«Талантливыми» же в итоге выясняются те дети, каковые по какому-то счастливо-случайному стечению событий умудряются все-таки выглянуть в «окно», забитое досками неверных представлений. Где-то между этими досками сохраняются «щели», в каковые пытливый ребенок другой раз и заглядывает. И выясняется «талантливым» …
А эти неверные представления об исходных математических понятиях органически связаны с теми антикварными философско-гносеологическими представлениями о понятиях по большому счету и об отношениях этих понятий с действительностью вне мышления, с которыми научная философия в далеком прошлом разделалась и распрощалась.
Философско-логический анализ первых страниц книжки, что вводит первоклассника в царство математических понятий, — учебник математики, — демонстрирует данный факт несомненно. Он внушает ребенку полностью фальшивое (с позиций самой математики) представление о числе.
Как задается ребенку «понятие» числа, этого фундаментального и самого неспециализированного основания всех его предстоящих шагов в области математического мышления?
На первой странице весьма натурально и наглядно нарисован мячик, рядом с ним — девочка, яблоко (либо вишенка), жирная палочка (либо точка) и, наконец, цифровой символ «единицы».
На второй странице — две куклы, два мальчика, два арбуза, две точки и цифра «2» («два»). И без того потом — впредь до десяти, до этого «предела», назначенного дидактикой для первоклассника сообразно с его возрастными («природными») возможностями…
Предполагается, что «усвоив» эти десять страниц, ребенок «усвоит» счёт, а вместе с ним — «понятие числа».
Умение вычислять он, вправду, так усваивает. Но вот что касается «понятия числа», — то вместо него ребенок незаметно для себя проглатывает совсем фальшивое представлениео числе, — такое представление об этом серьёзном понятии, которое кроме того хуже тех обывательских, донаучных представлений, с которыми он приходит в школу. И это фальшивое представление чуть позднее будет ему сильно мешать при усвоении более сложных шагов на поприще математического мышления.
В действительности, если бы первоклассник владел нужными для этого аналитическими свойствами, то на вопрос «Что такое число?» он ответил бы по окончании усвоения указанных страниц приблизительно следующее.
Число — это наименование, высказывающее то абстрактно-общее, что имеют между собой все единичные вещи.Исходная цифра натурального последовательности — это наименование единичной
вещи,«двойка» — наименование «двух» единичных вещей и т. д. Единичная же вещь — это то, что я вижу в пространстве как быстро и четко отграниченное, «вырезанное» контуром из всего остального, окружающего ее, мира, — будь то контур мячика либо шагающего экскаватора, девочки либо тарелки с супом. Недаром, дабы проверить — усвоил ребенок эту премудрость либо нет, ему показывают предмет (безразлично какой) и задают вопросы — «какое количество?», хотя услышать в ответ — «один (одна, одно)». А потом — два, три и т. д.
Но так как само собой ясно, что любой мало-мальски грамотный в математике человек засмеётся, услышав такое объяснение «числа», по праву расценит его как детски-наивное и неверное.
В действительности — это только личный случайчислового выражения действительности. А ребенок должен усваивать его как самый неспециализированный,как представление о «числе по большому счету».
В итоге же получается, что уже ближайшие шаги в сфере математического мышления, каковые он неуверенно делает под присмотром преподавателя, заводят его в тупик и сбивают с толку. Не так долго осталось ждать выясняется, что единичный предмет, что ему показывают, вовсе не обязательно именуется словечком «один», что это возможно и «два» (две половинки), и три, и восемь, и по большому счету какое количество угодно. Выясняется, что число «1» имеется все что угодно, но лишь не наименование единичной, чувственно-принимаемой «вещи». А чего же? Какую действительность обозначают числовые символы?
Сейчас этого вам уже не сообщит и ребенок, владеющий самыми узкими и очень способными аналитическими свойствами. .. И не сообщит по причине того, что в его голове отложились два взаимоисключающих представления о числе, каковые он никак не соотносит, не «опосредует». Они просто находятся «рядом», как два стереотипа, в его «второй сигнальной совокупности».
