Одна из древнейших нумераций — египетская. До нас дошли надписи, сохранившиеся внутри пирамид, на плитах и обелисках. Они состоят из картинок-иероглифов, которые изображают птиц, зверей, людей, части человеческого тела (глаза, ноги) и различные неодушевленные предметы. Такой способ письма вообще характерен для ранних ступеней культуры. Подобные письмена были у обитателей Центральной Америки — индейцев племени майя, в Перу, в Древнем Китае. Расшифровка их представляет огромные трудности, так как часто неизвестны ни язык древних народов, ни значение отдельных иероглифов. Казалось бы, задача является неразрешимой. И все-таки многие надписи уже прочитаны! Сначала были разгаданы письмена древних египтян, затем — вавилонская клинопись. В 30-х гг. нашего века чешский ученый Грозный прочел долго не поддававшиеся расшифровке хеттские надписи. И, наконец, совсем недавно советский ученый Кнорозов нашел ключ к разгадке письмен индейцев племени майя и надписям с острова Пасхи.
Сохранились два математических папируса, которые позволяют судить о том, как считали древние египтяне. Один из них хранится в Британском музее, а другой — в Музее изобразительных искусств в Москве.
Для записи чисел древние египтяне употребляли следующие иероглифы, означающие (последовательно): единица, десять, сто, тысяча, десять тысяч, сто тысяч (лягушка), миллион (человек с поднятыми руками), десять миллионов.
Полагают, что иероглиф для сотни изображает измерительную веревку, для тысячи — цветок лотоса, для 10 000 — поднятый кверху палец, а для 10000000 — всю Вселенную. Все остальные числа составлялись из основных с помощью только одной операции — сложения. При этом запись производилась не слева направо, как у нас, а справа налево. Число 15, например, записывалось так:
А число 444 писали так:
Мы видим, что древнеегипетская нумерация похожа на римскую, только при записи чисел не употребляется вычитание.
Знакомясь с римской нумерацией, мы убедились, до чего неудобно умножать числа, записанные в непозиционной системе. Как же считали древние египтяне? Оказывается, умножение и деление они производили путем последовательного удвоения чисел. Пусть, например, надо умножить 19 на 37. Египтяне последовательно удваивали число 37, причем в правом столбце записывали результаты удвоения, а в левом — соответствующие степени двойки:
Удвоение продолжалось до тех пор, пока не оказывалось, что из чисел левого столбца можно составить множитель (в нашем примере 19=1+2+16). Египтяне отмечали соответствующие строки вертикальными черточками и складывали те числа, которые стоят в этих же строках справа. В данном случае надо сложить 37+74+592=703. Так получали произведение.
Если теперь число 703 нужно было разделить на 19, то египтяне начинали последовательно удваивать делитель и продолжали это до тех пор, пока числа правого столбца оставались меньше 703. Затем из чисел правого столбца они пытались составить делимое, и тогда сумма соответствующих чисел в левом столбце давала делитель:
В данном случае 703=608+76+19, т. е. частное будет 1+4+32=37. Если бы делимое не делилось без остатка на делитель, то его не удалось бы составить из чисел правого столбца. У нас получилось бы и частное и остаток.
Египетский способ умножения не труден, но он требует очень большого количества операций, даже при умножении двузначных чисел. Если бы пришлось перемножать таким же образом очень большие числа, мы не могли бы обойтись без помощи машины. Заметим также, что для умножения и деления египтяне пользовались фактически представлением числа по двоичной системе.