ПРЕДИСЛОВИЕ
В любой отрасли для изготовления отдельных составных частей и деталей автомобилей создаются их геометрические (совершенные) образы, каковые именуются чертежами. Под чертежами знают плоское изображение геометрических размеров и очертаний технического объекта, выполненное так, дабы возможно было представить его объёмные формы.
У будущего инженера принципиально важно выработать и развить пространственное (объемное) «видение» плоского изображения. Это разрешает не только верно просматривать и осознавать плоские чертежи, но и, применяя множество положений и правил, грамотно их делать. Все эти вопросы рассматриваются студентами институтов при изучении первой общепрофессиональной дисциплины «Инженерная графика».
Серьёзной составной частью есть курс начертательной геометрии, что в силу его громадной значимости во многих образовательных стандартах выделен в отдельную дисциплину. Изучение этого курса преследует следующие главные цели:
- ознакомить студента с разными способами проецирования объекта на плоскость чтобы получить изображение;
- развить пространственное представление об объёмных формах технических объектов и составляющих их частей по изображению этих объектов на плоскостях;
- организовать и закрепить в сознании человека совокупность правил для ответа графическими способами технических задач проектирования;
В отличие от вторых изданий лекционный курс минимизирован до количества, предусмотренного рабочей программой по начертательной геометрии для студентов профессии 190701 и 181400, достаточного для независимой работы студента, исполнения им графических заданий.
Рекомендуется для студентов родственных профессий, изучающих курс начертательной геометрии и обучаемых в ВУЗах министерства транспорта РФ.
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
При изучении курса приняты следующие обозначения:
1.1 Плоскости проекций: горизонтальная — П1;
фронтальная — П2;
профильная — П3;
дополнительная — П4, П5
… аксонометрическая — П1.
1.2 Точки: А, В, С, Д… либо 1, 2, 3, 4 …
1.3 Проекции точек на плоскость: П1— А1,В1,С1,Д1 … либо 11, 21, 3,1 ,41;
П2 — А2,В2,С2,Д2 … либо 12 ,22, 3,2 ,42; П3 — А3,В3,С3,Д3 … либо 13 , 23, 33, 43; П1 — А1,В1,С1,Д1 … либо 11, 21, 31, 41
1.4 Точки на развертках: А0, В0, Со, Д0- — — либо 10, 20, З0, 40 …
1.5 Последовательный последовательность точек: …
1.6 Линии: a, b, c, d…
1.7 Проекции линий на плоскость:
П1— a1, b1, c1, d1 …
П2 — a2, b2, c2, d2 …
П3 — a3, b3, c3, d3 …
1.8 Линии уровня:
горизонтальная (горизонталь) — h;
фронтальная (фронталь) — f;
профильная — р.
1.9 Координатные оси проекций:
абсцисс — x;
ординат — y;
аппликат — z.
1.10 Новые оси абсцисс, полученные при замене плоскостей проекций: х1, x2 .
1.11 Аксонометрические оси координат: x1,y1,z1.
1.12 Последовательный последовательность линий: …
1.13 Прямая, проходящая через точки А и В: АВ.
1.14 Плоскости (поверхности): …
1.15 Символ принадлежности
1.16 Символ совпадения ?
ОБРАЗОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ.
СПОСОБЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
Плоский чертеж какого-либо технического объекта может складываться из нескольких изображений, по которым и создается представление об объемных формах объекта. Такие плоские изображения именуются проекциями разглядываемого объекта.
Под проекцией любой точки понимают ее как бы «теневое» отображение на какой-либо плоскости. Так, в случае, если поместить материальную точку 1 между источниками света (световых лучей) 2 и какой-либо плоскостью 3(рис. 2.1), на данной плоскости заметим тень 4 данной точки, которую и принято именовать проекцией точки.
Рис. 2.1
плоскости и источника Взаимное положение света возможно произвольным. В зависимости от величины угла между плоскостью 2-1-4 и лучом 3 вероятны два принципиально хороших варианта проекций точки:
- значение угла не равняется 90°, тогда проекция точки именуется косоугольной;
- значение угла равняется 90° (прямой угол), тогда проекция именуется прямоугольной, либо ортогональной (от греч. orthogonios — прямоугольный).