Это весьма легко распознать, столкнув их в «неточности», в открытом несоответствии.
Продемонстрируйте ему игрушечный поезд, сцепленный из трех паровозика и вагонов. какое количество?
Один (поезд)? Четыре (составных части поезда)? Три и один (вагоны и паровоз)? Шестнадцать (колес)? Шестьсот пятьдесят четыре (грамма)? Три пятьдесят (цена игрушки в магазине)? Одна вторая (набора)?
Тут обнаруживается все коварство абстрактного вопроса «какое количество?» на что его ранее приучили давать бездумно слишком общий ответ, не уточняя — «чего?»,.. А также отучая от для того чтобы жажды уточнить, если оно у него было, как от желания, которое нужно покинуть перед входом в храм математического мышления, где в отличие от мира его яркого опыта и вкусная конфета, и ужасная ложка касторки означают «одно да и то же» — то есть «одно»,единицу»…
Такая абстракция, на которую ребенка «натаскивают» первые страницы обучения «счету», приучающие начисто отвлекаться от всякой качественной определенности «единичных вещей», приучающие к мысли, что на уроках математики «уровень качества» по большому счету необходимо забыть во имя чистого количества, во имя числа, для пониманияребенка непосильна. Он ее может лишь принять на веру, — так, дескать, уж принято в математике, в противоположность настоящей судьбе, где конфету от касторки он все же различает …
Предположим, что ребенок твердо «усвоил» вышеразъясненное представление о «счёте» и «числе», и что три арбуза — «одно да и то же», что и три пары ботинок, — «три» без предстоящих разъяснений.
Но тут ему информируют новую тайну, — три аршина нельзя складывать с тремя пудами, — это — «не одно да и то же», и что, перед тем как «складывать» — располагать в один счетный последовательность — нужно предварительно убедиться, что имеешь дело с одноименными(однокачественными) вещами, что бездумно складывать и вычитать возможно лишь «неименованные числа», а именованные — запрещено… Еще один стереотип, причем — прямо противоположный. Какой же из них направляться «применить», «включить» в этом случае?
По какой причине в одном случае нужно и возможно «складывать» два мальчика с двумя вишенками, а в другом — не нужно и запрещено? По какой причине в одном случае это — «одно да и то же», то есть — единичные чувственно-принимаемые вещи без предстоящих разъяснений, а в другом — «не одно да и то же», — разноименные, разнородные(не смотря на то, что и также единичные) вещи?
В действительности — по какой причине?
Преподаватель этого не растолковывает. Он просто показывает — на «наглядных примерах» что в одном случае нужно функционировать
так, а в другом — эдак. Тем самым ребенку внушаются два готовых абстрактнейших представления о «числе» и не дается его конкретного понятия, другими словами понимания…
Это сильно напоминает дидактические правила обучения «уму», высмеянные умной народной сказкой.
— Дурень, а дурень, чем на печке лежать — отправился бы, потерся около людей — ума набрался!
Послушный и прилежный дурень заметил мужиков, что таскали мешки с пшеницей, и ну — тереться то об одного, то об другого…
— Дурень ты, дурень, тут нужно было сообщить — таскать вам, не перетаскать!
Дурень послушно направляться и этому полезному указанию…
Учителя и тут полагали, что «конкретно» — посредством нагляднейшего словечка — «потереться» — растолковали ему, как возможно «набраться ума».
Но так как ребенок, как и дурень в сказке, не осознаёт мудреных иносказаний взрослых. Он их осознаёт практически, охватывая в их объяснениях и словах лишь то, что ему близко и ясно из его собственного жизненного опыта. И потому, что его опыт значительно беднее, чем опыт взрослых и высказывающие данный опыт слова, то он в этих словах улавливает только часть заключенного в них смысла, понимая их практически абстрактно. Другими словами односторонне, весьма общо. В следствии вместо конкретного понимания (и под видом такового) он усваивает и принимает к сведению и к управлению очень абстрактно-неспециализированный (а потому и коварно-неясный) рецепт… То же и с «числом».
