Пример. Отыскать производные функций:
а) ; б) ;
в) ; г) y=ln ; д) .
Ответ:
а) Применяя таблицы дифференцирования производных и правило дроби элементарных функций, возьмём:
б) Воспользуемся сначала правилом дифференцирования сложной степенной функции:
Отыщем потом производную разности (3arctg2x –ln(1+4 2))
Производная выражения 3arctg2x имеется производная сложной, показательной функции. Она равна:
(3 arctg2x )/ = 3 arctg2x ln3 (arctg2x)/=3 arctg2x ln3
Производная выражения имеется производная сложной логарифмической функции. Она равна (ln(1+4 2))/
Совсем имеем
y/= (3 arctg2x ln3 )=
(3 arctg2x ln3-4x)
в) Воспользуемся сначала правилом дифференцирования сложной показательной функции:
Совсем будем иметь: .
г) Предварительно преобразуем функцию, применяя свойство логарифмов: y=ln ln (ln ln ).
Используя правило дифференцирования разности функций и сложной логарифмической функции, возьмём:
(ln ln .
д) Предварительно прологарифмируем по основанию обе части равенства:
ln = ln(x+1)arctgx = arctg x ln(x+1).
Потом продифференцируем обе части, считая lny сложной функцией от переменной x:
( arctg x) ln(x+1) + arctg x (ln(x+1)) = ln(x+1) + arctg x?
Совсем выразим y :
Задания для независимой работы
Отыскать производные функций:
1) а) y = ; б) y=2cos3x + tg 3 ; в) y = esin2x ln 4 ; г) y = ln ; д) y = (2x+3)tgx;
2) а) y = ; б) y =(3sin2x – sin2 2x); в) y=2×2 cos 3x; г) y =ln ; д) y = (1+ cos x )x;
3) а) y = ; б) y =(5tg2x –x3); в) y =e-3x sin 4x; г) y =ln ; д) y =(x + 2)sinx ;
4) а) y = ; б) y =(2arcsinx + arcsin2x); в) y =x2 sin3 x; г) y =ln ;
д) y = (x + 1)arctgx;
5) а) y = ; б) y =(4tgx – tg 2x); в) y=ln xarctg x; г) y =ln ; д) y = (x + sin x)x;
6) а) y = ; б) y =(5sin2x – cos2 2x); в) y =ln 2x*tg ; г) y =ln3 ;
д) y = (tg 2x)tg2x;
7) а) y = ; б) y = ; в) y =cos 4x *e6x ; г) y =ln ;
д) y = (sin x)cos3x;
а) y = ; б) y =(3cos2x +cos2 x); в) y =arcos xsin 3x; г) y =ln ;
д) y = (1-x2) sinx;
9) а) y = ; б) y = ; в) y =e2x ln tg x; г) y =ln ;
д) y = (ctg 4x)3x;
10) а) y = ; б) y = ; в) y =sin 4xctg 6x; г) y =ln ; д) y =(sin 2x)tgx.
Полное изучение функции
Полное изучение функции разрешает выяснить для построения графика характерные точки функции:
- точки разрыва
- точки пересечения кривой с осями координат
- точки экстремума
- точки перегиба
1. 1) Область определения функции (о.о.ф)
2) Точки разрыва и промежутки непрерывности
3) Поведение функции в окрестности точек разрыва; вертикальные асимптоты
4) Точки пересечения кривой с осями координат
5) Чётность либо нечётность функции (симметрия графика)
2. Промежутки монотонности функции; точки экстремума;
3. вогнутости и Интервалы выпуклости;
4. Поведение функции на бесконечностях. Наклонная (горизонтальная) асимптота
Пример: Совершить изучение функции и выстроить график
Ответ:
1.1) о.о.ф. : х (-? ; -1) (-1 ; 1) (1 ; +?) так как х2 – 1 = 0 т.е. х ? -1 , х ? 1 .
