ВВЕДЕНИЕ
Первое, дошедшее до нас, научное изложение геометрии содержится в труде «Начала», составленном древнегреческим ученым Евклидом, жившим в третьем веке до нэ в городе Александрии. Конкретно Евклидом была сделана первая попытка дать аксиоматическое изложение геометрии. В первый раз научная совокупность теорем Евклида была сформулирована Д. Гильбертом (1862-1943) в конце CIC века.
Школьный курс геометрии складывается из двух стереометрии: и частей планиметрии. В планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости.
Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» – объемный, пространственный и «метрео» – измерять.
Представление о геометрических телах, изучаемых в стереометрии, дают окружающие нас предметы. В отличие от настоящих предметов геометрические тела являются мнимыми объектами. Изучая свойства геометрических тел, мы приобретаем представление о геометрических особенностях настоящих предметов и можем применять эти свойства в практической деятельности. Геометрия, в частности стереометрия, обширно употребляется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих вторых областях науки и техники.
Схема построения геометрии
Перечисляются главные неопределяемые понятия.
Формулируются свойства главных понятий — теоремы.
Определяются другие геометрические понятия.
Формулируются и доказываются свойства геометрических понятий — теоремы.
ТЕОРЕМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМ
Главные понятия стереометрии: точка, прямая, плоскость, расстояние.
Определение: Теоремой именуется предложение, не требующее доказательства.
Фундаментальные особенности точек, плоскостей и прямых, касающиеся их обоюдного размещения, выражены в теоремах. Вся совокупность теорем стереометрии складывается из последовательности теорем, известных нам по курсу планиметрии, и теорем о обоюдном размещении точек, плоскостей и прямых в пространстве.
ТЕОРЕМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
I. Теоремы принадлежности
I1. Существуют хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. каждая плоскость и Каждая прямая имеется не совпадающее с пространством непустое множество точек.
Обозначение:
А, В, С, D – точки;
а, b, с – прямые;
a , b , g – плоскости;
А I а – точка А в собственности прямой а, прямая а проходит через точку А;
Е I а – точка Е не в собственности прямой а;
С I a – точка С в собственности плоскости a , плоскость a проходит через точку С;
Е I a – точка Е не в собственности плоскости a .
Вывод: Существуют точки, находящиеся в собствености прямой и не принадлежащие прямой, существуют точки, находящиеся в собствености плоскости и не принадлежащие плоскости.
I2. Через две разные точки проходит только один прямая.
Обозначение: а = АВ
Вывод: Прямые, имеющие две разные неспециализированные точки, совпадают.
I3. Прямая, проходящая через две каждые точки плоскости, лежит в данной плоскости.
 |
Обозначение:
а I a – плоскость a проходит через прямую а;
b E a – плоскость a не проходит через прямую b.
I4. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит только один плоскость.
Обозначение: a = АВС
Вывод: Плоскости, имеющие три разные неспециализированные точки, совпадают.
I5. В случае, если две разные плоскости имеют неспециализированную точку, то их пересечением есть прямая.
Обозначение: М I a , М I b , a ¹ b , a iub = l.
II. Теоремы расстояния
II1. Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина, именуемая расстоянием от А до В. Расстояние АВ равняется нулю тогда и лишь тогда, в то время, когда точки А и В совпадают.
 |
Обозначение: АВ ³ 0.
II2. Расстояние от А до В равняется расстоянию от В до А.
Обозначение: АВ = ВА.
II3. Для любых трех точек А, В, С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С.
Обозначение: АС ? АВ + ВС .
III. Теоремы порядка
III1. Каждая точка О прямой р разбивает множество всех хороших от точки О точек прямой р на два непустых множества так, что для любых двух точек А и В, принадлежащим различным множествам, точка О лежит между точками А и В; в случае, если точки А и В принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между второй и точкой О.
 |
III2. Для любого расстояния а на заданном луче с началом О существует только один точка А, расстояние от которой до точки О равняется а.
 |
III3. В случае, если точка С лежит между точками А и В, то точки А, В, С принадлежат одной прямой.
III4. Каждая прямая р, лежащая в плоскости a, разбивает множество не принадлежащих ей точек данной плоскости на два непустых множества так, что каждые две точки, находящиеся в собствености различным множествам, поделены прямой р; каждые две точки, находящиеся в собствености одному и тому же множеству, не поделены прямой р.
IV. Теорема подвижности плоскости
В случае, если точки А, В, А1, В1 лежат в плоскости a, причем АВ 0 и АВ = А1В1, то существует два и лишь два перемещения данной плоскости, каждое из которых отображает точку А на точку А1 а точку В на точку В1.
