Примеры оценивания решений заданий 13

Федслужба ПО НАДЗОРУ В СФЕРЕ НАУКИ и Образования

_______________________________________________________________________

ФЕДЕРАЛЬНОЕ НАЦИОНАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ НАУЧНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ»

Методические материалы для членов
и председателей региональных предметных рабочих групп

По проверке исполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2016 года

МАТЕМАТИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ Советы ПО ОЦЕНИВАНИЮ Исполнения ЗАДАНИЙ ЕГЭ С РАЗВЁРНУТЫМ

ОТВЕТОМ

Москва

Начальник федеральной рабочей группе по разработке контрольных измерительных материалов с целью проведения национальной итоговой аттестации по образовательным программам главного неспециализированного и среднего неспециализированного образования по математике И.В. Ященко, в.н.с. ФИПИ.

Авторы–составители: И.Р. Высоцкий, О.Н. Косухин, П.В. Семёнов, А.В. Семенов, А.С. Трепалин.

Методические материалы для членов и председателей региональных предметных рабочих групп по проверке исполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ 2016 г. по математике подготовлены в соответствии с Тематическим замыслом работ Федерального национального бюджетного научного учреждения «Федеральный университет педагогических измерений» на 2016 г. Пособие предназначено для подготовки специалистов по оцениванию заданий с развернутым ответом, каковые являются частью контрольных измерительных материалов (КИМ) для сдачи единого госэкзамена (ЕГЭ) по математике.

В методических материалах дается краткое описание структуры контрольных измерительных материалов 2016 г. по математике, характеризуются типы заданий с развернутым ответом, применяемые в КИМ ЕГЭ по математике, и критерии оценки исполнения заданий с развернутым ответом, приводятся примеры оценивания исполнения заданий и даются комментарии, растолковывающие выставленную оценку.

В пособии использованы ответы участников ЕГЭ 2013–2015 гг.,
и диагностических и тренировочных работ.

Авторы будут признательны за предложения и замечания по совершенствованию пособия.

© И.Р. Высоцкий, О.Н. Косухин, П.В. Семёнов, А.В. Семенов, А.С. Трепалин, 2016

© Федеральный университет педагогических измерений. 2016

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

В 2016 году в структуре заданий КИМ ЕГЭ по математике (профильный уровень) с развёрнутым ответом и параметрах оценивания их исполнения случились совсем маленькие трансформации. По большей части они коснулись нумерации задач.

Тематическая принадлежность заданий осталась по большей части неизменной. Размещение в одном столбце приведённой таблицы заданий, соответственно, №15 и №13, №16 и №14, …, № 21 и №19 подчеркивает совпадение неспециализированной тематики этих заданий. То есть, в 2016 году, задание №13 – уравнение, №14 – стереометрия, №15 – неравенство, №16 – планиметрия, №17 – текстовая задача экономического содержания, №18 – задание с параметром, №19 – дискретная математика.

характер оценивания и Общие позиции исполнения заданий в целом повторяют прошлогодние. корректировки формулировок и Небольшие видоизменения в содержании параметров оценивания для конкретного задания смогут иметь место в тех случаях, в то время, когда необходимость подобного рода уточнений диктуется структурой и содержанием самого задания.

Более подробное описание заданий с развернутым ответом и параметров оценивания их исполнения представлены ниже, в начале каждого из параграфов 1–7.

Так как нумерация заданий с развернутым ответом трижды изменялась за три последних года, то в тексте настоящих УММ мы частенько приводим не только нумерацию 2016 года, но и две прошлые. К примеру, оборот «задание 18 (=20 =С5)» свидетельствует, что мы имеем дело с заданием 18 этого года, которое соответствует 20-й позиции в прошлогоднем ЕГЭ и заданиям С5 2010–2014 гг.

Статистику о итогах ЕГЭ по математике прошлого года, каковые мы используем в тексте, забраны из Аналитического отчета ФИПИ за 2015 год.

Авторы признательны участникам семинара ФИПИ от 28 января 2015 г., за дискуссию предложенных их оценок и решений.

§1 Критерии проверки и оценка ответов заданий 13 (15 в 2015 г., С1 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ-2016.

Задания №13 занимают одну из наиболее значимых позиций в структуре КИМ. К их исполнению в 2015 г. приступало более 60% участников профильного ЕГЭ, а хорошие баллы взяли более 30% всех участников. Успешность исполнения заданий этого типа есть характеристическим свойством, различающим базисный и профильный уровни подготовки обучающихся. Исходя из этого при подготовке выпускников к экзамену ответу заданий аналогичного уровня направляться уделять довольно много внимания.

Выделим, что выделение ответа уравнения в отдельный пункт а прямо показывает участникам экзамена на необходимость полного ответа предложенного уравнения: при отсутствии в тексте конкретной работы ответа на вопрос п. а задание №13 направляться оценивать не более чем 1 баллом.