2) х = -1, х = 1 – точки разрыва; функция постоянна при
х (-? ; -1) (-1 ; 1) (1 ; +?) .
3) Исследуем поведение функции в окрестности точек разрыва. Для этого отыщем односторонние пределы в этих точках:
В точке х = -1;
Так как односторонние пределы нескончаемы, то х = -1 – точка разрыва второго рода, соответственно, график имеет вертикальную асимптоту в виде прямой х = -1 . Причём:
; ,
В точке х = 1
Так как односторонние пределы нескончаемы, то х = 1 — точка разрыва второго рода, значит, график имеет вертикальную асимптоту в виде прямой х = 1 . Причём:
4) Точки пересечения с осями координат.
С осью Ох график пересекается в точке (0 ; 0), так как у = 0 имеем х = 0; с осью Оу пересекается кроме этого в точке (0 ; 0) , так как при х = 0 имеем у = 0.
5) Функция есть нечётной, потому, что:
А это значит, что график функции симметричен относительно начала координат.
2. Отыщем убывания и интервалы возрастания, и точки экстремума функции. Для этого вычислим производную
и приравняем ее нулю, т.е. у? = 0. Потом решим уравнение
либо
Так как х2 + 1 ? 0 , то последнее уравнение корней не имеет. Исходя из этого, эта функция «критических» точек на экстремум не имеет. Соответственно не имеет точек экстремума. Точки разрыва функции х = -1 , х = 1 , при которых у? также не существует, разбивают числовую прямую на промежутки монотонности (-? ; -1) , (-1 ; 1) , (1 ; +?) . Проверкой символа у? в каждом из этих промежутков убеждаемся, что у? везде отрицательна; значит функция во всех трёх промежутках убывающая.
3. Исследуем вогнутость и выпуклость кривой, на точки перегиба. Для этого отыщем вторую производную и приравняем её нулю:
т.е.
Так как х2 + 3 ? 0 , то у?? = 0 лишь при х = 0 , а при х = -1 и х = 1 у?? не существует. Отметим эти точки на числовой прямой и удостоверимся в надежности символ у?? в каждом из промежутков: (-? ; -1), (-1; 0), (0; 1), (1; +?)
В промежутках (-? ; -1) (0 ; 1) у?? 0 , т.е. кривая выпуклая. При х = 0 кривая имеет точку перегиба, упер = 0 . Точки х = -1 , х = 1 не смогут быть точками перегиба, поскольку являются точками разрыва.
4. Исследуем поведение функции на бесконечностях. Для этого вычислим:
Из этого видно, что при х -? функция пытается к 0 снизу, а при х+? пытается к 0 сверху.
Отыщем наклонную асимптоту в виде прямой: у = kх + b:
Итак, наклонной (горизонтальной, поскольку k = 0) асимптотой кривой будет прямая у = 0 – ось Ох
График функции, выстроенный по итогам изучений приведен на рисунке :
Задачи для независимой работы
Совершить полное изучение функции и выстроить ее график
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Форма контроля: Проверка заданий и решений задач
Интегральное исчисление
Примеры приемов интегрирования
Отыскать неизвестный интеграл.
а) (1+sin7x )
Ответ
Для вычисления интеграла применим метод подстановки. Пускай 1+sin 7 = t. Тогда d(1+sin7 )= либо 7cos7 либо cos7 = Подставив полученные выражения в промежуток, будем иметь
cos7 *5(1+sin7x) = = +C
Сделаем диагностику дифференцированием:
ln5(1+sin7x)/ +0=
7cos7 = 5(1+sin7x)cos7
Получение подинтегральной функции говорит о правильности вычисления интеграла.
б) Отыскать неизвестный интеграл
Ответ
Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена по формуле
В нашем случае:
Возьмём
Сделав замену: x+1=y; , будем иметь:
arc sin
Возвращаясь к исходной переменной, возьмём
Сделаем диагностику дифференцированием
— правильно.
