Разглядим на координатной плоскости окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Ее именуют единичной окружностью. Введем понятие поворота точки единичной окружности во круг начала координат на угол ? радиан, где ? – любое настоящее число.
1. 1. Пускай ?0. Предположим, что точка, двигаясь поединичной окружности от точки Р против часовой стрелки, прошла путь длиной ? (рис. 1). Конечную точку пути обозначим М.
В этом случае будем говорить, что точка М взята из точки Р поворотом около начала координат на угол ? радиан.
2. 2. Пускай ?
Поворот на 0 рад свидетельствует, что точка остается на месте.
15. Вопрос: Определение синуса, косинуса, котангенса и тангенса угла. Главное тригонометрическое тождество.
Ответ:
Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе;
Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе;
Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему;
Котангенс угла – этоотношение прилежащего катета к противолежащему.
Главное тригонометрическое тождество:
16. Вопрос: Формулысложенияcos(a±b), sin(a±b),tg(a±b),cosa±cosb, sina±sinb
Ответ:
17. Вопрос: Формулы синуса, косинуса, тангенса двойного и половинного угла.
Ответ:
18. Вопрос: Формулы приведения, вывод, примеры.
Ответ:
19. Вопрос: Уравнения вида cosx = a, sinx = a, tgx = a. частные и Общие виды решений случаи.
Ответ:
Ответ уравнения sin x = a
| Простая форма записи ответа | 
|
| Более эргономичная форма записи ответа | 
|
| Ограничения на число a | При, в то время, когда , уравнение ответов не имеет |
Графическое обоснование ответа уравнения sin x = a представлено на рисунке 1
Рис. 1
Частные случаи ответа уравнений sin x = a
| Уравнение | Ответ |
| sin x = – 1 | 
|
|
|
|
|
|
|
| sin x = 0 | |
|
|
|
|
|
|
| sin x = 1 | 
|
Ответ уравнения cos x = a
| Простая форма записи ответа | |
| Более эргономичная форма записи ответа | 
|
| Ограничения на число a | При, в то время, когда , уравнение ответов не имеет |
Графическое обоснование ответа уравнения cos x = a представлено на рисунке 2
Рис. 2
Частные случаи ответа уравнений cos x = a
| Уравнение | Ответ |
| cos x = – 1 | |
|
|
|
|
|
|
| cos x = 0 | 
|
|
|
|
|
|
|
| cos x = 1 |
Ответ уравнения tg x = a
| Простая форма записи ответа | |
| Более эргономичная форма записи ответа | 
|
| Ограничения на число a | Ограничений нет |
Графическое обоснование ответа уравнения tg x = a представлено на рисунке 3
Рис. 3
Частные случаи ответа уравнений tg x = a
| Уравнение | Ответ |
|
|
| tg x = – 1 | 
|
|
|
| tg x = 0 | |
|
|
| tg x = 1 | 
|
|
20(1). Вопрос: Определение производной, правила дифференцирования, примеры.
Ответ: Производная функции ? одно из главных понятий математики, а в матанализе производная наровне с интегралом занимает центральное место. Процесс нахождения производной именуется дифференцированием. Обратная операция ? восстановление функции по известной производной ? именуется интегрированием.
Производная функции в некоей точке характеризует скорость трансформации функции в данной точке.
f?(x)=y?(x)=df/dx=dy/dx
Геометрия
1. Вопрос: Теоремы стереометрии. Следствия из теорем (доказать одно из них).
Ответ: А1. Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом лишь одна.
|
А В (точки А, В, С лежат в плоскости ) С |
А2. В случае, если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в данной плоскости
|
АB Прямая АВ лежит в плоскости |
Замечание. В случае, если плоскость и прямая имеют лишь одну неспециализированную точку, то говорят, что они пересекаются.
|
а = М Прямая а и плоскость пересекаются в точке М. |
А3. В случае, если две плоскости имеют неспециализированную точку, то они имеют неспециализированную прямую, на которой лежат все неспециализированные точки этих плоскостей.
|
= a и пересекаются по прямой а. |
Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом лишь одна.
Подтверждение:
1) Разглядим прямую a и точку A, которая не находится на данной прямой.
2) На прямой a выберем точки B и C.