V. Теорема параллельных
Через точку А проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой р.
СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМ
Следствие 1: Через прямую и не принадлежащую ей точку возможно совершить не более одной плоскость.
 |
Дано: М, а, М I а
Доказать:
1. ;
2. .
Подтверждение:
1. Выберем на прямой а точки А и В (теорема I1): АI а, ВI а.
Через точки М, А, В проходит плоскость a (теорема I4): a = МАВ.
Так как точки А, В принадлежат плоскости a , то прямая а в собственности плоскости a (теорема I3): а I a .
Следовательно, существует плоскость a , проходящая через прямую а и не принадлежащую ей точку М: .
2. Плоскость a содержит прямую а и точку М, другими словами проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (теорема I4).
Следствие 2: Через две пересекающиеся прямые возможно совершить не более одной плоскость.
 |
Дано: а, b, а ´ b
Доказать:
1. ;
2. .
Подтверждение:
1. Обозначим точку пересечения прямых а и b: .
Выберем на прямой а точку А, на прямой b точку В (теорема I1): АI а, ВI b.
Через точки М, А, В проходит плоскость a (теорема I4): a = МАВ.
Так как точки А, М принадлежат плоскости a , то прямая а в собственности плоскости a (теорема I3): АМ = а I a .
Так как точки В, М принадлежат плоскости a , то прямая b в собственности плоскости a (теорема I3): ВМ = b I a .
Следовательно, существует плоскость a , проходящая через две пересекающиеся прямые а и b: .
2. Плоскость a содержит прямые а и b, другими словами проходит через точки М, А, В. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость (теорема I4).
Определение: Прямые именуются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют неспециализированных точек либо совпадают.
Следствие 3: Через две параллельные прямые возможно совершить не более одной плоскость.
Дано: а, b,
Доказать:
1. ;
2. .
Подтверждение:
1. Существование плоскости a , проходящей через две параллельные прямые а и b, направляться из определения параллельных прямых.
2. Предположим, что существует вторая плоскость, содержащая прямые а и b. Выберем на прямой а точку А, на прямой b точки В и М (теорема I1): АIа, ВIb, МIb. Взяли, что через точки А, В, М проходят две плоскости, что противоречит теореме I4. Следовательно, предположение не правильно, плоскость а – единственная.
Упражнения:
1. Прочесть запись и сделать схематический рисунок:
a) ;
b) ;
c) 
;
d) .
2. По рисунку назвать:
a) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DВ, АВ, ЕС;
b) точки пересечения прямой DК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АDВ;
c) точки, лежащие в плоскостях АDВ и DВС;
d) 
прямые, по которым пересекаются плоскости АВС и DСВ, АВD и СDА, РDС и АВС.
3. По рисунку назвать:
a) точки, лежащие в плоскостях DСС1 и ВQС;
b) плоскости, в которых лежит прямая АА1;
c) точки пересечения прямой МК с плоскостью АВD, прямых DК и ВР с плоскостью А1В1С1;
d) прямые, по которым пересекаются плоскости АА1В1 и АСD, РВ1С1 и АВС;
e) точки пересечения прямых МК и DС, В1С1 и ВР, С1М и DС.
3. ОБОЮДНОЕ РАЗМЕЩЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ
ПОКАЗАТЕЛЬ СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ
Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.
Определение: Плоскости параллельны, если они не имеют неспециализированных точек либо совпадают.
ТЕТРАЭДР. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
В теме «Геометрические тела, их поверхности и количества» мы будем изучать многогранники – геометрические тела, поверхности которых составлены из многоугольников. Для иллюстрации понятий, которые связаны с обоюдным размещением плоскостей и прямых в пространстве познакомимся с двумя многогранниками – параллелепипедом и тетраэдром.
Разглядим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника АВС, возьмём треугольники DАВ, DВС, DСА.
Поверхность, составленная из четырёх треугольников АВС, DАВ, DВС, DСА, именуется тетраэдром и обозначается DАВС.
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, именуются гранями, их стороны – рёбрами, а вершины – вершинами тетраэдра. Тетраэдр имеет четыре грани, шесть рёбер и четыре вершины.
Два ребра тетраэдра, не имеющие неспециализированных вершин, именуются противоположными. У тетраэдра DАВС противоположными являются рёбра АD и ВС, ВD и АС, СD и АВ. Довольно часто одну из граней тетраэдра именуют основанием, и три другие – боковыми гранями.
Разглядим два равных параллелограмма АВСD и А1В1С1D1, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки АА1, ВВ1, СС1 и DD1 параллельны. Четырёхугольники АВВ1А1, ВСС1В1, СDD1С1, DАА1D1 кроме этого являются параллелограммами, поскольку любой из них имеет попарно параллельные противоположные стороны.
Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А1В1С1D1 и четырёх параллелограммов АВВ1А1, ВСС1В1, СDD1С1, DА А1D1, именуется параллелепипедом и обозначается АВСDА1В1С1D1.
Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, именуются гранями, их стороны – рёбрами, а вершины параллелограммов – вершинами параллелепипеда. Параллелепипед имеет шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. Две грани параллелепипеда, имеющие неспециализированное ребро, именуются смежными, а не имеющие неспециализированных рёбер – противоположными. Две вершины, не принадлежащие одной грани, именуются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, именуется диагональю параллелепипеда. Любой параллелепипед имеет четыре диагонали.
Диагоналями параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 являются отрезки АС1, ВD1, СА1, DВ1.
Довольно часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и именуют их основаниями, а остальные грани – боковыми гранями параллелепипеда. Рёбра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, именуются боковыми рёбрами.
В случае, если в качестве оснований параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 выбрать грани АВСD и А1В1С1D1, то боковыми гранями будут параллелограммы АВВ1А1, ВСС1В1, СDD1С1, DА А1D1, а боковыми рёбрами отрезки АА1, ВВ1, в один раз1 и DD1.
Упражнения:
1. В тетраэдре DАВС точки М, N, Q, Р – середины отрезков ВD, DС, АС, АВ. Отыскать периметр четырехугольника МNQР, в случае, если АD = 12 см, ВС = 14 см.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ
Определение: Углом между непараллельными прямыми т и п именуется меньший из смежных углов, образованных пересекающимися прямыми т’ и п’, где т’ || т , п’ || п .
, , .
Замечание: Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.
Определение: Две прямые в пространстве именуются перпендикулярными, в случае, если угол между ними равен .
Обозначение:
Перпендикулярные прямые смогут пересекаться и смогут быть скрещивающимися.
Задача: Дан куб АВСDА1В1С1D1.
Отыскать: ; ; .
Ответ:
По показателю параллельности двух прямых:
и , следовательно, . .
. , так как СDD1С1 есть квадратом.
.
По показателю скрещивающихся прямых:
, следовательно, · .
, следовательно, .
.
Вывод:
Из центра О круга радиуса 3 дм восстановлен перпендикуляр ОВ к его плоскости. К окружности совершена касательная в точке А и на данной касательной отложен от точки касания отрезок АС, равный 2 дм. Отыскать длину наклонной ВС, в случае, если протяженность перпендикуляра ОВ равна 6 дм.
5. Из вершины D прямоугольника АВСD, стороны которого АВ = 9 см и ВС = 8 см, восстановлен к плоскости прямоугольника перпендикуляр DF = 12 см. Отыскать расстояния от точки F до вершин прямоугольника.
8. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ЛИНЕЙНЫЙ УГОЛ ДВУГРАННОГО УГЛА
III4. Каждая прямая р, лежащая в плоскости a, разбивает множество не принадлежащих ей точек данной плоскости на два непустых множества так, что каждые две точки, находящиеся в собствености различным множествам, поделены прямой р; каждые две точки, находящиеся в собствености одному и тому же множеству, не поделены прямой р.
Множества, на каковые прямая р разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости a , именуются открытыми полуплоскостями с границей р.
Сторона ВС прямоугольника АВСD помогает стороной треугольника ВСF, причём вершина F проектируется на DС. Назвать линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями АВС и ВСF (Рис. 1.).
 |
|||
 |
|||
Рис. 1. Рис. 2.
Дано изображение равнобедренной трапеции АВСD и треугольника АВМ. Отрезок МС перпендикулярен плоскости АВС. Выстроить линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями АВС и ВСМ так, дабы одна из его сторон проходила через точку М (Рис. 2.).
3. На грани двугранного угла, равного 45°, дана точка, удалённая от ребра на 4 см. Отыскать расстояние от данной точки, до второй грани.
Многоугольник разбивается диагоналями, совершёнными из одной вершины, на конечное число треугольников, для каждого из которых теорема верна. Исходя из этого теорема будет верна и для суммы площадей всех треугольников, плоскости которых образуют одинаковый угол с плоскостью проекции.
Замечание: Доказанная теорема честна для любой плоской фигуры, ограниченной замкнутой кривой.
Упражнения:
1. Отыскать площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , в случае, если проекция его – верный треугольник со стороной а.
2. Отыскать площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , в случае, если проекция его – равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 12 см.
3. Отыскать площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , в случае, если проекция его – треугольник со сторонами 9, 10 и 17 см.
