Определители второго и третьего порядков

Министерство сельского хозяйства РФ

Федеральное национальное образовательное учреждение

высшего образования

«Саратовский национальный аграрный университет

Имени Н.И. Вавилова»

МАТЕМАТИКА

Краткий курс лекций

для студентов 1 курса

Саратов 2016

Лекция 1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ

Понятие определителей

Определителем второго порядканазывается число, приобретаемое следующим образом: a11a22 – a12a21. Определитель обозначается знаком

Итак, чтобы отыскать определитель второго порядка необходимо из произведения элементов основной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Определителем третьего порядка именуется число, обозначаемое и приобретаемое следующим образом:

Так, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Подобно возможно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, наряду с этим символы + и – у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая являются таблицей чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Свойства определителей

1. Определитель не изменяется, в случае, если заменить его строки столбцами и обратно, к примеру, для определителя третьего порядка

2. При перестановке 2-х строчков либо столбцов определитель поменяет символ на противоположный, т.е., к примеру,

3.В случае, если определитель имеет две однообразные строчки либо столбца, то он равен нулю.

4.Неспециализированный множитель строчка либо столбца возможно выносить за символ определителя.

5.В случае, если все элементы какой–или строки либо столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю.

6.В случае, если все элементы какой–или строки либо столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель возможно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, к примеру,

7.В случае, если к какой–или строке (либо столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы второй строки (либо столбца), умноженные на одно и также число, то определитель не поменяет собственной величины. К примеру,

Эти свойства определителей частенько употребляются при вычислении определителей и в разных задачах.

Лекция 2

МАТРИЦЫ

Действия над матрицами

Равенство матриц. Две матрицы A и B именуются равными, если они имеют однообразное число столбцов и строк и их соответствующие элементы равны aij = bij. Так в случае, если и , то A=B, в случае, если a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 и a22 = b22.

Транспонирование. Разглядим произвольную матрицу A из m строчков и n столбцов. Ей возможно сопоставить такую матрицу B из n строчков и m столбцов, у которой любая строчок есть столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, любой столбец есть строчком матрицы A с тем же номером). Итак, в случае, если

, то .

Эту матрицу B именуют транспонированнойматрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Так, транспонирование – это перемена ролями столбцов и строк матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, в большинстве случаев обозначают AT.

Связь между матрицей A и её транспонированной возможно записать в виде .

Сложение матриц. Пускай матрицы A и B складываются из однообразного одинакового числа и числа строк столбцов, т.е. имеют однообразные размеры. Тогда чтобы сложить матрицы A и B необходимо к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Так, суммой двух матриц A и B именуется матрица C, которая определяется по правилу, к примеру,

либо

Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу A на число k необходимо любой элемент матрицы A умножить на это число. Так, произведение матрицы A на число k имеется новая матрица, которая определяется по

Правилу

либо .

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по необычному закону. В первую очередь, увидим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать возможно лишь те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы сходится с числом строчков второй матрицы. Произведением матрицы A не матрицу B именуется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

Так, к примеру, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c13, необходимо в 1-ой матрице забрать 1-ую строчок, во 2-ой – 3-й столбец, и после этого элементы строчка умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются посредством подобного произведения строчков первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m?n на матрицу B = (bij) размера n?p, то возьмём матрицу C размера m?p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в следствии произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила направляться, что в любой момент возможно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в следствии возьмём квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу в любой момент возможно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Вторым серьёзным случаем есть умножение матрицы–строчка на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в следствии возьмём матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Вправду,

Легко кроме этого проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка снова возьмём матрицу A, причём AE=EA=A.

Обратная матрица

Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратных матриц.

В случае, если A – квадратная матрица, то обратнойдля неё матрицей именуется матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)

Честна следующая теорема:

Теорема.Чтобы квадратная матрица A имела обратную, нужно и достаточно, дабы её определитель был отличен от нуля.

Итак, дабы отыскать обратную матрицу необходимо:

1. Отыскать определитель матрицы A.

2. Отыскать алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы A и составить матрицу , элементами которой являются числа Aij.

3. Отыскать матрицу, транспонированную взятой матрице , и умножить её на — это и будет обратная матрица .

Подобно для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица .

