Вопросы к экзамену по математике 1курс зима 2011
Теория
Матрицы
действия и Матрицы над ними (сложение матриц, умножение матриц на число, произведение матриц)
Обратная матрица. Ее нахождение
Определители второго порядка и их свойства и третьего порядка (док-во).
Ответ совокупности линейных уравнений. Формулы Крамера
Ответ совокупностей линейных уравнений посредством матриц.
аналитическая геометрия и Векторная алгебра
Скалярное произведение двух его свойства и векторов (док-во) Скалярное произведение двух векторов в координатной форме (вывод).
Векторное произведение двух векторов. Определение. Условие коллинеарности двух векторов
Выражение векторного произведения двух векторов через координаты векторов-сомножителей (вывод).
Деление отрезка в данном отношении (вывод). Примеры
Вывести уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно данному вектору.
Изучение неспециализированного уравнения плоскости
Неспециализированное уравнение прямой линии в пространстве. Приведение их к каноническому виду.
Расстояние от точки до плоскости (вывод). Канонические и параметрические уравнения прямой линии в пространстве (вывод).
Уравнение прямой на плоскости и в пространстве, проходящей через две точки (вывод) Угол между прямой плоскостью и линией в пространстве
Угол между двумя плоскостями. перпендикулярности и Условие параллельности двух плоскостей (вывод).
Два главных уравнения прямой линии на плоскости (вывод).
Вывести каноническое уравнение прямой линии на плоскости и уравнение прямой линии на плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору.
Неспециализированное уравнение прямой линии на плоскости и его частные виды.
Вычисление угла между прямыми линиями на плоскости (для прямых, заданных уравнениями разных видов).
Кривые 2 порядка
Преувеличение. Определение, каноническое уравнение (вывод) . Изучение канонического уравнения преувеличения. Эксцентриситет преувеличения..
Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения параболы. Изучение канонического уравнения параболы. Построение параболы. Пример.
Уравнение окружности в декартовых координатах, в полярных координатах и параметрические уравнения окружности
Изучение канонического уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса.
Матанализ
Нужное и достаточное условие существования предела функции (док-во).
Бесконечно малые функции. Теоремы о бесконечно малых (доказать одну из теорем).
Теоремы о пределах. Доказать одну из них.
Первый превосходный предел (подтверждение)
Непрерывность функции y=f(x) в точке и на отрезке. Свойства функций, постоянных на отрезке (без док-ва).
Понятие производной функции y=f(x) и ее геометрический суть. Вывод производной степенной функции
Связь между дифференцируемостью функции и непрерывностью y=f(x) в точке (док-во).
Производная функций y=tg(x), y=ctg(x) (вывод).
Производная логарифмической функции (вывод).
Вывод производной показательной функции
Главные правила дифференцирования (вывод производной произведения либо частного).
Производная сложной функции (вывод). Дифференцирование функции, заданной не очевидно (правило). Примеры
Обратная ее производная и функция. Вывод производной функции y=arctg(x).
Функции, заданные параметрически. Производная функции, заданной параметрически (вывод). Параметрические уравнения эллипса
Дифференциал функции y=f(x). Определение и его геометрический суть. Инвариантность формы дифференциала первого порядка (док-во).
Теорема Ролля и ее геометрический суть.
Теорема Лагранжа и ее геометрический суть.
Достаточное условие возрастания функции y=f(x) на промежутке (док-во)
Экстремум функции f(x). Определение, нужное и достаточное условие экстремума (док-во).
вогнутости графика и Определение выпуклости функции y=f(x) на [a,b].Достаточное условие выпуклости графика функции y=f(x) на [a, b]. Пример.
Точки перегиба графика функции y=f(x). Определение. Нужное и достаточное условия существования точки перегиба графика функции. Примеры
Асимптоты графика функции f(x). Определение. Нахождение вертикальных и горизонтальных асимптот. Привести примеры функций, имеющих вертикальные , наклонные и горизонтальные асимптоты.
Задачи
Матрицы
Задана функция – квадратный трехчлен и дана матрица А(2х2). Определить значение матричного многочлена f(A)
Отыскать матрицу, обратную матрице (3х3)
аналитическая геометрия и Векторная алгебра
Вычислить длины диагоналей, отыскать косинус угла между диагоналями и площадь параллелограмма, выстроенного на векторах
Проекция точки на плоскость
Площадь треугольника с вершинами
Составить канонические уравнения высоты пирамиды
Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые
Уравнение прямой в пространстве
Составить медианы и уравнение высоты в треугольнике
Уравнение прямой, совершённой через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку
уравнение плоскости, проходящей через точку и через прямую
Составить канонические уравнения прямой линии, проходящей через точку пересечения прямой с плоскостью, перпендикулярно к данной плоскости.
В треугольнике ABС отыскать расстояние от вершины С до медианы, совершённой из вершины А
Кривые 2 порядка
Уравнения асимптот преувеличения
Уравнение перпендикуляра, опущенного из фокуса параболы либо преувеличения либо центра окружности на прямую (сделать чертеж).
Уравнение прямой, соединяющей вершину и точку параболы и отыскать расстояние от ее фокуса до оси Ох..
Привести уравнение кривой к каноническому виду и выстроить кривую
Матанализ
Предел
нормали и Уравнение касательной к данной линии в точке.
экстремум и Интервалы монотонности
Точки перегиба графика функции
Асимптоты графика