Вычисление ДИ в полярных координатах
Пускай область D записывается совокупностью неравенств в полярных координатах:
Такая область именуется верной в полярной совокупности координат, в случае, если любой луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в 2-x точках.
По определению 
.
Т. к. значение двойного интеграла не зависит от метода разбиения области D на элементарные части, то сделаем это разбиение координатными линиями полярной совокупности координат (лучами из полюса и концентрическими окружностями).
Переведенный в полярные координаты двойной интеграл сведен к повторному по имеющейся записи области D неравенствами для переменных и . В следствии приобретаем формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах:
.
Обратите внимание, что в правой части формулы присутствует множитель — это якобиан (определитель Якоби) преобразования, что находится следующим образом:
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Пускай в трехмерной области V пространства OXY задана функция . Разобьем произвольным образом область V на элементарные подобласти , в каждой подобласти зафиксируем произвольную точку ( ) и составим трехмерную интегральную сумму 
.
Тройным интегралом от функции по ограниченной области V именуется предел последовательности соответствующих интегральных сумм при рвении к нулю громаднейшего из диаметров элементарных областей , в случае, если данный предел не зависит ни от метода разбиения области V на части, ни от выбора точек :
.
Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла и одного однократного или к вычислению трех повторных интегралов. В случае, если область V ограничена сверху поверхностью , снизу поверхностью , с боков – прямым цилиндром, вырезающим на плоскости OXY область D, то 
.
Рис. 9
Посредством тройного интеграла количество тела, изображенного на рис. 9, вычисляют по формуле: 
.
Вычисление Тройного интеграла в цилиндрических координатах
Разглядим цилиндрическую совокупность координат: Оr?z, которая совмещена с декартовой совокупностью координат Оxyz(рис. 2.19).
Наряду с этим
Вычислим Якобиан перехода от декартовой совокупности к цилиндрической:
Следовательно, 
Тогда тройной интеграл примет вид:
Вычисление тройного интеграла в сферических координатах
Разглядим сферическую совокупность координатО???, совмещённую с декартовой совокупностью Оxyz. Наряду с этим большие пределы трансформации сферических координат таковы: 0 ? ? ? 2?, 0 ? ? ? ?
Из рис. 2.21 нетрудно вывести следующие формулы, связывающие декартовые и сферические координаты:
благодаря которым возьмём Якобиан преобразования:
Так, переход к сферическим координатам в тройном интеграле осуществляется по формулам:
Вычисление ПИ-1
Поверхностный интеграл первого рода от функции 
по поверхности S определяется следующим образом:
где частные производные и равны
а 
свидетельствует векторное произведение. Вектор перпендикулярен поверхности в точке 
.
Полное значение 
именуется элементом площади: оно соответствует трансформации площади dS в следствии приращения координат u и v на малые значения du и dv (рисунок 1).