Лекции
«Современная прикладная теория управления»
Модуль 1. Математические модели многомерных САУ
Тема 1.1. Математические модели САУ при наличии неопределенностей
Неприятности управления сложными совокупностями.
Совокупность представляется уравнением вида
,
,
.
Сложными именуются совокупности, у которых имеются:
1. Много элементов систем, связанных между собой (N).
2. 
— векторный критерий качества. Довольно много требований по качеству.
Возможно и без того: 
3. Влияние окружающей среды, которая заблаговременно возможно не известна.
, 
— известно, 
— неизвестно.
4. Нелинейность, нестационарность, неопределенность.
В природе чисто нестационарных (зависящих от t) совокупностей нет. Они получаются в следствии математических упрощений и преобразований:
,
– отклонение от заданного режима 
— вектора функции времени, 
.
Подходы для ответа непростых динамических задач.
В большинстве случаев выполняют декомпозицию задачи, которая проводится по следующим направлениям изучения:
1. Функциональная декомпозиция – разбиение неспециализированной неприятности на пара частных задач разного уровня посредством математических моделей и декомпозиции задач, преобразованием этих задач с последующим упрощением.
2. Структурная декомпозиция – выделение более несложных систем, посредством расщепления совокупности на системы, а также за счет запасных управлений, каковые возможно разглядывать раздельно, не считая совокупностей согласованного управления, где должно выполняться условие согласованного перемещения.
К примеру, для совокупности
условием согласованного перемещения есть последнее уравнение.
3. Временная декомпозиция – выделение отдельных режимов работы совокупности , к примеру, в задачах динамики полета.
Математические модели динамических совокупностей
Для технических, производственных подвижных объектов, летательных аппаратов довольно часто применяют (либо смогут быть использованы) модели в виде нелинейных дифференциальных уравнений:
(1)
где
Тут правая часть уравнения 
— вектор функция удовлетворяет единственности решения и условиям существования при 
.
Пример 1.
.
Для простоты до тех пор пока будем разглядывать случай y=yизм, 
.
Разглядим пример построения нелинейной совокупности:
h – высота,
, 
В соответствии с второму закону Ньютона
Введем обозначение:
Преобразуем к следующему виду:
— вводим управление массой ракеты.
, 
.
Линеаризованные модели для нелинейных совокупностей управления
Довольно часто удается применять упрощенные уравнения исходной совокупности в виде отклонений от некоего перемещения. Обоснованием этого есть возможность управления совокупностью так, дабы совокупность двигалась в окрестности данного перемещения.
(1)
(2)
,
— число управлений больше числа выходов.
Довольно часто на практике совокупность трудится в некоей окрестности от заданного режима, что именуют номинальным либо невозмущенным. Частным случаем невозмущенного перемещения есть положение равновесия. В этом случае уравнение (1) возможно записать в отклонениях от номинального перемещения:
, 
, 
,
где 
, 
, 
– отклонения от номинального перемещения.
Будем считать, что 
Разложим правую часть уравнения (1) в ряд Тейлора довольно номинального режима 
что удовлетворяет уравнению:
Уравнение (1) запишем в виде совокупности дифференциальных уравнений:
.
Тогда:
Учитывая, что
,
и отбрасывая слагаемые малого порядка (произведения отклонений), возьмём
Запишем совокупность взятых уравнений в матричном виде:
, 
,
где 
— матрица Якоби,
равная 
Символ * говорит о том, что необходимо подставить значение номинального перемещения: 
.
Подобно находим матрицу для координат и координат управления векторавозмущения:
, 
.
Подобно и для производных координат вектора 
.
Выражение для 
записывается подобно выражению 
:
Так, возьмём уравнения в отклонениях от номинального режима:
С учетом обозначений
возьмём совокупность
Потому, что — функции времени, то и приобретаемые матрицы становятся функциями времени.
Пример 1.
,
Учитывая, что 
, 
, возьмём:
,
.
Пример 1.
Пускай задана исходная совокупность
1) По схеме Горнера возьмём модель в пространстве состояний:
2) Посредством пакета MatLab возьмём:
либо
Возможно переписать в виде
.
Так, взяли разные совокупности, каковые имеют одну передаточную функцию, но имеют различные особенности:
1) 
, 
— неуправляема
, 
— замечаема
2) 
, 
— управляема
, 
— ненаблюдаема
В конечном итоге верной есть модель 1).
Модели внешних действий
Разглядим управляемую совокупность:
где 
– возмущение, 
– помеха измерений.
Внешние действия возможно поделить на регулярные и нерегулярные и случайные.
Регулярные действия – это такие действия, каковые возможно представить посредством ответа дифференциальных уравнений при заблаговременно малоизвестных начальных условиях.
Нерегулярные внешние действия – имеют ограниченную скорость трансформации и их возможно записать посредством неравенств, удовлетворяющих некоторым ограничениям.
Случайные действия – смогут иметь разрывы и их нельзя представить в виде модели в времени.