Курс начертательной геометрии разглядывает два главных способа проецирования: центральный и параллельный.
Совокупность плоскостей проекций в практике
Решения инженерных задач
Громаднейшее использование на практике отыскал способ параллельного ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, одна из которых расположена горизонтально, а вторая — вертикально. Они соответственно взяли обозначения: горизонтальная плоскость проекций – П1, и фронтальная — П2. Эти плоскости пересекаются между собой под прямым углом, образуя линию пересечения — ось х, и дробят пространство на четыре четверти (квадранты), каковые принято обозначать римскими цифрами I, II, III и IV (рис. 2.4).
При недостаточной информативности об объекте по двум проекциям на указанные плоскости П1 и П2 применяют третью плоскость П3,перпендикулярную плоскостям П1 и П2. Она именуется профильной плоскостью проекций. Плоскость П3пересекается с плоскостью П1образуя ось у, и с плоскостью П2,образуя ось z. Указанные плоскости дробят всё пространство около уже на восемь частей, каковые именуются октантами и обозначаются римскими цифрами от I до VIII.
ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ
Точки плоскостям проекций
Точка А в собственности:
— горизонтальной плоскости проекций П1в случае, если А1? А, а А2 оси хи A3 y;
— фронтальной плоскости проекций П2, в случае, если А2? А, а А1 оси хи A3 z;
— профильной плоскости проекций П3, в случае, если , а А1 оси yи A2 оси z;
Каждая точка лежит на оси проекций, в случае, если её смежные две проекции совпадают. Так, точка А лежит на оси х, в случае, если А1 сходится с А2; на оси у, в случае, если A2 сходится с А3, и оси z, в случае, если А2 сходится с А3.
ОБОЮДНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ
Задание прямой в пространстве
Каждая прямая в пространстве возможно задана:
- двумя точками, принадлежащими данной прямой;
- одной точкой, принадлежащей данной прямой, и ее направлением.
В первом случае задаются координаты двух заданных точек, во втором — координаты точки и направляющим вектором.
Принадлежность точки прямой
Показателем принадлежности точки некоей прямой есть принадлежность проекций точки одноименным проекциям данной прямой. Так на рис. 4.4 точка А в собственности отрезку прямой СВ, поскольку проекции точки Арасположены на одноименных проекциях отрезка прямой СВ( ).
Следы прямой
Следом прямой именуется точка пересечения прямой с плоскостью проекции. Горизонтальным следом прямой именуют точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 4.5). Горизонтальный след обозначают в большинстве случаев буквой М. Наряду с этим координата zточки М равна нулю. Следовательно, для нахождения горизонтального следа прямой на ней определяют точку с нулевой координатой z(рис. 4.5).
Фронтальным следом прямой именуют точку пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекции (рис. 4.5). Обозначают фронтальный след значительно чаще буквой N. Координата уточки N равна нулю. Следовательно, для нахождения фронтального следа N прямой на ней определяют точку, имеющую нулевую координату у.
Профильным следом прямой именуют точку пересечения прямой с профильной плоскостью проекции. Обозначают профильный след в большинстве случаев буквой Р. Координата хточки Р равна нулю.
 |
|||
 |
Пересекая плоскости проекции, прямая переходит из одной четверти (квадранта) пространства в другую. Линия неспециализированного положения и линия уровня может пройти через три четверти пространства; линия уровня и проецирующая линия — через две четверти.
4.5. Протяженность углы наклона и отрезка прямой прямой
к плоскостям проекции.
ПЛОСКОСТЬ
Задание плоскости
Плоскость на комплексном чертеже возможно задать:
- тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 5.1, а);
- прямой и не принадлежащей ей точкой (рис. 5.1, б);
- двумя пересекающимися прямыми (рис. 5.1, в);
- двумя параллельными прямыми (рис. 5.1, г);
- любой плоской фигурой (рис. 5.1, д);
- следами (рис.5.2)
Довольно часто используется метод задания плоскости посредством прямых линий (взаимно пересекающихся либо параллельных), по которым эта плоскость пересекается с плоскостями проекций П1 П2, П3.Это задание плоскости следами сохраняет наглядность изображения (рис. 5.2).