Сперва школьнику растолковывают, что число (один, два, три и т. д.) — это словесный либо графический символ, высказывающий то общее, что имеется в произвольных чувственно-принимаемых единичных вещах, безразлично каких — будь то мальчики либо яблоки, чугунные гири (пуды) либо древесные рейки (аршины).
В то время, когда же он прилежно начинает функционировать на базе этого абстрактного представления о числе («абстрактное» вовсе не означает тут, как и везде, «ненаглядное»; оно, наоборот, предельно наглядно; абстрактное тут — бедное, тощее, одностороннее, неразвитое, через чур общее, столь же «общее», как и словечко «потереться»), начинает складывать пуды с аршинами, — ему говорят
с укоризной — «неспособный ты, неспособный! Тут нужно было вперед взглянуть — одноименные ли это вещи …»
Образцовый и послушный ученик готов складывать лишь одноименные. Не тут то было. В первой же задачке ему видятся не только «мальчики» и не только «яблоки», то есть мальчики вперемешку с яблоками, в противном случае еще — и со зловредными девочками, любая из которых желает взять на яблоко больше, чем любой мальчик…
Оказывается, что не только возможно, но и необходимо складывать и дробить числа, высказывающие разноименные вещи, дробить яблоки на мальчиков, складывать мальчиков с девочками, дробить килограммы на метры и умножать метры на 60 секунд…
Числа одноименные в одном случае и смысле оказываются разноименными в другом и в третьем. В одном случае приходится включать один стереотип, а в другом — прямо противоположный. Какой же из них нужно применить в данном? Какое из задолбленных правил отыскать в памяти? А «правил» тем больше, чем дальше. И все разноречивые.
И начинает запутанный ребенок функционировать способом «ошибок и проб», тыкаться в том направлении и ко мне. В то время, когда же данный хваленый и малопродуктивный способ совсем заводит его в тупик и никак не дает ответа, совпадающего с тем, что напечатан в конце задачника, ребенок начинает нервничать, плакать и в итоге впадает или в истерику, или в состояние так называемой «ультрапарадоксальной фазы» — в мрачное оцепенение, в негромкое отчаяние.
Любой из нас эту картину замечал и замечает, увы, любой вечер практически в каждой квартире. Разве подсчитаешь, сколько горьких слез пролито детишками над домашними заданиями по математике? Но известно, как много детей переживает обучение математике как тягостную повинность, кроме того — как ожесточённое мучительство, а потому обретает к ней на всегда отвращение. По крайней мере — таких больше, чем тот радостный процент «талантливых, гениальных, одаренных», каковые видят в ней увлекательное занятие, поприще для упражнения собственных творческих сил, изобретательности, находчивости.
И природа тут ни капельки не виновата.
Виновата дидактика. Виноваты те представления об отношении «абстрактного к конкретному», «неспециализированного — к единичному», «качества — к количеству», мышления — к чувственно
принимаемому миру, каковые до сих пор, увы, лежат в базе многих дидактических разработок.
Элементарный анализ приведенных первых страниц книжки по математике говорит о том, что представления обо всех этих логических категориях находятся на том уровне развития логики как науки, что эта почтенная наука пережила во времена Яна-Амоса Коменского и Джона Локка.
Представление о «конкретном» как о чувственно-наглядном; представление, ведущее на практике к тому, что под видом «конкретного» ребенку вдалбливается в голову самое что ни на имеется «абстрактное». Представление о «количестве» (о числе), как о чем-то таком, что получается в следствии полнейшего отвлечения от всех и всяких «качественных» черт вещей, в следствии отождествления мальчиков с пудами, а яблок — с аршинами, а не в следствии анализа четко распознанного качества, как это продемонстрировала Логика уже более 150 лет назад … Представление о понятии как о слове-термине, высказывающем то абстрактно-общее, что имеется «у всех вещей» данного рода; это поверхностное представление о понятии и ведет к тому, что вместо (и под видом) конкретного понятияребенок усваивает только абстрактное словесно зафиксированное представление.Представление о «несоответствии», как о чем-то «плохом» и «нетерпимом», как только о неточности мышления и показатель неряшливости, как о чем-то таком, от чего направляться поскорее избавиться методом терминологических «манипуляций» и словесных уточнений…
Все это представления, каковые на сегодня, с позиций современной Логики, с позиций Диалектики, как Логика и теория познания современного материализма, должны быть расценены как поверхностные, архаически-наивные и, скажем уж прямо, — как реакционные.