3) Так как все 3 точки не находятся на одной прямой, из второй теоремы направляться, что через точки A, B, Cи возможно совершить одну единственную плоскость?.
4) Точки прямой a, B и C, лежат на плоскости?, исходя из этого из третьей теоремы направляться, что плоскость проходит через прямую a и, само собой разумеется, через точку A.
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом лишь одна.
2. Вопрос: Теорема о параллельности трех прямых (доказательство и формулировка).
Ответ: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Дано:a?cиb?c
Доказать:a?b
Подтверждение:
Выберем точку M на прямой b.
Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, возможно совершить лишь одну плоскость ? (Через прямую и не лежащую на ней точку возможно совершить лишь одну плоскость).
Вероятны два случая:
1) прямая b пересекает плоскость ? либо 2) прямая b находится в плоскости ?.
Пускай прямая b пересекает плоскость ?.
Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, также пересекает плоскость ?. Так как a?c, то получается, что a также пересекает эту плоскость. Но прямая a не имеет возможности в один момент пересекать плоскость ? и пребывать в плоскости ?. Приобретаем несоответствие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость ?, есть неверным.
Значит, прямая b находится в плоскости ?.
Сейчас необходимо доказать, что прямые a и b параллельны.
Пускай у прямых a и b имеется неспециализированная точка L.
Это указывает, что через точку L совершены две прямые a и b, каковые параллельны прямой c. Но по теореме (Через любую точку пространства вне данной прямой возможно совершить прямую, параллельную данной прямой, и при том лишь одну.) это нереально. Исходя из этого предположение неверное, и прямые a и b не имеют неспециализированных точек.
Так как прямые a и b находятся в одной плоскости ? и у них нет неспециализированных точек, то они параллельны.
3. Вопрос: Параллельные прямые в пространстве(определение). Теорема о параллельных прямых.
Ответ: Две прямые в пространстве именуются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Теорема о параллельных прямых: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом лишь одна.
4. Вопрос: плоскости и Параллельность прямой(определение). плоскости параллельности и Признак прямой.
Ответ: плоскость и Прямая именуются параллельными, если они не имеют неспециализированных точек.
плоскости параллельности и Признак прямой:В случае, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоей прямой, лежащей в данной плоскости, то прямая параллельна самой плоскости.
5. Вопрос: Размещение прямых в пространстве(виды). Показатель скрещивающихся прямых.
Ответ: 
Показатель скрещивающихся прямых: В случае, если одна из двух прямых лежит на плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
6. Вопрос: Углы с сонаправленными сторонами. Определение, теорема.
Ответ:
7. Вопрос: Показатель параллельности двух плоскостей.
Ответ: В случае, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым второй плоскости, то плоскости параллельны.
8. Вопрос: Свойства параллельности плоскостей(доказать одно из них)
Ответ: Всего 3 свойства.
С1:В случае, если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Подтверждение:
Пускай даны параллельные плоскости и и плоскость , которая пересекает плоскости и по прямым а и b соответственно (Рис. 1.).
Рис. 1.
Прямые а и b лежат в одной плоскости, то есть в плоскости ?. Докажем, что прямые а и b не пересекаются.
Если бы прямые а и b пересекались, другими словами имели бы неспециализированную точку, то эта неспециализированная точка принадлежала бы двум плоскостям и , и , что нереально, поскольку они параллельны по условию.
Итак, прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.
С2: Отрезки параллельных прямых, арестанты между параллельными плоскостями, равны.
Рис. 2.
Подтверждение:
Пускай даны параллельные плоскости и и параллельные прямые АВ и СD, каковые пересекают эти плоскости (Рис. 2.). Докажем, что отрезки АВ и СD равны.
Две параллельные прямые АВ и СD образуют единственную плоскость ?, ? = АВDС. Плоскость ? пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым (по первому свойству). Значит, прямые АС и ВD параллельны.
Прямые АВ и СD кроме этого параллельны (по условию). Значит, четырехугольник АВDС – параллелограмм, поскольку его противоположные стороны попарно параллельны.
Из особенностей параллелограмма направляться, что отрезки АВ и СD равны, что и требовалось доказать.
С3: Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.
Подтверждение:
Пускай нам даны параллельные плоскости и , каковые рассекают стороны угла А (Рис. 3.). Необходимо доказать, что 
.
