Тема 2.1. Кинематика точки
В теоретической механике изучается несложная форма перемещения материи – механическое перемещение, т.е. происходящее во времени изменение положения одного тела довольно другого.
Механическое перемещение – перемещение тела по отношению к второму телу, происходящее в пространстве и во времени.
Совокупность отчета – каждая совокупность координат, которая связана с телом отсчета.
Скорость – векторная величина, характеризующая направления и быстроту перемещения точки в данной совокупности отчета.
Тело отсчета – тело, довольно которого рассматривается перемещение вторых тел.
Траектория точки – геометрическое место последовательных положений движущейся точки в разглядываемой совокупности отсчета.
Ускорение – векторная величина, характеризующая изменение скорости по направлению и величине.
Пространство в механике рассматривается как трехмерное евклидово пространство. Время в хорошей механике предполагается универсальным, т.е. однообразным во всех совокупностях отсчета и не зависящим от перемещения.
В кинематике точки рассматриваются характеристики перемещения точки, такие, как скорость, ускорение, и способы при разных методах задания перемещения.
2.1.1. Скорость точки
Одной из главных черт перемещения точки есть ее скорость довольно выбранной совокупности отсчета, которая изображена в виде декартовой прямоугольной совокупности координат (рис. 2.1). Положение движущейся точки М довольно разглядываемой совокупности отсчета определяется в момент времени t радиус-вектором , что соединяет неподвижную точку О с данной точкой. В второй момент времени движущаяся точка займет ее радиус и положение-вектором будет . За время радиус-вектор движущийся точки изменится на .
Средней скоростью точки за время именуют соотношение , т.е.
Средняя скорость параллельна вектору . В общем случае она зависит от времени осреднения . У нее нет конкретной точки приложения на участке траектории.
Введем скорость точки в момент времени , которая определяется как предел средней скорости, в случае, если временной отрезок, за что определяется средняя скорость, пытается к нулю, т.е.
Скорость точки направлена в сторону ее перемещения по определенному направлению вектора при . Так, скорость точки равна первой производной по времени от ее радиус-вектора. Она направлена по касательной к траектории в сторону перемещения точки.
Размерность скорости приобретаем из уравнения (2.2):
Довольно часто скорость высказывают в км/ч, к примеру, скорость движения автомобилей.
2.1.2. Ускорение точки
Пускай движущаяся точка М в момент времени t имеет скорость . В момент времени эта точка занимает положение , имея скорость (рис. 2.2). Дабы изобразить приращение скорости за время , перенесём вектор скорости
параллельно самому себе в точку М.
Средним ускорением точки за время именуют отношение , т.е. . Среднее ускорение точки параллельно приращению скорости . Как и средняя скорость, среднее ускорение не имеет на траектории конкретной точки приложения на участке и нарисовано в точке М условно. В общем случае среднее ускорение зависит от времени .
Ускорением точки в момент времени именуют предел, к которому пытается среднее ускорение при , стремящемся к нулю, т.е.
Так, ускорение точки равняется первой производной по времени от скорости точки. Ускорение точки направлено вовнутрь вогнутости траектории.
Размерность ускорения в СИ приобретаем из (2.3):
2.1.3. Векторный метод изучения перемещения
Изучить перемещение точки свидетельствует: задать (выяснить) уравнения перемещения; выяснить траекторию, ускорение и скорость точки.
Существуют три метода изучения перемещения точки – векторный, координатный и естественный.
Перемещение точки довольно разглядываемой совокупности отсчета при векторном методе изучения перемещения задается радиус-вектором данной точки (рис. 2.3). Перемещение точки считается заданным, в случае, если известен радиус-вектор движущейся точки как функция времени, т.е.
(2.4)
Траекторией точки есть годограф радиус-вектора. Скорость точки направлена по касательной к траектории и вычисляется, в соответствии с её определению, по формуле
Векторный метод ввиду его компактности и краткости удобен для теоретического изложения кинематики точки. Для ускорения и практического вычисления скорости в большинстве случаев применяют координатный и естественный методы изучения перемещения точки.