Дабы школа имела возможность учить мыслить и дабы она вправду делала это, нужно решительно перестроить всю дидактику на базе современного — марксистско-ленинского — понимания всех логических категорий, другими словами понятий, высказывающих именно настоящую природу развивающегося мышления. В противном случае все беседы о совершенствовании дидактики останутся только благими пожеланиями, а основанный на данной дидактике учебный процесс
в дальнейшем будет вырабатывать «талантливые умы» только в виде исключений из правила. В противном случае в отношении «одаренных» мы так же, как и прежде будем возлагать все надежды на милости матушки-природы. Будем ожидать этих редких милостей, вместо того, дабы их забрать.
И просвет в этом отношении уже намечается.
В лаборатории Университета психологии АПН РСФСР под управлением Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова начаты изучения, намерено направленные на то, дабы подвести под педагогический процесс прочный фундамент современных философско-логических представлений о «его» связи и мышлении с «созерцанием» (с наглядностью»), о связи «общего» — с «единичным», «абстрактного» с «конкретным», «логического» — с «историческим» и т. д1.
Личное усвоение научных знаний тут стремятся организовать так, дабы оно в сжато-сокращенной форме воспроизводило развития и действительный процесс рождения этих знаний. Ребенок наряду с этим сначала делается не потребителем готовых результатов, запечатленных в абстрактных дефинициях, постулатах и аксиомах, а, так сообщить, «соучастником» творческого процесса.
Это, само собой разумеется, ни за что не свидетельствует, что любой ребенок тут должен самостоятельно «изобретать» все те формулы, каковые много, а возможно и тысячи лет назад уже изобрели для него люди ушедших поколений, создатели этих формул. Но повторить логику пройденного пути он обязан. Тогда эти формулы усваиваются им не как волшебные абстрактные рецепты, а как настоящие, совсем конкретные неспециализированные правила ответа настоящих же, конкретных задач.
«Конкретные неспециализированные правила» — это звучит пара парадоксально для человека, привыкшего думать (вернее — сказать), что «общее» — значит «абстрактное», а «конкретное» — «единичное», чувственно-наглядное.
В это же время с позиций понятий диалектики это вовсе не парадокс, вовсе не неожиданное соединение взаимоисключающих терминов. С позиций диалектики
1 См.: В.В. Давыдов. Сообщение теорий обобщения с программированием обучения. Сб. «Изучения мышления в советской психологии». — М.: Изд. «Наука», 1966.
понятие конкретно и имеется «конкретно-общее», в отличие от «абстрактно-неспециализированного» термина, высказывающего одностороннее представление о вещах, пускай самое наглядное.
Так, в лаборатории Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова убедились, что принятая методика преподавания счета (обрисованная нами выше) дает детям не понятие числа, а только два абстрактных, притом противоречащих одно второму, представления о числе. Два частных случая числового выражения настоящих вещей — вместо вправду неспециализированного принципа. Наряду с этим один частный случай выдается данной методикой за «неспециализированный», а второй — как более сложный, как «конкретный».
Один раз число высказывает количество единичных вещей,а второй раз — количество их «составных частей».
Осознав это, в лаборатории заключили , что нужно делать напротив. Сперва необходимо растолковать детям вправду неспециализированную природу числа, а уже позже показывать два «частных случая» его применения.
