Вектор – это направленный отрезок прямой, обозначается 
либо 
. Точка 
— начало вектора, точка 
— его финиш. Длиной либо модулем вектора именуется протяженность отрезка 
и обозначается 
. Вектор, протяженность которого равна нулю, именуется нулевым вектором и обозначается 
. Вектор, имеющий длина и направление вектора которого равна 1, именуется единичным вектором либо ортом вектора и обозначается 
.
Векторы и 
именуются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых. Записывается так 
. Два вектора именуются равными, если они одинаково направлены и имеют однообразные длины.
Три вектора в пространстве именуются компланарными, если они лежат в одной либо параллельных плоскостях.
Под линейными операциями над векторами знают умножение сложения вектора и операцию векторов на настоящее число 
.
Суммой двух векторов и именуется вектор 
, соединяющий начало первого вектора с финишем второго вектора , при условии, что конец вектора и начало вектора совмещены. Обозначается сумма 
. Рис.4.
|
|
|
Рис. 4.
Такое правило сложения векторов именуется правилом треугольника. Два вектора возможно сложить и по правилу параллелограмма. Рис.5.
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.
|
|
|
|
|
Разность двух векторов и именуется третий вектор 
, таковой, что 
. Рис.6.
Рис. 6.
Произведение вектора 
на число 
именуется вектор 
, протяженность которого равна 
, он коллинеарен вектору и имеет направление вектора 
, в случае, если 
, и противоположное, в случае, если 
.
Линейные операции над векторами владеют следующими особенностями:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Нужным и достаточным условием коллинеарности двух векторов и есть существование для того чтобы числа , что .
Линейной комбинацией векторов 
именуется сумма произведений этих векторов на настоящие числа:
(7.1).
Совокупность векторов именуется линейно свободной, в случае, если их линейная комбинация (7.1) равна нулю лишь при всех 
одновременно равных нулю.
Два вектора и образуют базис на плоскости, в случае, если любой третий вектор 
на плоскости возможно представить в виде
(7.2).
Три вектора 
образуют базис в пространстве, в случае, если любой вектор 
этого пространства возможно представить в виде:
(7.3).
Выражение (7.3) именуют разложением вектора по базису из векторов , а числа 
именуют координатами вектора в базисе . Условно это записывается 
.
Два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, три некомпланарных вектора образуют базис в пространстве.
В случае, если известны координаты векторов в некоем базисе, то линейные операции над векторами сводятся к простым арифметическим операциям над координатами этих векторов.
Дабы сложить два вектора необходимо сложить их соответствующие координаты.
Дабы отыскать разность двух векторов нужно отыскать разность их соответствующих координат.
Дабы умножить вектор на настоящее число, нужно умножить каждую его координату на это число.
Честны следующие утверждения. Два вектора равны, в случае, если равны их соответствующие координаты. Два вектора коллинеарны, в случае, если их координаты пропорциональны.
Пример 10. Даны векторы 
. Проверить, что векторы образуют базис и отыскать координаты вектора в этом базисе.
Ответ. Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее к нулю: 
. Продемонстрируем, что это равенство справедливо только при условии 
. Из равенства векторов направляться:
Отыщем определитель взятой однородной совокупности:
Следовательно, совокупность имеет единственное ответ :
а это значит, что векторы — образуют базис.
Отыщем координаты вектора в этом базисе.
Запишем векторное равенство:
.
Переходя к координатой форме, возьмём:
Решив эту совокупность, возьмём:
.
Тогда 
, либо 
в базисе .
В прямоугольной совокупности координат 
любой вектор 
возможно представить в виде
(7.4),
где 
— взаимно ортогональные единичные векторы осей координат 
.
Координатами вектора в прямоугольной совокупности координат являются проекции этого вектора на соответствующие оси координат, другими словами
(7.5).
— протяженность вектора в прямоугольной совокупности координат.
Углы, каковые вектор образует с осями координат, принято обозначать соответственно 
. Косинусы этих углов именуют направляющими косинусами вектора . Направляющие косинусы равны соответственно:
(7.6),
Либо в координатной форме:
.
Для направляющих косинусов выполняется равенство
(7.7).
В случае, если известны координаты точек 
то координаты вектора 
определяются формулами 
, другими словами
.
Умножение векторов
Векторы возможно умножать скалярно и векторно. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и 
именуется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
(8.1).
Эту формулу возможно записать в виде
.
Скалярное произведение имеет следующие особенности:
1. 
— переместительный закон.
2. 
— распределительный закон
3. 
4. 
, из этого 
5. В случае, если 
, то 
— условие перпендикулярности векторов и
6. 
, 
— вектор силы, 
— вектор перемещения, 
— работа силы .
В случае, если и заданы в прямоугольной совокупности координат 
, то 
(8.2).
Упорядоченная тройка векторов именуется правой, в случае, если малейший поворот от вектора к вектору из финиша вектора 
виден совершающимся против часовой стрелки. Рис.7.
|
|
|
|
|
Рис. 7.
Векторным произведением вектора на вектор именуется третий вектор , протяженность которого равна 
, он перпендикулярен векторам и и направлен в ту сторону, что векторы 
и 
образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается 
.
Векторное произведение имеет следующие особенности:
1. 
2. 
3. 
4. В случае, если 
, то 
5. 