Разглядим регулярные и нерегулярные действия. Наряду с этим произвольное действие будем воображать в виде суммы регулярного и нерегулярного действия: 
.
Случай стационарной совокупности
при 
, 
Нужно отыскать: 
Разглядим случай, в то время, когда корни характеристических уравнений:
— разные
— разные
Тогда
,
где 
,
— личная матрица.
Тогда получается формула
Тогда
при
Такое будет при:
Достаточное условие сходимости:
Подставим в исходное уравнение
,
возьмём
— уравнение Сильвестра (похоже на уравнение Ляпунова в случае, если 
, 
и 
).
Пример 1. Выяснить установившееся перемещение посредством уравнения Сильвестра.
— уравнение в MatLab
, 
, 
Пример.
либо возможно переписать
Для хорошей определенности условие Стодола есть нужным и достаточным условием хорошей совокупности.
Умножим справа и слева соответственно на 
и 
Возьмём
(1)
а) 
(2)
б) 
а) и б) являются геометрическими ограничениями для ограниченных хаотических w(t).
В случае, если Q 0, то из (2) направляться (1). В случае, если Q ? 0, то из (2) не обязательно направляться (1). Исходя из этого (2) есть неспециализированной формулой.
Интегральные ограничения:
,
т.е. функция 
обязана затухать. В случае, если вместо 
забрать u:
— ограниченное управление, где 
— весовая функция и возможно 
.
Геометрическое ограничение 
, т.е. 
Ограничения бывают и для фазовых координат:
Пример.
— ограничение, 
при 
Пример 1.
Данному уравнению (1) соответствует n частных ответов.
, 
Матрица Х(t) должна быть таковой, что 
для всех .
Пример 2.
, 
, 
,
, 
.
Тогда ответ уравнения (1) возможно записать в виде 
, где 
-n-постоянный вектор, которое подставим в уравнение (1), из которого возьмём для любого вектора с уравнение:
,
либо 
При 
, 
Тогда 
, где 
фундаментальная матрица, которая определяется с точностью до постоянной матрицы либо возможно забрана в виде 
где 
— 
матрица 
.
Вправду, умножим на матрицу справа:
,
обозначим 
, тогда возьмём 
. Наряду с этим ответ
.
Обозначим 
— матрица Коши либо переходная матрица.
Тогда
Пример.
Б) Схема Ракитского
Разглядим разностное уравнение
(1)
где 
.
В случае, если 
, то возьмём схему Эйлера.
Продемонстрируем, что уравнение (1) дает правильное ответ для уравнения:
(2)
(3)
Ответ уравнения (2) имеет форму:
При 
возьмём
Из уравнения (3) возьмём:
Нужно выбрать 
Разглядим однородное уравнение
Отыщем производную
Вычисляем 
некоей функцией времени
матрица
(4)
Сравним формулу (4) с формулой (1)
Из этого следует, что матрицу 
необходимо принять в виде матрицы Якоби. Матрица Якоби берется любой на промежутке 
.
Так, взяли разностное уравнение.
Разглядим случай линейных стационарных совокупностей.
Схема Ракитского (Системный способ 1-го порядка).
Метод вычисления матриц дискретной модели ( 
)
– выделение целой части
Продемонстрируем, что справедливо равенство:
,
где 
вычисляется по формуле:
САУ с пассивной адаптацией
САУ с пассивной адаптацией смогут быть использованы в качестве главного контура адаптации.
Включeнue.
Равенство.
Разность.
Объединение.
Пересечение.
Дополнение.
Концентрация.
Размывание (либо размытие).
Определение числа термов
Нужно исходить из стоящей перед вами необходимой точности и задачи описания, нужно не забывать, что для большинства приложений достаточно трех термов в переменной;
Нечеткие правила функционирования совокупности должны быть понятны — определяете нужное число термов и каждому из них ставите в соответствие некое значение обрисовываемой физической величины. Для этого значения степень принадлежности физической величины к терму будет равна единице, а для всех остальных значений — в зависимости от выбранной функции принадлежности
Пример 1.
1. Лингвистическая переменная ВОЗРАСТ
для нее термы ЮНОШЕСКИЙ, СРЕДНИЙ и ПРЕКЛОННЫЙ.
2. Лингвистической переменной Расстояние являются термы На большом растоянии, БЛИЗКО
Нечеткие совокупности основаны на правилах продукционного типа, в качестве заключения и посылки в правиле употребляются лингвистические переменные.
Правило продукций складывается из заключения и посылок.
Допустимо наличие нескольких посылок в правиле, они объединяются при помощи логических связок И, Либо.
Продукционное правило записывается в виде:
«В случае, если (посылка) (связка) (посылка)… (посылка) ТО (заключение)».
Пример 2.
Возможно задать степень принадлежности к терму Весьма БЛИЗКО равную 0.7 , а к терму БЛИЗКО– 0.3
Лекции
«Современная прикладная теория управления»
Модуль 1. Математические модели многомерных САУ