Но, само собой ясно, что ребенку не скажешь «понятия числа», очищенное от каких бы то ни было следов «наглядности», от связи с каким-нибудь одним «частным случаем». Исходя из этого нужно искать и отыскать таковой «личный» (а потому наглядный, чувственно-предметный) случай, где необходимость и число действий с числом выступали бы перед ребенком в общем виде.Необходимо искать такое «частное», которое высказывало бы лишь «неспециализированную» природу числа, а не подсовывало бы ему вместо этого снова только «частное».
Пробуя решить эту задачу — частично психотерапевтическую, частично — логическую и математическую, сотрудники лаборатории заключили , что неправильно по большому счету затевать обучение детей математике с «числа», — другими словами с операции счета, сосчитывания. Безразлично — «единичных вещей» либо их «составных частей»1.
Имеется все основания считать, что действия с «числами», составляющие классическую «математику», далеко не самые «простые», а математика вовсе не образовывает самого «первого этажа» математического мышления. Скорее таким
1 Подробный анализ данной неприятности см. в кн. «Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы школы) / Под ред. Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова. — М.: «Просвещение», 1966.
этажом выясняются кое-какие понятия, в большинстве случаев относимые к «алгебре».
Снова парадокс. Так как по традиции считается с покон веков, что «алгебра» — это вешь более сложная, чем «математика», посильная только шестикласснику и в «истории математики» оформившаяся позднее ее.
Анализ говорит о том, что и в истории знания «алгебра» нужно должна была появиться не позднее «математики». Само собой разумеется, речь заходит о действительнойистории математического развития людей, а не о истории математических трактатов, которая отражала настоящую историю только «задним числом», а потому — кверх ногами.
Как показывают изучения, несложные количественные соотношения, каковые обрисовывает «алгебра», и в истории были поняты раньше, чем человек по большому счету «изобрел» счёт и число. В действительности, раньше, чем люди изобрели число, счет, сложение, вычитание, умножение и деление чисел, они по необходимости должны были пользоваться такими словами, как «больше», «меньше», «дальше», «ближе» «позже», «раньше», «равняется», «неравно» и т. п. Конкретно в этих «словах» нашли собственный выражение общиеколичественные (пространственно-временные) соотношения между вещами, явлениями, событиями.
Но в специально-математических трактатах эта стадия математического развития мышления, конечно, зафиксирована не была. И в случае, если настоящая история развития математического мышления началась раньше, чем показались первые теоретические трактаты по математике, то и «логическая» последовательность преподавания математики (= развития математической свойстве) обязана затевать с настоящего «начала».
С верной ориентировки человека в количественном замысле настоящей действительности, а не с числа,которое воображает собою только позднюю (а потому и более сложную) форму выражения количества,только частный случай«количества».
Исходя из этого нужно затевать с действий, выделяющихдля человека данный «количественный» замысел рассмотрения окружающего мира, дабы позже придти к «числу» как к развитой форме выражения«количества», как к более позднему и сложному умственному отвлечению.
Принцип совпадения «логического с историческим» — великий принцип диалектической логики. Но его проведение предполагает одну опять-таки диалектически-коварную подробность. То есть, — логическое должно соответствовать настоящей истории предмета, а не истории теоретических представлений довольно данной истории.
Разбирая историю политической экономии, Карл Маркс отметил наиболее значимое (с позиций диалектики) событие — «Историческое развитие всех науктолько через множество перекрещивающихся и окольных дорог ведет к их настоящей исходнойточке. В отличие от вторых архитекторов наука не только рисует воздушные замки, но возводит отдельные жилые этажи строения, перед тем как она заложила его фундамент».[«К критике политической экономии». — С. 46].
Да, настоящий «логический фундамент», на котором держатся верхние этажи, наука «открывает» в собственном предмете только задним числом.