2.1.4. Координатный метод изучения перемещения
траектория и Задание движения
Перемещение точки возможно изучать, применяя любую совокупность координат. Разглядим случай декартовых прямоугольных осей координат, каковые являются кроме этого совокупностью отсчета. Перемещение точки в декартовых координатах считается заданным, в случае, если известны координаты точки как постоянные, два раза дифференцируемые функции времени (рис. 2.4), т.е. заданы уравнения перемещения точки в декартовых координатах:
Уравнения перемещения разрешают отыскать положение точки, ее ускорение и скорость в любую секунду времени. Уравнения перемещения (2.6) имеется кроме этого уравнения траектории точки в параметрической форме, параметром есть время t.
Уравнения траектории в координатной форме из выражения (2.6) приобретают исключением параметра t. Кроме время, возьмём уравнения двух поверхностей:
(2.7)
Траекторией есть линия пересечения этих поверхностей.
Скорость в декартовых координатах
Разложим радиус-скорость и вектор точки на составляющие, параллельные осям координат (рис. 2.5), возьмём:
где x, y, z – координаты точки М; – единичные векторы осей координат; проекции скорости на оси координат.
Учитывая выражение (2.8), в соответствии с определению скорости, имеем
не изменяются при перемещении точки М. Сравнивая (2.8) и (2.9), приобретаем для проекций скорости на декартовы оси координат следующие формулы:
По проекциям определяют числовую величину (косинусы) углов и модуль скорости вектора скорости с осями координат:
В случае, если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат Ox и Oy в данной плоскости, возьмём
соответственно
Для прямолинейного перемещения точки координатную ось, к примеру Ox, направляют по траектории (рис. 2.6).
(2.13)
ее модуль и Проекция скорости определяются по следующим формулам:
(2.14)
Ускорение точки в декартовых координатах
Разложим ускорение точки на составляющие, параллельные осям декартовой совокупности координат:
(2.15)
где — проекции ускорения на координатные оси. В соответствии с формулам и определению ускорения (2.9) и (2.10), имеем
Сравнивая выражения (2.15) и (2.16), приобретаем формулы для проекции ускорения на оси декартовой совокупности координат:
косинусы углов и Числовую величину ускорения вектора ускорения с осями координат определяем по формулам:
При перемещении точки по плоскости оси Ox и Oy выбирают в данной плоскости. Тогда .
Формулы для его проекции и ускорения на оси координат примут вид
соответственно
Для прямолинейного перемещения ось Ox направим по траектории точки. Тогда:
Формулы для его проекции и ускорения на ось Ox принимают вид
Соответственно для числовой величины ускорения имеем
2.1.5. Естественный метод изучения перемещения
- Естественный метод задания перемещения
При естественном методе задания перемещения задаются траектория точки, направление и начало отсчета дуговой координаты и уравнение перемещения точки по траектории.
Для задания закона перемещения точки по траектории нужно выбрать на траектории точку О, принимаемую за начало отсчета расстояний (рис. 2.7). Расстояния в одну сторону от точки О по траектории считаются хорошими (к примеру, вправо), в другую – отрицательными. Помимо этого, направляться задать начало отсчета времени.
Закон перемещения точки по траектории задается зависимостью от времени расстояния s, отсчитываемого от точки О до точки M, т.е. (2.21)
Расстояние s (дуговая координата) берется по траектории, его не нужно отождествлять с пройденным точкой методом.
- Скорость точки при естественном методе задания перемещения
Пускай перемещение точки заданно естественным методом. Вычислим скорость точки. Для этого используем радиус-вектор движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке (рис. 2.8).
При перемещении точки ее радиус-вектор изменяется с течением времени, а следовательно, он изменяется в зависимости от дуговой координаты. Применяя определение скорости, имеем
либо , где . Вектор направлен по касательной к траектории как производная от вектора по скалярному доводу и есть единичным вектором. Единичный вектор в любой момент направлен по касательной к траектории в сторону хорошего отсчета координаты s независимо от направления перемещения точки. При вектор скорости направлен по ; при он имеет направление, противоположное . Величина именуют алгебраической скоростью точки. Ее можно считать проекцией скорости на хорошее направление касательной к траектории, совпадающее с направлением единичного вектора .