Следы плоскости
Линия пересечения какой-либо плоскости с плоскостью проекций (П1, П2, П3)именуется следом плоскости. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он в собственности. К примеру, горизонтальный след взят при пересечении заданной плоскости с плоскостью П1 и обозначается Р1, фронтальный — с плоскостью П2(Р2), профильный — с плоскостью П3(Р3). Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси проекции в точке, именуемой точкой схода следов.
 |
Любой из следов плоскости сходится со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях координат. К примеру, горизонтальный след плоскости Р (рис. 5.2) сходится со своей горизонтальной проекцией Р1, фронтальная его проекция находится на оси x, а профильная на оси у. По размещению следов плоскости возможно делать выводы о положении данной плоскости в пространстве.
Плоскостей проекций
Каждая произвольно взятая в пространстве плоскость может занимать общее либо частное положение.
Плоскостью неспециализированного положения именуется плоскость, которая не перпендикулярна и не параллельна ни к одной из плоскостей проекций (см. рис. 5.2). Все остальные плоскости относятся к плоскостям частного положения и подразделяются на проецирующие плоскости и плоскости уровня.
Проецирующейназывается плоскость, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций. К примеру, горизонтально-проецирующая плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции П1 (рис. 5.3).
 |
Рис. 5.3
Горизонтальные проекции всех геометрических объектов (точек, прямых, фигур), лежащих в данной плоскости, совпадают с горизонтальным следом 1. Угол ?, что образуется между плоскостями ? и П2, проецируется на П1 без искажения. Фронтальный след 2 перпендикулярен к оси x. Фронтально-проецирующая плоскость ( ) перпендикулярна к фронтальной плоскости П2(рис. 5.4).
Фронтальные проекции всех геометрических объектов (точек, прямых, фигур), лежащих в данной плоскости, совпадают с фронтальным следом плоскости 2. Угол ?, что образуется между заданной плоскостью и П1, проецируется на П2 без искажения. Горизонтальный след плоскости 1 перпендикулярен к оси x.
 |
Рис. 5.4
Профильно — проецирующая плоскость Т (T1, T2) перпендикулярна к профильной плоскости проекции П3 (рис. 5.5).
 |
|||
 |
|||
а) б)
Рис. 5.5
Профильные проекции всех геометрических объектов, лежащих в данной плоскости, совпадают с профильным следом плоскости Т3.
Углы ?и ?, каковые образуются между плоскостями проекций и заданной плоскостью П1 и П2(угол ? = углу наклона плоскости Tк плоскости проекцииП1;угол? =углу наклона плоскости Тк плоскости проекцийП2),плоскостьТпроецируются на плоскость П3без искажений. Горизонтальный и фронтальный следы плоскости параллельны оси х.
Профильно-проецирующая плоскость может проходить через рис и (ось. 5.6).
Следы таковой плоскости 1 ? 2 совпадают между собой и с осью x, исходя из этого не определяют положение плоскости в совокупности двух плоскостей проекций. Нужно не считая следов задать в плоскости точку (рис. 5.6). В частном случае эта плоскость возможно биссекторной плоскостью, в случае, если угол ? = ?, а точка А равноудалена от плоскостей проекций П1и П2.
Рис. 5.6
Плоскостью уровня именуется плоскость, перпендикулярная в один момент к двум плоскостям проекций и параллельная третьей. Таких плоскостей возможно три разновидности (рис. 5.7):
- горизонтальная плоскостьпараллельна плоскости П1и перпендикулярна к П2, П3 (рис. 5.7, а);
- фронтальная плоскостьпараллельна плоскости П2и перпендикулярна к П1, П3 (рис. 5.7, б);
- профильная плоскостьпараллельна плоскости П3и перпендикулярна к П1, П2 (рис. 5.7 в).
 |
а) б)
в)
Рис. 5.7
Из определения плоскостей уровня направляться, что одна из проекций точки, линии, фигуры, которыми владел этим плоскостям, будет совпадать с одноименным следом плоскости уровня, а вторая проекция будет натуральной величиной этих геометрических образов
Главные линии плоскости
Для прямой принадлежности плоскости и определения точки, направляться руководствоваться следующими положениями:
- точка в собственности плоскости, в случае, если через нее возможно совершить линию, лежащую в плоскости;
- прямая в собственности плоскости, если она проходит через две точки, находящиеся в собствености данной плоскости;
- прямая в собственности плоскости, если она проходит через точку данной плоскости и параллельна прямой, принадлежащей данной плоскости.
