Мы подошли к решению вопроса о том, как на основании взятой в опыте группы результатов наблюдений оценить подлинное значение, т.е. отыскать итог измерений, как оценить его точность, т.е. меру его приближения к подлинному значению.
Эта задача есть частным случаем статистической задачи нахождения оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки — последовательности значений, принимаемых данной величиной в n свободных опытах. Оцениваемыми параметрами являются среднеквадратическое отклонение и математическое ожидание, потому, что лишь они входят в выражение для дифференциальных функций всех трех рассмотренных выше распределений. В уравнениях для распределения Лапласа и нормального распределения эти параметры входят очевидно, а в уравнения для равномерного распределения — не очевидно, потому, что
Оценку параметра а назовем точечной, если она выражается одним числом. Каждая точечная оценка, вычисленная на основании умелых данных, есть их функцией и исходя из этого сама обязана воображать собой случайную величину с распределением, зависящим от распределения исходной случайной величины, а также от самого оцениваемого параметра и от числа опытов n.
К точечным оценкам предъявляется ряд условий, определяющих их пригодность для описания самих параметров.
1. Оценка именуется состоятельной, в случае, если при повышении числа наблюдений она приближается (сходится по возможности) к значению оцениваемого параметра.
2. Оценка именуется несмещенной, в случае, если ее математическое ожидание равняется оцениваемому параметру.
3. Оценка именуется действенной, в случае, если ее дисперсия меньше дисперсии каждый оценки данного параметра.
На практике не всегда удается удовлетворить в один момент все эти требования, но выбору оценки обязан предшествовать ее критический анализ со всех вышеперечисленных точек зрения.
Существует пара способов определения оценок. Самый распространен способ большого правдоподобия, теоретически обоснованный математиком Р. Фишером.
Мысль способа содержится в следующем. Вся приобретаемая в следствии многократных наблюдений информация об подлинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов сосредоточена в ряде наблюдений , где n — число наблюдений. Их возможно разглядывать как n свободных случайных размеров с одной и той же дифференциальной функцией распределения . Возможность получения в опыте некоего результата , лежащего в промежутке , где Dх- некая малая величина, равна соответствующему элементу возможности
Независимость результатов наблюдений разрешает отыскать априорную возможность появления в один момент всех экспериментальных данных, т.е. всего последовательности наблюдений как произведение этих возможностей:
Так, способ большого правдоподобия сводится к отысканию таких оценок при которых функция правдоподобия достигает громаднейшего значения.
Полученные оценки среднеквадратического отклонения и истинного значения именуются оценками большого правдоподобия.
1. При обычном распределении случайных погрешностей оценкой большого правдоподобия для подлинного значения есть среднее арифметическое из результатов отдельных наблюдений, а оценкой дисперсии — среднее из квадратов отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического.
2. Результаты наблюдений распределены по закону Лапласа
Задача решается способом последовательных приближений, причем в качестве первого приближения возможно принять среднее арифметическое из взятых результатов.
3. В условиях равномерного распределения погрешностей
При большом числе n наблюдений (фактически уже при n20-25) эту оценку можно считать нормально распределенной с дисперсией и математическим ожиданием при любом распределении результатов наблюдений.
Для чаще всего видящегося на практике обычного распределения случайных погрешностей оценки большого правдоподобия имеются особенные обозначения.
Оценкой подлинного значения есть среднее арифметическое из результатов отдельных наблюдений ,
Дисперсия среднего арифметического в n раз меньше дисперсии результатов наблюдений, т. е.
Оценка дисперсии результатов наблюдений при малом n есть мало смещенной, исходя из этого точечную оценку дисперсии принято определять как
а оценку среднеквадратического отклонения результатов наблюдений как
Наровне с способом большого правдоподобия при определении точечных оценок обширно употребляется способ мельчайших квадратов. В соответствии с этим способом среди некоего класса оценок выбирают ту, которая владеет мельчайшей дисперсией, т. е. самая эффективную оценку. Для случая нормально распределенных случайных погрешностей оценки, приобретаемые способом мельчайших квадратов, совпадают с оценками большого правдоподобия.