- Естественные оси координат
Выстроим в точке М кривой линии естественные оси данной кривой (рис. 2.9). Первой естественной осью есть касательная . Ее хорошей направление сходится с направлением единичного вектора касательной .
Перпендикулярно касательной находится обычная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости, именуется основной нормалью. Она есть линией пересечения обычной плоскости с соприкасающейся плоскостью. По основной нормали вовнутрь вогнутости кривой направим единичный вектор . Он определяет хорошей направление второй естественной оси. Нормаль, перпендикулярная основной нормали и расположенная в обычной плоскости, именуется бинормалью. Единичный вектор , направленный по бинормали так, дабы три вектора образовывали правую совокупность осей координат, выяснит хорошей направление третьей естественной оси.
Три взаимно перпендикулярные оси хорошие направления которых совпадают с направлениями единичных векторов , именуются естественными осями кривой.
Эти оси образуют в точке М естественный трехгранник. При перемещении точки по кривой естественный трехгранник движется
| вместе с точкой как жёсткое тело, поворачиваясь около вершины, совпадающей с движущейся точкой. · Ускорение точки при естественном методе задания перемещения Учитывая, что для скорости точки имеем | 
|
Рис.2.9
в соответствии с определением ускорения приобретаем
где .
Получено разложение ускорения точки по осям естественного трехгранника. Часть ускорения
именуется касательной составляющей ускорения. Вторая часть ускорения
именуется обычной составляющей ускорения. Она направлена вовнутрь вогнутости траектории, т.е. в сторону хорошего направления единичного вектора основной нормали . Так, ускорение точки имеет форму
Из (2.23) возьмём формулы для проекций ускорения на естественные оси, т.е.
Проекция ускорения на хорошее направление касательной, совпадающее с направлением единичного вектора , именуется касательным ускорением, а основную нормаль, направленную по единичному вектору , обычным ускорением. Проекция ускорения на бинормаль равна нулю, следовательно, ускорение точки находится в соприкасающейся плоскости траектории.
Учитывая рис и (ортогональность. 2.10), в соответствии с формулой (2.30) имеем
Обычная составляющая ускорения в любой момент направлена вовнутрь вогнутости траектории. Касательная составляющая при направлена в хорошую сторону касательной, т.е. по направления единичного вектора , при в отрицательную, противоположно .
Случаи обращения в нуль касательного ускорения приобретают из условия
Это условие выполняется все время, пока т.е. при равномерном перемещении точки по траектории любой формы. Касательное ускорение обращается в нуль кроме этого в те моменты времени, в каковые алгебраическая скорость достигает экстремума.
Случаи обращения в нуль обычного ускорения следуют из условия
Это условие выполняется при , т.е. при прямолинейном перемещении точки, и при перемещении точки по криволинейной траектории в точках перегиба, в которых происходит изменение выпуклости траектории на вогнутость и напротив (рис. 2.11).
Обычное ускорение обращается в нуль в моменты времени, в каковые , т.е. в моменты трансформации направления перемещения точки по траектории.
Касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине, а обычное – по направлению.
Тема 2.2. Несложные перемещения жёсткого тела
Различают два несложных вида перемещения тела, комбинированием которых возможно приобретать другие, более сложные его перемещения. Такими перемещениями жёсткого тела являются вращение и поступательное движение жёсткого тела около неподвижной оси.
2.2.1. Степени свободы и теорема о проекциях скоростей
Числом степеней свободы жёсткого тела именуют число свободных параметров, определяющих положение тела довольно разглядываемой совокупности отсчета.
Перемещение жёсткого тела сильно зависит от числа его степеней свободы. Свободное жёсткое тело в общем случае имеет шесть степеней свободы. В качестве свободных параметров возможно забрать каждые шесть координат точек либо шесть вторых свободных параметров, каковые являются функциями координат трех либо большего количества точек тела. У свободной точки три свободные степени свободы, и соответственно, три свободных параметра, к примеру ее координаты x, y, z. Точка, которая движется по неподвижной поверхности, имеет две степени свободы. При перемещении по неподвижной кривой точка имеет одну степень свободы.