Через одну точку на плоскости возможно совершить нескончаемое множество прямых.
Это смогут быть линии и произвольные линии, занимающие особенное положение по отношению к плоскостям проекций П1 П2, П3.
Прямая, находящеяся в собствености разглядываемой плоскости, совершённая параллельно горизонтальной плоскости проекций, именуется горизонталью плоскости.
Прямая, находящеяся в собствености разглядываемой плоскости, совершённая параллельно фронтальной плоскости проекций, именуется фронталью плоскости.
Горизонтальи фронтальявляются линиями уровня плоскости.
Горизонталь плоскости направляться затевать строить с фронтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.
Все горизонтали плоскости параллельны между собой, можно считать горизонтальный след плоскости нулевой горизонталью (рис. 5.8).
Фронталь плоскости направляться затевать строить с горизонтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу. Фронтальный след плоскости -нулевая фронталь. Все фронтали плоскости параллельны между — собой (рис. 5.9).
 |
Рис. 5.8
К линии уровня относится и профильная прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная П3.
 |
а) б)
\
а) б)
Рис. 5.9
К линиям уровня плоскости относятся и профильные прямые, лежащая в заданной плоскости и параллельные П3.
К главным линиям плоскости, не считая линии уровня, относятся линии громаднейшего наклонаплоскости к плоскости проекций.
К плоскостям проекций
Плоскость неспециализированного положения наклонена к плоскостям проекций. Для определения величины угла наклона заданной плоскости к какой-либо плоскости проекции употребляются линии громаднейшего наклона плоскости к плоскости проекций: к П1 — линия ската, к плоскости проекций П2- линия громаднейшего наклона плоскости к плоскости П2.
Линии громаднейшего наклона плоскости — это прямые, образующие с плоскостью проекций громаднейший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующим линиям уровня. Линии громаднейшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейный угол, которым измеряется величина двухгранного угла, между данной плоскостью и плоскостью проекций (рис. 5.10).
 |
Рис. 5.10
И ПЛОСКОСТИ
плоскости и Прямой линии
Прямая плоскость и линия в пространстве относительно друг друга смогут занимать следующие положения:
- прямая параллельна плоскости (частный случай — прямая лежит в плоскости);
- прямая пересекается с плоскостью (частный случай — прямая перпендикулярна к плоскости).
Время от времени на чертеже запрещено конкретно установить обоюдное
плоскости прямой и положение линии (рис. 7.1).
В этом случае прибегают к некоторым запасным построениям, из-за которых от вопроса о обоюдном положении прямой линии и плоскости переходят к вопросу о обоюдном положении двух прямых. В задачах для того чтобы типа применяют способ введения запасном плоскости. Содержится он в следующем:
— через данную прямую m выполняют запасного плоскость . Подбор запасном плоскости производится с учетом построений на протяжении ответа задачи, дабы ответ задачи было самый простым;
Строят линию пересечения плоскостей — заданной и запасном ;
устанавливают обоюдное положение прямой mи линии пересечения плоскостей n.
- Наряду с этим вероятны следующие случаи:
- прямая mпараллельна прямой n, следовательно, прямая mпараллельна плоскости ?;
- прямая mпересекает прямую n, следовательно, прямая m пересекает плоскость ?.
К ПЛОСКОСТИ
Главные положения
Обратимся к рисунку 8.1, на котором изображена плоскость и перпендикулярная к ней прямая n.
Прямая n перпендикулярна к любой прямой плоскости , т.е. . Любой таковой прямой угол проецируется на плоскость проекций в виде некоего угла, но угол между прямой n и горизонталью плоскости hпроецируется на горизонтальную плоскость проекций в виде прямого угла, поскольку его сторона параллельна плоскости П1 (h||П1).
В случае, если , то .
 |
Угол между прямой n фронталью fплоскости проецируется на фронтальную плоскость проекций прямым углом (его сторона || П2).