Рис. 3.
Параллельные плоскости и рассечены плоскостью угла А. Назовем линию пересечения плоскости угла А и плоскости – ВС, а линию пересечения плоскости угла А и плоскости – В1С1. По первому свойству, линии пересечения ВС и В1С1 параллельны.
Значит, треугольники АВС и АВ1С1 подобны. Приобретаем:
.
9. Вопрос: параллелепипед и Тетраэдр. Определения. Свойства параллелепипеда.
Ответ: Тетраэдр — поверхность, составленная из четырёх треугольников DАВ, DВС, DАС и АВС.
|
АВС, DАС, DВС, DАВ — грани. отрезки DА, DВ, АВ и т.д. — рёбра. точки А, В, С и т.д. — вершины. Рёбра АD и ВС — противоположные. Считается АВС — основание, остальные грани — боковые. |
Параллелепипед. АВСDA1B1C1D1: поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и A1B1C1D1, лежащих в параллельных плоскостях и четырёх параллелограммов.
|
все параллелограммы — грани, их стороны — рёбра, их вершины — вершины параллелепипеда. Считается: АВСD и A1B1C1D1 — основания, остальные грани — боковые. |
 рис. 29 |
Отрезок, соединяющий противоположные вершины, именуется диагональю параллелепипеда: A1C, D1B, AC1, DB1. |
Свойства:
1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Подтверждение:
Для любой пары противолежащих граней параллелепипеда имеем: соответствующие углы равны (к примеру, , и т. д.); соответствующие стороны равны и параллельны ( и , и и т. д. как противолежащие стороны параллелограммов). Из этого и их плоскости параллельны.
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся данной точкой пополам.
10. Вопрос: плоскости перпендикулярности и Признак прямой.
Ответ:В случае, если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в данной плоскости, проходящим через точку пересечения данной плоскости и прямой, то она перпендикулярна плоскости.
11. Вопрос: Теорема о трёх перпендикулярах.
Ответ: В случае, если прямая, совершённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: В случае, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
12. Вопрос: Показатель перпендикулярности двух плоскостей.
Ответ: В случае, если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную второй плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
13. Вопрос: Призма. Главные элементы, Sбок, Sполн, Vпризмы.
Ответ: Призма — это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами.
Sбок=Pосн*h,
Sполн= 2Sосн+Sбок,
Vпризмы =Sосн*h.
14. Вопрос: Пирамида. Главные элементы, Sбок, Sполн, Vпирамиды.
Ответ: Пирамида – многогранник, одна из граней которого (именуется основанием) – произвольный многоугольник, а остальные грани соединяются в одной точке(вершине).
Sбок=Pосн*l
Sполн = Sбок +Sосн
Vпирамиды = (1/3)*Sосн*h
15. Вопрос: Усечённаяпирамида. Главные элементы, Sбок, Sполн.
Ответ: Усечённой пирамидой именуется часть пирамиды, заключенная между её сечением пирамиды и основанием, параллельным основанию.
Sбок. ус. = (1/2)(P1осн+P2осн)l, l–апофема.
Sполн=Sбок. ус.+S1осн+S2осн.
16. угол: и Вопрос. Градусная мера двугранного угла.
Ответ: Двугранный угол – это фигура, грамотный двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.Двугранный угол измеряется величиной собственного линейного угла.Дабы отыскать величину двугранного угла либо угла между плоскостями, необходимо выстроить линейный угол и отыскать величину этого линейного угла.
17. Вопрос: Прямоугольный параллелепипед. Свойства прямоугольного параллелепипеда (доказать одно из них).
Ответ: Прямоугольный параллелепипед — многогранник с шестью гранями, любая из которых есть в общем случае прямоугольником. Противолежащие грани параллелепипеда равны.
Свойства прямоугольного параллелепипеда:
С1:В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.
АВСD и А1В1С1D1 – прямоугольники по определению.
С2: Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
С3: Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
Разглядим, к примеру, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ1 и АВС.
АВ – ребро, точка А1 лежит в одной плоскости – в плоскости АВВ1, а точка D в второй – в плоскости А1В1С1D1. Тогда разглядываемый двугранный угол возможно еще обозначить следующим образом: ?А1АВD.