Честна следующая теорема.
При любом перемещении жёсткого тела проекции скоростей точек на прямую, соединяющую эти точки, равны (рис. 2.12).
Для доказательства теоремы используем зависимость радиус-векторов точек А и В:
Возведем обе части в скалярный квадрат:
но l = const для жёсткого тела. Дифференцируя по времени это выражение, честное для любого момента времени, возьмём
Заменив в этом равенстве
возьмём
Раскрывая произведения векторов и уменьшая их на l,имеем
(2.35)
Теорема доказана. Разумеется, все точки тела, расположенные на прямой АВ, имеют однообразные проекции скоростей на эту прямую.
2.2.2. Поступательное перемещение жёсткого тела
Поступательным перемещением жёсткого тела именуют такое его перемещение, при котором каждая прямая, жестко скрепленная с телом, остается параллельной собственному начальному положению в любой момент времени.
Траектории точек у поступательного движущегося жёсткого тела смогут быть не только прямыми, но и любыми кривыми, а также окружностями.
Свойства поступательного перемещения характеризует следующая теорема.
При поступательном перемещении жёсткого тела траектории, ускорения и скорости точек тела в любой фиксированный момент времени однообразны.
В случае, если выбрать две точки А и В жёсткого тела, то радиус-векторы этих точек удовлетворяют условию (рис. 2.13)
Для любого жёсткого тела вектор есть постоянным по модулю, а при поступательном перемещении он не изменяется и по направлению.
Уравнение (2.36) говорит о том, что годограф радиус-вектора точки В, являющийся траекторией данной точки, сдвинут если сравнивать с годографом радиус-вектора точки А (траектория точки А) на постоянный вектор . В случае, если данный сдвиг осуществить, то обе траектории совпадут всеми собственными точками. такие траектории именуют конгруэнтными (однообразными).
В случае, если продифференцировать по времени уравнение (2.36), честное для любого момента времени, то возьмём
В этом равенстве . Помимо этого, производная от постоянного по направлению и модулю вектора имеет форму
Так, для любого момента времени имеем
Дифференцируя по времени уравнение (2.12) и учитывая, что
возьмём
(2.38)
Так как точки А и В выбраны произвольно, то эти равенства честны для всех точек жёсткого тела. Теорема о поступательном перемещении жёсткого тела абсолютно доказана.
Поступательное перемещение жёсткого тела абсолютно характеризуется перемещением любой точки тела.
2.2.3. Вращательное перемещение жёсткого тела около неподвижной оси
- Угол поворота, ускорение и угловая скорость
Вращением жёсткого тела около неподвижной оси именуется такое его перемещение, при котором две точки тела остаются неподвижными В течение всего перемещения. наряду с этим кроме этого остаются неподвижными все точки тела, расположенные на прямой, проходящей через его неподвижные точки. Эта прямая именуется осью вращения тела.
В случае, если А и В – неподвижные точки тела (рис. 2.14), то осью вращения есть ось Oz. Через ось вращения совершим плоскости: неподвижную и подвижную П, скрепленную с вращательным телом. Пускай в начальный момент времени обе плоскости совпадают. Тогда в момент времени t положение подвижной плоскости и самого вращающегося тела возможно выяснить двухгранным углом между плоскостями и соответствующим линейным углом расположенными в этих плоскостях и перпендикулярными оси вращения. Угол именуется углом поворота тела.
Положение тела довольно выбранной совокупности отсчета абсолютно определяется в любую секунду времени, в случае, если задано уравнение
(2.39)
Это уравнение именуют уравнением вращения жёсткого тела около неподвижной оси. У тела, совершающего вращение около неподвижной оси, одна степень свободы, поскольку его положение определяется заданием лишь одного параметра – угла . Угол считается хорошим, если он откладывается против часовой стрелки, и отрицательным – в случае, если в противоположном направлении, в случае, если наблюдать с положения направления оси Oz. Траектории точек тела при его вращении около неподвижной оси являются окружностями, расположенными в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.