замысла. Для ЦКП N0=1. Число уровней варьирования каждого фактора образовывает 5 (-?;-1;0;1;?).

Выстроим матрицу планирования ЦКП для случая 3 факторов:

Число опытов данного ЦКП N=15. При ПФЭ 33 – N =27. Число опытов уменьшилось в 2 раза.

Увидим, что в матрице ЦКП не все столбцы ортогональны:

К примеру,

Ортогональность столбцов матрицы возможно взять, в случае, если ввести новые переменные:

Тогда матрица ЦКП делается ортогональной.

В следствии математических преобразований приобретаем модель в виде:

где

причем ? и ? зависят от числа факторов. Их выбирают по таблице.

3.5.1. Ротабельное планирование

Недочёт ЦКП в том, что коэффициенты уравнения рассчитываются с неодинаковыми дисперсиями, т.е. точность неодинакова в разных направлениях. Данный недочёт ликвидирует ротабельное планирование.

Применяя ранние таблицы, матрицы ротабельного планирования второго порядка для двух факторов имеет форму:

Дисперсия опыта подсчитывается на основании опытов, совершённых в центре опыта:

3.5.2. Некомпозиционный замысел

В случае, если заблаговременно как мы знаем, что процесс описывается квадратичной моделью, то более рационально применять некомпозиционнй замысел, содержащий экономное число опытов. Для двухфакторной модели он имеет форму верного шестиугольника. Матрица планирования имеет форму:

Данный замысел есть ротатабельным. При k3 строят некомпозиционные замыслы с варьированием каждого фактора на 3 уровнях (-1; 0; 1). Эти замыслы представляют собой выборки из ПФЭ Зk.

Вопросы для самопроверки

1. Что знают под полным факторным опытом?

2. Как отыскать главные уровни факторов?

3. Как именно выбирают промежуток варьирования факторов?

4. По какой причине все факторы приводят к безразмерному виду?

5. Напишите формулу для кодирования факторов.

6. Что представляет собой матрица планирования опыта?

7. Как выстроить матрицу планирования опыта?

8. Перечислите свойства матрицы планирования опыта типа 2k.

9. Как именно рассчитывают коэффициенты математической модели?

10.Как проводится анализ математической модели?

11. Как оценивается влияние комбинации факторов на параметр оптимизации?

Планированный трехфакторный эксперимент

Интересные записи:

• Математические, учебные и методические задачи
• Материнская школа, или о заботливом воспитании юношества в первые шесть лет. дидактика
• Маунт-иден, ландшафтная улица, 155
• Медитация над расширением сознания (2)