В дискуссиях с представителями региональных групп специалистов много раз высказывалось предложение о смягчении параметров выставления 1 балла. То есть, предлагалось поступать так и в тех случаях, в то время, когда в ответе п. а допущена вычислительная неточность либо описка, не повлиявшая на полноту всего решения. В параметрах оценивания заданий с развернутым ответом ЕГЭ 2014–2016 эти предложения были учтены.

Маленькое уточнение с «неверный ответ» до «неверные ответы» подчеркивает тот факт, что 1 балл допускается ставить в тех случаях, в то время, когда единственная вычислительная неточность (описка) стала обстоятельством того, что неверны оба ответа, полученные при исполнении п. а и п. б.

Сохранена такая структура параметров и в 2016 г.

В демонстрационном варианте ЕГЭ это задание остаётся фактически неизменным вот уже пятый год подряд.

Задача 13 (демонстрационный вариант 2016 г).

а) Решите уравнение .

б) Отыщите все корни этого уравнения, находящиеся в собствености промежутку .

Ответ.а) Преобразуем уравнение:

; ; ,

откуда либо .

Из уравнения находим: , где .

Из уравнения находим: , где .

б) Посредством числовой окружности отберём корни уравнения, находящиеся в собствености промежутку .

Приобретаем числа: ; ; .

Ответ:а) , , .

б) ; ; .

Комментарий. Отбор корней возможно обоснован и любым вторым методом: посредством графика, решения двойных неравенств и т.п.

Возвращаясь к параметрам, в случае, если:

(1) уравнение (см. пример выше) правильно сведено к несложным тригонометрическим уравнениям и ;

(2) эти несложные уравнения не решены либо решены с неточностью;

(3) но наряду с этим отбор корней исходного уравнения правильно произведён посредством тригонометрической окружности, а не по неверно отысканным корням несложных тригонометрических уравнений, то по параметрам возможно выставить 1 балл (взят верный ответ в п. б, а его получение обосновано верным сведением к несложным уравнениям).

Одновременно с этим, при наличии (1) и (2) и «верного» отбора по неверно решенным несложным уравнениям направляться выставлять 0 баллов: каждые неточности, допущенные в тригонометрических формулах, в нахождении значений тригонометрических функций не относятся к вычислительным.

Примеры оценивания ответов заданий 13

Пример 1.

а) Решите уравнение .

б) Отыщите все корни этого уравнения, находящиеся в собствености промежутку .

Ответ:а) ; б) .

Комментарий.

Работа не безлюдная. Она цитирует УММ 2014 года, где за эту работу был выставлен 1 балл. Объяснение пребывало в том, что при переходе от к допущена очевидная вычислительная неточность, а уравнение решено правильно, и после этого произведён отбор. К сожалению, в этом отборе имеется и описка в 3), имеется и неточность в 1): отобранный корень не в собственности нужному отрезку.

Оценка специалиста: 0 баллов.

Пример 2.

а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, находящиеся в собствености отрезку .

Ответ:а) ; б) .

Комментарий.

Обычный пример выставления 1 балла по параметрам 2014, 2015 гг. При ответе второго несложного тригонометрического уравнения «пропал» множитель 2 в периоде. Но верный отбор корней произведён не по формуле, а по тригонометрической окружности.

Оценка специалиста: 1 балл.

Пример 3.

а) Решите уравнение .

б) Отыщите все корни этого уравнения, находящиеся в собствености отрезку .

Ответ: а) , ; б) ; ; .

Комментарий.

Верные ответы обоснованно взяты в пунктах а и б.

Оценка специалиста: 2 балла.

Пример 4.

а) Решите уравнение .

б) Отыщите все корни этого уравнения, находящиеся в собствености промежутку .

Ответ:а) ; б) .

Комментарий. Нигде в ответе нет описания значений параметра k, но при отборе корней очевидно указано целое значение. Думаем, что выставление наивысшего балла допустимо.

Оценка специалиста: 2 балла.

Пример 5.

а) Решите уравнение .

б) Отыщите все корни этого уравнения, находящиеся в собствености промежутку .

Ответ:а) ; б) .

Комментарий. Необычный случай. В тексте довольно много верных вещей. В п. а сперва написан верный ответ . Но позже появляется угол в (!!!?). В следствии оба ответа неверны не из-за вычислительной неточности.

Оценка специалиста: 0 баллов.

Пример 6.

а) Решите уравнение .

б) Отыщите все корни этого уравнения, находящиеся в собствености промежутку .

Ответ:а) ; б) .

Комментарий.

Фактически всё правильно, лишь отобранные корни не принадлежат нужному отрезку. Правильно выполнен лишь первый пункт.

Оценка специалиста: 1 балл.