И данный «фундамент» предполагался«верхними этажами», но не был светло осознан, продемонстрирован и проанализирован. Он предполагался в смутном, неотчетливо сформулированном виде, довольно часто в качестве «мистических» представлений. Так произошло, к примеру, и с дифференциальным исчислением, Лейбниц и Ньютон это исчисление «открыли», обучили людей им пользоваться, но сами не могли осознать — по какой причине, на каких настоящих основаниях держится вся его сложная конструкция, другими словами — какие конкретно более «действия» и простые понятия она реально предполагает. Это было установлено только позднее — Лагранжем, другими теоретиками и Эйлером.
счёт и Число в конечном итоге предполагали и предполагают в качестве собственных настоящих предпосылок последовательность представлений, до понимания коих математика (как и «все науки») докопалась только «задним числом». Тут идет обращение именно об неспециализированных предпосылках и того, и другого. О тех понятиях, каковые должны быть развиты (и усвоены) раньше, чем счёт и число. По причине того, что они имеют более характер, и потому — логически более несложны.
В случае, если же говорить о тех математических «символах», благодаря которым эти самые общие и простые понятия фиксируются, то это не цифры, а скорее те символы, каковые :щвним-давно применяет алгебра.
Это — символы равенства, неравенства. Символ «больше» (), символ «меньше» (
Само собой ясно, что представление о «величине» и в истории мышления показалось у людей раньше, чем умение совершенно верно измерять эти величины тем либо иным методом и высказывать их «числом».
Умение выделять из всего многообразия чувственно-принимаемых качеств вещей намерено только одно, — то есть — их «величину». А после этого — умение сравнивать эти «величины» либо вещи лишь как величины.Делать выводы — равныони либо нет. Делать выводы, какая из них «больше» либо «ближе», какая — «меньше» либо «дальше», — в пространстве либо во времени.
А уж после этого, в то время, когда обнаружилось, что суждения для того чтобы рода через чур «общи», через чур неполны (= «абстрактны»), дабы функционировать в мире на их базе, начал возникать вопрос, а на сколькоименно «больше» («меньше»). И лишь тут, фактически, появилась и потребность в «счёте» и «числе», и сами «счёт» и «число».
По той причине, что без них, без этих более конкретных (сложных, развитых) понятий о количестве, уже не было возможности бы решить более сложных и конкретных предметно-практических задач, которые связаны с отражением количественной определенности окружающего мира…
Человек «изобрел» число вовсе не методом «абстрагирования» от всех и всяких «качеств», не потому, что обучился «не обращать внимание» на отличие мяса и камня, огня и палки. Именно напротив — в «счёте» и «числе» он отыскал средство более глубокого и конкретного выражения конкретно качественной (самой ответственной и первой) определенности.
Число «пригодилось» человеку в том месте и лишь в том месте, где жизнь поставила его перед необходимостью сообщить второму человеку (либо самому себе) — не просто «больше» («меньше»), а насколькобольше (меньше).
Это предполагает более большой и развитый метод отношения человека к вещам окружающего мира, нежели
тот, на земле которого он обучился различать «величины» только приблизительно, примерно, — абстрактно.
Число предполагает мерукак более сложную, чем «количество» и «качество», категорию, которая разрешает отражать количественную сторону выделенного качества правильнее(конкретнее), чем прежде. И совершенно верно фиксировать это более конкретное представление посредством цифр, а не просто словечек «больше», «меньше», «равняется», «неравно».
От общего, диффузно-нерасчлененного представления о «количестве» он шел к более идеальному, правильному, другими словами конкретному представлению о том же количестве, — к «числу». И пришел.
И исходя из этого «число» для него имело сначала в полной мере конкретный, другими словами предметно-практический, значение и смысл. Это и было настоящее понятиечисла, не смотря на то, что еще и не проанализированное теоретически ни одним специалистом-математиком. Это произошло только значительно позднее, — тогда, в то время, когда началось уже не только математическое мышление, а и его теоретическое «самосознание». Сначала — превратно-мистическое, как у пифагорейцев. А до настоящего теоретического понимания числа математика добралась только многие тысячелетия спустя.