В случае, если , то .
В случае, если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекции перпендикулярны к одноименным проекциям линий уровня данной плоскости.
На рисунке 8.2 через точку N совершена прямая m, перпендикулярная к плоскости ?. Для этого в плоскости ? (а^b) выяснены горизонталь h и фронталь f, и горизонтальная проекция перпендикуляра совершена перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция — перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали: .
Вправду, из чертежа направляться, что прямая m перпендикулярна к прямой h, поскольку угол между горизонтальными проекциями сторон угла прямой и одна сторона его (h) параллельна плоскости П1. Совершенно верно так же прямая m перпендикулярна к прямой f. Но в случае, если прямая линия перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна к данной плоскости.
 |
Рис. 8.2
В том случае, в то время, когда плоскость задана следами (рис. 8.3), проекции перпендикуляра находятся перпендикулярно к одноименным следам плоскости: .
Плоскость, перпендикулярную к данной прямой, определяют посредством пересекающихся линий уровня. На рисунке 8.4 (а- условие, 6 — ответ) через точку А совершена плоскость , перпендикулярная к заданной прямой m.
Горизонталь h плоскости проходит через точку А ). Фронталь данной плоскости возможно кроме этого совершена через точку А, но может пересекать горизонталь и в каждый точке, потому, что все они находятся в искомой плоскости.
На рисунке 8.4 фронталь f2проходит через точку В .
Рис. 8.3 Рис. 8.4
На рисунке 8.4 фронталь f2 проходит через точку В .
На рисунке 8.5 продемонстрирована прямая n перпендикулярная горизонтально проецирующей плоскости. Эта прямая есть горизонталью.
На рисунке 8.6 изображена прямая n, перпендикулярная к фронтально проецирующей плоскости. Эта прямая n есть фронталью.
На рисунке 8.7 изображен отрезок прямой (MN), перпендикулярный к профильно проецирующей плоскости . Увидим, что, совершив проекции М1N1 ?1 (?1?h1) M2N2 ?2 (?2?f2) мы еще не определим величину искомого перпендикуляра.
Это не должно нас удивлять, поскольку(h?f), а плоскости и перпендикулярность прямой обеспечивается перпендикулярностью данной прямой к двум пересекающимся прямым плоскости. Для решения задачи необходимо выстроить профильный след. Тогдa M3N3 ?3 .
В случае, если требуется выяснить, перпендикулярна ли некая прямая ткзаданной плоскости ?, то через какую-нибудь точку Мэтой прямой направляться совершить перпендикуляр n к плоскости ?(рис. 8.8). При совпадении линии m и nпрямая m перпендикулярна к плоскости ? .
Рис. 8.5 Рис. 8.6
 |
Рис. 8.7 Рис. 8.8
Примеры ответа задач
8.2.1. Задание:Выстроить перпендикуляр из точки А на плоскость ( ) и отыскать точку пересечения перпендикуляра с плоскостью.
Ответ:исходя из плоскости перпендикулярности и принципа прямой (прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым данной плоскости), нужно в плоскости совершить две пересекающиеся прямые: горизонталь hи фронталь f (рис. 8.9).
| n1 |
| n2 |
Рис.8.9
| ис.8.9 ис.8.9 |
После этого из точки А проводим нормаль n к плоскости ?. На основании теоремы о проецировании прямого угла и . В случае, если плоскость задана следами, то и (рис. 8.10).
Основание перпендикуляра определяется как точка пересечения его с плоскостью. Для этого необходимо совершить через нормаль проецирующую плоскость , отыскать линию пересечения l(l1,l2)-2(21,22)плоскостей ? и и на пересечении проекции данной линии с проекцией нормали отметить неспециализированную точку В для плоскости и нормали.
Способы ПРЕОБРАЗОВАНИЯ проекций
Способ совмещения плоскостей
Данный способ есть частным случаем метода вращения около линии уровня. В качестве оси вращения выбирается какой-либо след плоскости в которой лежит та либо другая фигура. Наряду с этим любая точка, находящеяся в собствености разглядываемой фигуре, при вращении перемещается в плоскости, перпендикулярной к следу той плоскости, в которой она лежит. К примеру, плоскость P, заданную собственными следами P1 и P2, нужно совместить с горизонтальной плоскостью проекций П1(рис. 9.7).