§2. Критерии проверки и оценка ответов заданий 14 (16 в 2015 г., С2 ранее) вариантов КИМ ЕГЭ–2016

Задания 14 являются фактически полным аналогом заданий №16 и С2 КИМ ЕГЭ прошлых лет. Стереометрическая задача позиционируется как задача для большинства успевающих учеников, а не только для избранных. Поэтому в КИМах предлагается достаточно несложная задача по стереометрии, решить которую допустимо с минимальным числом геометрических технических вычислений и построений. Итак, в заданиях 14 прошлыми остались уровень сложности, тематическая принадлежность (геометрия многогранников) и большой балл (2 балла) за их исполнение.

Пара изменилась структура постановки вопроса. Как и в прошедшем сезоне, она поделена на пункты а и б приблизительно равно как и задание 13. Соответственно уточнился и характер оценивания исполнения ответов. Для получения 2 баллов необходимо, дабы выполнялись два условия в один момент (конъюнкция), а чтобы получить 1 балл достаточно выполнения хотя бы одного из этих условий (дизъюнкция).

Пункт а в заданиях 14 может по различному соотноситься с пунктом б. То есть, он бывает утверждением свободным от б, дополняющим либо контролирующим познание неспециализированной конструкции. Вероятен и второй вариант, в то время, когда в пункте а направляться доказать утверждение, нужное для полной корректности вычислений в пункте б. В первой ситуации независимость условий а и б приводит и к независимости проверки их исполнения. Во второй ситуации в полной мере может встретиться приблизительно следующий текст.

«Задание 16…… . а) Докажите, что…; б) Отыщите площадь….

Ответ.

У меня а) не получилось. Используем а) при ответе б)… потом верное и обоснованное (без исполнения пункта а) вычисление……».

Хуже того, вместо честного признания о «нерешаемости» а возможно предъявлено неполное и, кроме того, неверное подтверждение. И в том, и в другом случае за верное ответ пункта б направляться выставлять 1 балл. Позиция разработчиков КИМ пребывает в том, что первым делом направляться поощрять за успехи, а не наказывать за промахи. Тем самым, часть «обоснованно взят верный ответ в пункте б» критерия на 1 балл более совершенно верно было бы сформулировать как «обоснованно (по модулю п. а) взят верный ответ в пункте б».

Отметим кроме этого довольно часто задаваемый специалистами вопрос, который связан с проверкой ответа задач на нахождение угла. Вид ответа может различаться от приведённого в параметрах по проверке заданий с развёрнутым ответом. Это отличие не может служить основанием для понижения оценки. (Кстати, последнее правильно для проверки любого задания, не обязательно задания по стереометрии). Основное, дабы ответ был верным. К примеру, в случае, если в примере ответа стоит , а у выпускника в ответе , то справедливость равенства = специалисту направляться проверить самостоятельно.

Раздельно скажем о применении разных формул аналитической геометрии, которыми пара излишне увлекаются кое-какие эксперты. Очевидно, никакого запрета на их применение нет. Но, в случае, если по параметрам 2014 года адекватное применение некоей формулы с допущенной вычислительной неточностью возможно оценить в 1 балл, то условие «обоснованно взят верный ответ в пункте б» параметров 2016 года при таких условиях уже не выполнено и (в случае, если нет доказательства а) направляться выставлять 0 баллов.

Задание 1 (№16, ЕГЭ 2015 г).

В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами и . Длины боковых рёбер пирамиды , , .

а) Докажите, что — высота пирамиды.

б) Отыщите угол между прямыми и .

Ответ.

а) В треугольнике имеем:

,

исходя из этого треугольник прямоугольный с гипотенузой и прямым углом . Подобно, из равенства

приобретаем, что . Так как прямая перпендикулярна прямым и , прямая перпендикулярна плоскости .

б) На прямой отметим такую точку , что — параллелограмм, тогда и . Отыщем угол . По теореме Пифагора:

; и .

По теореме косинусов:

; ; .

Искомый угол равен . Ответ: б) .

Задание 2 (№16, ЕГЭ 2015 г).

В верной треугольной пирамиде сторона основания равна 60, а боковое ребро равняется 37. середины и — Точки рёбер и соответственно. Плоскость содержит прямую и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость дробит медиану основания в отношении , полагая от точки .

б) Отыщите расстояние от вершины до плоскости .

Ответ.

а) Прямая параллельна плоскости , исходя из этого сечение пересекает плоскость по прямой , параллельной . Разглядим плоскость . Пускай — точка пересечения прямой и этой плоскости , — точка пересечения прямой и
этой плоскости , — центр основания пирамиды. Плоскости и перпендикулярны плоскости , исходя из этого прямая перпендикулярна плоскости , соответственно, параллельна прямой . Потому, что — средняя линия треугольника , точка есть серединой . Следовательно, — середина . Медиана треугольника делится точкой в отношении . Значит, .

б) Прямая перпендикулярна и , исходя из этого прямая перпендикулярна плоскости . Прямые и параллельны, значит, расстояние от вершины до плоскости сечения равняется расстоянию
от точки до плоскости сечения, другими словами .

Ответ: б) .

Интересные записи:

• Применение производной в задачах с параметром
• Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 7
• Принцессы и выбор возлюбленного
• Принцип действия генератора