Лекция 3

Главные понятия

Совокупностью m линейных уравнений с n малоизвестными именуется совокупность вида

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – кое-какие узнаваемые числа, а x1,…,xn – малоизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер малоизвестного, при котором стоит данный коэффициент.

Коэффициенты при малоизвестных будем записывать в виде матрицы

, которую назовём матрицей совокупности.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm именуются свободными участниками.

Совокупность n чисел c1,…,cn именуется ответом данной совокупности, в случае, если каждое уравнение совокупности обращается в равенство по окончании подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих малоизвестных x1,…,xn.

Отечественная задача будет заключаться в нахождении ответов совокупности. Наряду с этим смогут появиться три ситуации:

1. Совокупность может иметь единственное ответ.

2. Совокупность может иметь нескончаемое множество ответов.

3. Совокупность по большому счету не имеет решения.

Совокупность линейных уравнений, имеющая хотя бы одно ответ, именуется совместной. В другом случае, т.е. в случае, если совокупность не имеет ответов, то она именуется несовместной.

Способ Крамера

Разглядим совокупность 3-х линейных уравнений с тремя малоизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице совокупности, т.е. составленный из коэффициентов при малоизвестных,

именуется определителем совокупности.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных участников

Теорема (правило Крамера).

В случае, если определитель совокупности ? ? 0, то разглядываемая совокупность имеет одно и лишь одно ответ, причём

Способ Гаусса

Ранее рассмотренные способы возможно использовать при ответе лишь тех совокупностей, в которых число уравнений сходится с числом малоизвестных, причём определитель совокупности должен быть отличен от нуля. Способ Гаусса есть более универсальным и пригоден для совокупностей с любым числом уравнений. Он содержится в последовательном исключении малоизвестных из уравнений совокупности.

Снова разглядим совокупность из трёх уравнений с тремя малоизвестными:

Первое уравнение покинем без трансформации, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, которые содержат x1. Для этого второе уравнение поделим на а21 и умножим на –а11, а после этого сложим с 1-ым уравнением. Подобно третье уравнение поделим на а31 и умножим на –а11, а после этого сложим с первым. В следствии исходная совокупность примет вид:

Сейчас из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение поделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь совокупность уравнений:

Из этого из последнего уравнения легко отыскать x3, после этого из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При применении способа Гаусса уравнения при необходимости возможно поменять местами.

Довольно часто вместо того, дабы писать новую совокупность уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу совокупности:

и после этого приводят её к треугольному либо диагональному виду посредством элементарных преобразований.

Кэлементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строчков либо столбцов;

2. умножение строчка на число, хорошее от нуля;

3. прибавление к одной строке другие строки.

Лекция 4

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Неспециализированное уравнение прямой.

Каждая прямая на плоскости возможно задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю в один момент, т.е. А2 + В2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка именуют неспециализированным уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С вероятны следующие частные случаи:

— C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

— А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

— В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

— В = С = 0, А ¹ 0 – прямая сходится с осью Оу

— А = С = 0, В ¹ 0 – прямая сходится с осью Ох

Уравнение прямой возможно представлено в разном виде в зависимости от каких – или заданных начальных условий.

Лекция 5

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Предел функции в точке.

y f(x)

A + e

A — e

0 a — D a a + D x

Рисунок 1. Предел функции в точке.

Пускай функция f(x) выяснена в некоей окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция возможно и не выяснена)

Определение. Число А именуется пределом функции f(x) при х®а, в случае, если для любого e0 существует такое число D0, что для всех х таких, что

0 ix — ai D

правильно неравенство if(x) — Ai e.

То же определение возможно записано в другом виде:

В случае, если а — D x не сильный + D, x ¹ a, то правильно неравенство А — e f(x) A + e.

Запись предела функции в точке:

Определение.

В случае, если f(x) ® A1 при х ® а лишь при x a, то — именуется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а вдруг f(x) ® A2 при х ® а лишь при x a, то именуется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

Приведенное выше определение относится к случаю, в то время, когда функция f(x) не выяснена в самой точке х = а, но выяснена в некоей сколь угодно малой окрестности данной точки.

Пределы А1 и А2 именуются кроме этого односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Кроме этого говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Лекция 6

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Понятие производной

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 именуется предел отношения приращения функции в данной точке к приращению довода, в случае, если приращение довода пытается к нулю.

f(x)

f(x0 +Dx) P

f(x0) M

a b Dx

0 x0 x0 + Dx x

Рисунок 2. Геометрический суть производной.