4. Вычислить площадь трапеции, плоскость которой наклонена к плоскости проекции под углом , в случае, если проекция её – равнобедренная трапеция, большее основание которой 44 см, боковая сторона 17 см и диагональ 39 см.
5. Вычислить площадь проекции верного шестиугольника со стороной 8 см, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом .
6. Ромб со стороной 12 см и острым углом образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.
7. Ромб со стороной 20 см и диагональю 32 см образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.
8. Проекция навеса на горизонтальную плоскость имеется прямоугольник со сторонами и . Отыскать площадь навеса, в случае, если боковые грани – равные прямоугольники, наклонённые к горизонтальной плоскости под углом , а средняя часть навеса – квадрат, параллельный плоскости проекции.
11. Упражнения по теме «плоскости и Прямые в пространстве»:
Стороны треугольника равны 20 см, 65 см, 75 см. Из вершины большего угла треугольника совершён к его плоскости перпендикуляр, равный 60 см. Отыскать расстояние от финишей перпендикуляра до большей стороны треугольника.
2. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии см, совершены две наклонные, образующие с плоскостью углы, равные , а между собой – прямой угол. Отыскать расстояние между точками пересечения наклонных с плоскостью.
3. Сторона верного треугольника равна 12 см. Точка М выбрана так, что отрезки, соединяющие точку М со всеми вершинами треугольника, образуют с его плоскостью углы . Отыскать расстояние от точки М до сторон и вершин треугольника.
4. Через сторону квадрата совершена плоскость под углом к диагонали квадрата. Отыскать углы, под которыми наклонены к плоскости две стороны квадрата.
5. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника наклонён к плоскости a, проходящей через гипотенузу, под углом . Доказать, что угол между плоскостью a и плоскостью треугольника равен .
6. Двугранный угол между плоскостями треугольников АВС и DВС равен . Отыскать АD, в случае, если АВ = АС =5 см, ВС = 6 см, ВD = DС = см.
Контрольные вопросы по теме «плоскости и Прямые в пространстве»
1. Перечислить главные понятия стереометрии. Сформулировать теоремы стереометрии.
2. Доказать следствия из теорем.
3. Каково обоюдное размещение двух прямых в пространстве? Дать определения пересекающихся, параллельных, скрещивающихся прямых.
4. Доказать показатель скрещивающихся прямых.
5. Каково плоскости и взаимное расположение прямой? Дать определения пересекающихся, параллельных плоскости и прямой.
6. Доказать плоскости параллельности и признак прямой.
7. Каково обоюдное размещение двух плоскостей?
8. Дать определение параллельных плоскостей. Доказать показатель параллельности двух плоскостей. Сформулировать теоремы о параллельных плоскостях.
9. Дать определение угла между прямыми.
10. Доказать плоскости перпендикулярности и признак прямой.
11. Дать определения основания перпендикуляра, основания наклонной, проекции наклонной на плоскость. Сформулировать свойства перпендикуляра и наклонных, опущенных на плоскость из одной точки.
12. Дать определение угла между плоскостью и прямой.
13. Доказать теорему о трех перпендикулярах.
14. Дать определения двугранного угла, линейного угла двугранного угла.
15. Доказать показатель перпендикулярности двух плоскостей.
16. Дать определение расстояния между двумя разными точками.
17. Дать определение расстояния от точки до прямой.
18. Дать определение расстояния от точки до плоскости.
19. Дать определение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью.
20. Дать определение расстояния между параллельными плоскостями.
21. Дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми.
22. Дать определение ортогональной проекции точки на плоскость.
23. Дать определение ортогональной проекции фигуры на плоскость.
24. Сформулировать свойства проекций на плоскость.
25. Сформулировать и доказать теорему о площади проекции плоского многоугольника.
ВВЕДЕНИЕ
Первое, дошедшее до нас, научное изложение геометрии содержится в труде «Начала», составленном древнегреческим ученым Евклидом, жившим в третьем веке до нэ в городе Александрии. Конкретно Евклидом была сделана первая попытка дать аксиоматическое изложение геометрии. В первый раз научная совокупность теорем Евклида была сформулирована Д. Гильбертом (1862-1943) в конце CIC века.
Школьный курс геометрии складывается из двух стереометрии: и частей планиметрии. В планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости.
Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» – объемный, пространственный и «метрео» – измерять.
Представление о геометрических телах, изучаемых в стереометрии, дают окружающие нас предметы. В отличие от настоящих предметов геометрические тела являются мнимыми объектами. Изучая свойства геометрических тел, мы приобретаем представление о геометрических особенностях настоящих предметов и можем применять эти свойства в практической деятельности. Геометрия, в частности стереометрия, обширно употребляется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих вторых областях науки и техники.
Схема построения геометрии