Вот с этого-то настоящего начала и в данной настоящей исторической последовательности, которую математика как наука открыла только «задним числом», и направляться, по-видимому, затевать логическое развитие ума ребенка в области математики.
С того, что сперва необходимо научить его ориентироваться самым неспециализированным и абстрактным образом в плане количества и овладеть самыми неспециализированными и абстрактными отношениями вещей как «размеров». И записывать эти отношения на бумаге посредством знаков «больше», «меньше», «равняется», «неравно».
Но ориентироваться в плане количества ребенок обучается наряду с этим вовсе не методом «абстрактных рассуждений», а на самых что ни на имеется настоящих и понятных ему обстановках. На «уравнивании» палочек, на «комплектовании» винтиков с гайками, коробок с карандашами и т. д. Для ребенка это — ясно и весьма интересно.
Для ума ребенка это — тренировка умения самостоятельно выделять количественно-математический нюанс настоящих вещейокружающего его многокачественного мира.
А не по-попугайски повторять слово «один», в то время, когда ему в шнобель суют единичную чувственно-принимаемую «вещь», либо слово «два, в то время, когда ему суют в шнобель две таких вещи.
Именно поэтому ребенок уже не ответит бездумно на абстрактно-провокационный вопрос — «какое количество?», в то время, когда ему продемонстрируют одну (две, три и т. д.) единичную чувственно-принимаемую вещь, словом «одна», «две» и т. д. Он предварительно узнает — «а чего какое количество?»
А это — показатель, что он уже тут — при числа — мыслит конкретно.А не как рыночная торговка, бездумно навешивающая ярлык словесно-зафиксированной абстракции на конкретную вещь и думающая, что тем самым «познание» данной вещи — исчерпано…
В случае, если ему отвечают на его законный вопрос — «я задаю вопросы, сколько тут вещей…», он с уверенностью и совершенно верно ответит — «одна».
В случае, если же ему уточнят — «какое количество сантиметров?», он ответит «два», «приблизительно два», либо же сообщит — «необходимо измерить». Он осознаёт, что выражение через число (цифру) предполагает измерение, меру..
Тут воспитано разом два серьёзных показателя «ума», — во-первых, умение верно относиться к вопросу («какое количество?») и умение самому задавать вопрос, уточняющий задачу так конкретно, дабы стал вероятен правильный и однозначный ответ («какое количество чего?»). И во-вторых, — умение верно соотносить числовой символ с реальностьюв ее математическом нюансе.
Тут ум ребенка идет не от наглядных частностей — к абстрактно неспециализированному, поскольку это совсем неестественный и бесплодный в науке путь, а от вправду общего (абстрактного) к обнимаемому им многообразию частностей (другими словами к конкретному)1.
Потому что так начинается и сама наука, усваивающая в свете исходных правил все новые и новые «частности». А не наоборот, не уходящая от «частностей» в заоблачные выси худых абстракций…
Тут мышление движется все время в чувственно-предметном (а потому и в «наглядном») материале, движется по фактам, ни на миг не обрывая связи с ним.
1 Подробнее об этом см , напр., книгу «Диалектика абстрактного и конкретного в «Капитале» К. Маркса. — М.: Изд-во АН СССР, 1960.
Так ребенок осваивает самую чувственно-предметную реальность математических понятий,а не ее нехороший заменитель-эрзац, не «наглядные примеры» готовых и непонятных для него абстракций. У него начинается математическое мышление. В него не требуется вдалбливать груды абстрактных словечек, рецептов, штампованных рецептов и схем «типовых ответов», каковые он позже никак не имеет возможности «применить». Исходя из этого для него по большому счету не поднимается позже нелепейшая задача, — а как же «применить» усвоенные (другими словами задолбленные) неспециализированные знания к судьбе, к настоящей действительности. Это неспециализированное знание для него сначала и имеется не что иное, как сама реальность, отраженная в ее значительных чертах, другими словами в понятиях. В понятиях он усваивает конкретно реальность,отражаемую ими. А не «абстракции», каковые он позже никак не имеет возможности соотнести с «действительностью».