Заберём точку А на ребре АВ. АА1 – перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ1, AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ?А1АD –линейныйуголданногодвугранногоугла. ?А1АD = 90°, значит, двугранныйуголприребреАВравен 90°.
?(АВВ1, АВС) = ?(АВ) = ?А1АВD= ?А1АD = 90°.
Подобно доказывается, что каждые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
18. Вопрос: Понятие многогранника. Виды. Примеры.
Ответ: В случае, если поверхности геометрических тел составлены из многоугольников, то такие тела именуются многогранниками.
Виды:
1. Пирамида
- Усечённая пирамида
2. Призма
3. Параллелепипед
- Куб
- Прямоугольный параллелепипед
4. Конус
- Усеченный конус
19. Вопрос: Верная пирамида. Определение, Sбок.
Ответ: Пирамида именуется верной, в случае, если её основанием есть верный многоугольник, наряду с этим вершина таковой пирамиды проецируется в центр ее основания.
Sбок=Pосн*l, l – апофема.
20. Вопрос: Симметрия в пространстве. Верные многогранники.
Ответ: Точки А и A1 именуются симметричными относительно точки О (центра симметрии), в случае, если О – середина отрезка AA1. Точка О симметрична сама себе.
Точки А и A1 именуются симметричными относительно прямой а (ось симметрии) в случае, если прямая а проходит через середину отрезка AA1 и перпендикулярна ему. Любая точка прямой a симметрична сама себе.
Точки А и A1 именуются симметричными относительно плоскости a (плоскость симметрии) в случае, если плоскость a проходит через середину отрезка AA1 и перпендикулярна ему. Любая точка плоскости a симметрична сама себе.
Верные многоугольники:
- Куб
- Верный тетраэдр
- Верная пирамида
- Верный октаэдр
- Верный икосаэдр
- Верный додекаэдр
21. Вопрос: Уравнение сферы. плоскости и Взаимное расположение сферы.
Ответ: Уравнение сферы: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2
плоскости и Взаимное расположение сферы:
1. Плоскость не пересекает сферу;
2. Плоскость касается сферы;
3. Плоскость пересекает сферу.
22. Вопрос: Касательная плоскость к сфере. Свойство с доказательством.
Ответ: Радиус сферы, совершённый в плоскости касания и точку сферы, перпендикулярен к касательной плоскости.
Свойство: В случае, если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его финиш, лежащий на сфере, то эта плоскость есть касательной к сфере.
Подтверждение: Из условия свойства направляться, что этот радиус есть перпендикуляром, совершённым из центра сферы к данной плоскости. Исходя из этого расстояние от центра сферы до плоскости равняется радиусу сферы, и, следовательно, плоскость и сфера имеют лишь одну неспециализированную точку. Это и свидетельствует, что эта плоскость есть касательной к сфере.
23. Вопрос: Цилиндр. Главные элементы, Sбок, Sполн, Vцилиндра.
Ответ: Цилиндр – тело, которое складывается из двух кругов, лежащих в всех отрезков и параллельных плоскостях, соединяющих соответствующие линии этих кругов.
Sбок=2?rh, r– радиус, h– высота;
Sполн= Sбок+ 2Sосн=2?rh+2?r2=2?r(h+r)
Vцилиндра= Sосн*h=?r2h
24. Вопрос: Конус. Главные элементы, Sбок, Sполн, Vконуса.
Ответ: Конусом именуется тело, которое складывается из круга, всех отрезков и точки, соединяющих эту точку с точкой круга. Круг именуется основанием, а отрезки — образующими. Точка именуется вершиной, а высота конуса перпендикуляр, совершённый из вершины конуса к основанию.
Sбок= ?rl;
Sполн= Sбок+ Sосн= ?rl + ?r2 = ?r(l+r)
Vконуса = (1/3)*?r2h
25. Вопрос:сфера и Шар, главные элементы, Sсферы, Vшара.
Ответ: Сфера – геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от некоей заданной точки (центра сферы). Расстояние между любой точкой сферы и её центром именуется радиусом. Геометрическое тело, ограниченное сферой, именуется шаром.
Sсферы = 4*?R2
Vшара = (4/3)* ?R3