, где 
— площадь параллелограмма, выстроенного на этих векторах как на сторонах.
В случае, если векторы и заданы в прямоугольной совокупности координат: 
и 
, то:
(8.3).
В случае, если вектор силы, приложенной в точке 
, а 
радиус-вектор точки , то момент силы , относительно начала координат 
равен:
.
Смешанным произведением трех векторов и именуется их векторно-скалярное произведение. Обозначается 
.
В случае, если заданы координаты векторов в прямоугольной совокупности координат, то их смешанное произведение вычисляется по формуле:
(8.4).
Свойства смешанного произведения векторов:
1. 
— условие компланарности векторов;
2. 
— количество параллелепипеда, выстроенного на векторах, как на сторонах;
3. 
— циклическая перестановка сомножителей не меняет величины смешанного произведения;
4. 
Пример 11. Даны вершины пирамиды 
. Отыскать 1) угол между гранью 
и ребром 
; 2) площадь грани ; 3) количество пирамиды 
; 4) длину высоты, опущенной из вершины 
на грань .
Ответ. Вычислим координаты вектора 
:
.
Угол 
между гранью и ребром есть дополнительным углом для угла 
, образованного перпендикуляром, совершённым к плоскости треугольника и ребром . 
. Для нахождения 
вычислим координаты векторного произведения векторов 
и 
:
;
.
.
;
.
1) Площадь грани равна половине площади параллелограмма, выстроенного на сторонах 
и 
, т.е.
.
2) Количество пирамиды равен одной трети от количества параллелепипеда,
выстроенного на ребрах 
и 
. Следовательно
.
3) Протяженность высоты 
определяется из формулы:
; 
.
Ответ: 
; 
; 
; 
.
Комплексные числа
Комплексным числом 
именуется выражение
(9.1),
где 
и 
— настоящие числа; — мнимая единица, определяемая равенством
либо 
(9.2).
Число именуют настоящей частью комплексного числа и обозначают 
; — мнимая часть комплексного числа . Ее обозначают 
. В случае, если 
, то число 
именуют чисто мнимым, в случае, если 
, то число 
, имеется настоящее число.
Два комплексных числа и 
именуют комплексно сопряженными числами.
Два комплексных числа 
и 
считаются равными, в случае, если 
и 
. Комплексное число 
, в случае, если 
и 
. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, именуется комплексной плоскостью.
Время от времени комплексное число эргономичнее изображать в виде вектора 
, начало которого сходится с началом координат, соединяющего точку 
с точкой 
. Протяженность этого вектора именуется модулем комплексного числа и обозначается 
.
.
Угол 
между вектором 
и осью , отсчитанный против часовой стрелки, именуется доводом комплексного числа и обозначается 
.
Довод числа определяется с точностью до слагаемого 
, где 
— целое число. Основное значение довода числа — значение довода, удовлетворяющее неравенству 
. Основное значение довода комплексного числа обозначается через 
: 
.
Запись числа в виде 
именуют алгебраической формой записи комплексного числа.
Сумма, разность комплексных чисел и умножение определяется так же, как действия над соответствующими векторами.
Суммой комплексных чисел 
и 
именуется комплексное число
(9.3).
Разностью комплексных чисел и именуется комплексное число
(9.4).
Произведение комплексного числа на настоящее число 
именуется комплексное число 
.
Произведение двух комплексных чисел 
и 
, записанных в алгебраической форме определяется как произведение двучленов:
(9.5).
Произведением двух комплексно сопряженных чисел помогает настоящее число
(9.6).
Деление комплексных чисел определяется, как воздействие обратное умножению. Частное двух комплексных чисел и определяется следующим образом:
(9.7).
Наровне с прямоугольной совокупностью координат 
введем полярную совокупность, начало которой сходится с началом прямоугольной совокупности, а полярная ось – с хорошим направлением оси 
. Рис. 8.
|
|
|
|
|
|
Рис. 8.
Из Рис.8 направляться, что:
.
Подставляя 
и 
в алгебраическую форму комплексного числа, возьмём
(9.8).
Выражение (9.8) именуют тригонометрической формой записи комплексного числа 
, где 
.
Пускай даны два комплексных числа 
и 
. Записанные в тригонометрической форме:
.
Тогда 
.
(9.9).
Так, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а доводы складываются; при делении комплексных чисел их модули делятся, а доводы вычитаются.
В случае, если 
— целое положительное число, то из (9.9) направляться:
(9.10).
Корнем -й степени из комплексного числа 
именуется такое комплексное число 
, -я степень которого равна , т.е. 
.
Корень -й степени из обозначается 
.
В случае, если 
, то 
равен:
(9.11).
Подставляя в (9.11) значения 
возьмём ровно разных корней -й степени из .
Пример 12. Дано комплексное число 
.
Записать число в алгебраической и тригонометрической формах. Отыскать все корни уравнения 
.
Ответ. Запишем число в алгебраической форме:
.
Отыщем 
: 
.
Вычислим 
. Тригонометрическая форма записи комплексного числа имеет форму:
.
Вычислим 
:
при 
при 
при 
Не считая алгебраической и тригонометрической форм записи комплексного числа , используется более маленькая, так называемая показательная форма комплексного числа , в соответствии с которой
.
Пускай 
и 
, тогда:
.