Пускай f(x) выяснена на некоем промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

где a — угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

Практически производная функции показывает как бы скорость трансформации функции, как изменяется функция при трансформации переменной.

Физический суть производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон перемещения (трансформации координат) – мгновенная скорость перемещения.

Соответственно, вторая производная функции — скорость трансформации скорости, т.е. ускорение.

Теорема. (Нужное условие существования производной) В случае, если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она постоянна в данной точке.

Ясно, что это условие не есть достаточным.

Дифференциал функции.

Пускай функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда возможно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более большого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- основная часть приращения Dу.

Правило Лопиталя.

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

Теорема (правило Лопиталя). В случае, если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, постоянны в точке а, g¢(x) хороша от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, в случае, если данный предел (конечный либо нескончаемый) существует.

Лекция 7

Теорема.

1) В случае, если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

2) В случае, если функция f(x) постоянна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) 0 для a x b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Подобно возможно сделать вывод о том, что в случае, если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f¢(x)?0 на этом отрезке. В случае, если f¢(x)

Само собой разумеется, данное утверждение справедливо, в случае, если функция f(x) постоянна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (a, b).

Эту теорему возможно проиллюстрировать геометрически:

y y

j j j j

x x

Рисунок 4. убывания функции признака и Геометрическая иллюстрация возрастания.

Точки экстремума.

Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, в случае, если ее значение в данной точке больше значений во всех точках некоего промежутка, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, в случае, если f(x2 +Dx) f(x2) при любом Dх (Dх возможно и отрицательным).

Асимптоты.

При изучении функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоей прямой.

Вертикальные асимптоты.

Из определения асимптоты направляться, что в случае, если либо либо , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

Наклонные асимптоты.

В случае, если существуют и конечны следующие пределы

. ,

то кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

Напомним, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Схема изучения функций

Процесс изучения функции имеет несколько этапов. Для самоё полного представления о характере и поведении функции ее графика нужно найти:

1) Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область определения и область значений функции.

2) Точки разрыва. (Если они имеются).

3) убывания и Интервалы возрастания.

4) минимума и Точки максимума.

5) Большое и минимальное значение функции на ее области определения.

6) вогнутости и Области выпуклости.

7) Точки перегиба.(Если они имеются).

Асимптоты.(Если они имеются).

9) Построение графика.

Лекция 8

НЕИЗВЕСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ

Первообразная функция.

Определение: Функция F(x) именуется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], в случае, если в любой точке этого отрезка правильно равенство:

F¢(x) = f(x).

Нужно подчернуть, что первообразных для одной и той же функции возможно вечно довольно много. Они будут различаться друг от друга на некое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

Неизвестный интеграл.

Определение: Неизвестным интегралом функции f(x) именуется совокупность первообразных функций, каковые выяснены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неизвестного интеграла на некоем отрезке есть непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

4. где u, v, w – кое-какие функции от х.

Таблица интегралов

Таблица 1 – Интегралы некоторых элементарных функций

Интеграл	Значение	Интеграл	Значение
		-ln½cosx½+C		ex + C
		ln½sinx½+ C		sinx + C

Продолжение таблицы 1

Интеграл	Значение	Интеграл	Значение
			-cosx + C
			tgx + C
			-ctgx + C
	ln		arcsin + C

Способы интегрирования.

Разглядим три главных способа интегрирования.

Интегрирование по частям.

Метод основан на примении формулы интегрирования по частям ;

Пример.

Как видно, последовательное использование формулы интегрирования по частям разрешает понемногу упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Вопросы для самоконтроля

1. неопределённый интеграл и Первообразная функция, его геометрический суть.

2. Свойства неизвестного интеграла.

3. Таблица интегралов некоторых функций.

4. Способ подстановки (замены переменной) в неизвестном интеграле.

5. Интегрирование по частям в неизвестном интеграле.

6. Интегрирование рациональных дробей.

Лекция 9

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

Очевидно, это равенство выполняется, в случае, если существует любой из входящих в него интегралов.

Замена переменной.

Пускай задан интеграл , где f(x) – постоянная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

Тогда в случае, если

1) j(a) = а, j(b) = b

2) j(t) и j¢(t) постоянны на отрезке [a, b]

3) f(j(t)) выяснена на отрезке [a, b], то

Тогда