Для решения поставленной задачи берут на фронтальном следе P2 плоскости P произвольную проекцию точки A и находят ее горизонтальную проекцию A1, которая лежит на оси х. Из проекции A1точкиАпроводят луч, перпендикулярный к горизонтальному следу плоскости P1 (каждая точка при вращении обязана перемещаться в плоскости, перпендикулярной к оси поворота). На нем находят совмещенное положение точки A — точку A0, как точку пересечения луча с дугой окружности радиусом РхА2=Rвр(Rвращения — радиус поворота проекции точкиА). Точка A0 в собственности одновременно и плоскости П1 и новому (совмещенному) положению плоскости P. Через точку A0 выполняют новый фронтальный след P0 плоскости P. Следы P1 и P0 характеризуют новое (совмещенное) положение плоскости P.
Примеры ответа задач
Ниже приведены решения одной и той же задачи вышеописанными способами.
9.6.1. Задание:выяснить натуральную величину треугольника ABC(рис. 9.8), и угол наклона плоскости треугольника к плоскости П1.
1) Ответ способом замены плоскостей проекций (рис. 9.9).
Плоскость треугольника спроецируется в натуральную величину в том случае, если она будет параллельна одной из плоскостей проекций. Одним преобразованием задачу решить нереально. Она решается в два этапа: при первой замене плоскостей проекций приобретают плоскость треугольника ABC,перпендикулярную к новой плоскости проекций, при второй замене — приобретают плоскость треугольника, параллельную новой плоскости проекций.
Первый этап. Одним из условий перпендикулярности двух плоскостей есть наличие прямой, принадлежащей одной из плоскостей, перпендикулярной к второй плоскости. Применяя данный показатель, выполняют через точку А в плоскости треугольника горизонталь (h). После этого на произвольном расстоянии от горизонтальной проекции треугольника A1B1C1 выполняют ось x1,4новой совокупности плоскостей проекций П1/П4перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h1.В новой совокупности треугольник ABC стал перпендикулярен к новой плоскости проекций П4.
На линиях проекционной связи в новой совокупности откладывают координатыzточек А, В, С с фронтальной проекции исходной совокупности плоскостей П1/П2.
При соединении новых проекций А4,B4, С4приобретают прямую линию, в которую спроецировался треугольник ABC. На этом этапе определяется угол наклона плоскости треугольника к горизонтальной плоскости проекции П1 – угол ?. На чертеже это угол между осью x1,4и проекцией С4А4В4.
Второй этап. Выбираем новую плоскость проекции П5,параллельную плоскости треугольника, т.е. новую ось x4,5выполняют параллельно С4А4В4на произвольном расстоянии. Приобретают новую совокупность П4/П5.Полученный треугольник А5В5С5и имеется искомая натуральная величина треугольника ABC.
2) Ответ способом вращения около проецирующей оси(рис. 9.10).
Задача решается в два этапа. На первой стадии делают вращение так, дабы плоскость треугольника ABCпреобразовалась в проецирующую плоскость, т.е. стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций. Для этого выполняют горизонталь h (h1,h2) через точку А. (построение начинают с фронтальной проекции h2,она проходит через проекцию точки A2и проекцию точки 12 при этомh2 параллельна оси х).Потом находят горизонтальную проекцию h1 горизонтали h (через проекции A1 и 11). Через точку А выполняют ось i — ось вращения треугольника так, дабы она была перпендикулярна к П1. На фронтальной проекции через вершины А2 и В2 выполняют следы горизонтальных плоскостей уровня ? и ?в которых при вращении будут перемещаться точки АиВ. Вершина С в собственности плоскости П1исходя из этого ее плоскостью вращения будет плоскость проекций П1.На горизонтальной проекции, забрав за центр вращения проекцию i1 поворачивают горизонталь А так, дабы на плоскость П2 она спроецировалась в точку. На чертеже это выразится 
тем, что h’1 займет новое положение — перпендикулярно к оси х.
Наряду с этим на фронтальной проекции А2 остается неизменной, пребывав на следе плоскости ?2 и ее обозначим a2′.