в) Отыскать неизвестный интеграл
Ответ
Воспользуемся формулой интегрирования по частям в неизвестном интеграле: udv=u v- vdu
Положим: u=x, dv=sin3 . Находим du=dx,
= =
Возьмём: ) =
= + = +C
Сделаем диагностику дифференцированием:
+ ( (
+ +
+ — правильно.
г) Отыскать неизвестный интеграл
Ответ
Подинтегральная функция представляет собой верную дробь, поскольку старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя. Отыщем корни квадратного трёхчлена
Воспользуемся методом разложения подинтегральной функции на простые дроби
Для нахождения коэффициентов А и В применим способ неизвестных коэффициентов.
Метод 1. Для этого приравняем числители, а после этого приравняем множители при однообразных степенях x.
Возьмём совокупность двух уравнений с двумя малоизвестными
Метод 2. Так как равенство числителей справедливо при любом x, вычислим значения правой и левой частей при х=1 и х= — 2. Возьмём
2+7=А(1+2) + В(1-1) и – 4+7=А(-2+2) + В(- 2-1). Откуда сходу отыщем А=3, В= -1.
Потом, выяснив тем либо иным методом коэффициенты, будем иметь
=3ln( ) — ln ln
Сделаем диагностику дифференцированием:
(ln (3ln( ) — ln( )+ =
-верно.
д) Отыскать неизвестный интеграл
Разложим подинтегральную функцию на простые дроби
Потом, приравняв числители
( * )
и раскрыв скобки приравняем коэффициенты при однообразных степенях х, возьмём совокупность из четырех уравнений с четырьмя малоизвестными:
A + B = 1, — при х3;
6A + 4B + C = 6, — при х2;
12A – 2B + D = 13, — при х;
8A – 4B – 4C – 2D = 6, — при х0.
Перед тем как решать совокупность воспользуемся вторым методом, положив в ( * ) х = 2, вычислим значения левой и правой частей:
23 + 6 * 22 +13 * 2 + 6 = А(2 + 2)3 , откуда отыщем А = 1.
Положив х = — 2, вычислим (-2)3 + 6 * (-2)2 +13 *(- 2) + 6 = D(- 2 — 2), откуда D = 1.
Потом, подставив в первое уравнения совокупности A = 1, возьмём B = 0;
Подставив узнаваемые значения А, В и D в последнее уравнение отыщем С: 8 – 0 – 4С – 2 = 6 либо С = 0.
Искомый интеграл примет вид
Последние два интеграла находятся легко:
Задания для независимой работы
Отыскать неизвестные интегралы способом замены переменной:
Отыскать неизвестные интегралы способом интегрирования по частям:
Примеры вычисления определенного интеграла
Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определённый интеграл
а)
Ответ
а) Для вычисления интеграла в подинтегральной функции совершим замену переменной
t t-1 =(t-1)2 = d(t-1)2 =2(t-1) dt).
Отыщем пределы интегрирования для новой переменной .
При x=0 имеем t = 1, при x= 1, t = 2.
Возьмём dt=
= dt.
Для вычисления взятого интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница: = Совсем будем иметь:
=
ln2)-2( ln1) = ln2-1.
б) Вычислить определённый интеграл cos3
Ответ
Для нахождения определённого интеграла воспользуемся методом и формулой подведения под символ дифференциала:
=
= — ( 5 5 0)=
в) Вычислить определённый интеграл ln( )
Ответ
Воспользуемся методом интегрирования по частям в определённом интеграле
udv=uv vdu
Положим ln( )=u, dv= . Отыщем d(ln( ))=du
du , v =
Вычислим интеграл
ln( ) =ln( ) ln2- =
=ln2- + ln2-x ln( )
=ln2-(1-0)+ (ln2-ln1)=2ln2-1
Задания для независимой работы
Вычислить значения определенных интегралов:
1) 7 2) ? 3)
4) 5) 6)
7) 9) ln
10) 11) 12)
13) 14) 15) ln( )