Дифференцирование нелинейных операторов. Степенные последовательности
32.1.Производная Фреше нелинейного оператора. Разглядим нелинейный оператор F(x) с областью определения D(F) в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве У. Предположим, что оператор F(x) выяснен в некоей окрестности S точки дго, т. е, S с D(F).
Определение 1. Оператор F(x) называетсядифферент цируемым в точке Хо (в смысле Фреше), в случае, если существует линейный ограниченный оператор А (А^З?(Х, У)) таковой, что для любых хе 3
F (х) — F (х0) = А (х — х0)
причем I’a (х — х0) II = о(\]х — х0\]) при х х0.
Оператор А в формуле (1) именуется производной {Фреше) оператора F в точке х0 и обозначается F (х0) либо
-J^— В случае, если положить h = x — Xo, то (I) возможно записать в
виде
F(xo + h)-F(xo) = F'(xo)h + a(h), (2)
где МА)||=о(||й||) при h 0.
Определение 2. В случае, если оператор F(x) дифференцируем в точке А’о, то выражение
dF{xo, h)^F'{xo)h
именуется дифференциалом (Фреше) оператора F в точке х0 при приращении h.
Так, дифференциал dF(x0\ НУ— это всего-навсего значение линейного оператора F'(xо) на элементе h. Увидим, что из дифференцируемоети оператора в точке направляться его непрерывность в данной точке. Вправду, в случае, если х-*- хй, то из (1) вытекает, что F(x)-*-F(xо)\
Замечание. В случае, если F(x) = Ax, где A^.9?(X,Y), то F(x)] дифференцируем в любой точке хо s X и его производная равна А, т. е. производная линейного оператора равна ему же.
Упражнение 1. Пускай F: X-Y и G: X-+Y дифференцируемы в точке xq. Докажите, что F + G дифференцируем в х0 причем
(F + G)'(Xo) = F'(xo) + G'(xo).
Упражнение 2. Пускай F: X-+Y дифференцируем в точке Xq. Докажите, что направляться, где а — скаляр, дифференцируем в данной точке и
(aF)’ (направляться0) = o.F’ (*0).
Разглядим вопрос о дифференцировании суперпозиции операторов (п. 10.3). Пускай X, Y, Z — банаховы пространства. Пускай, потом, оператор y = F(x) дифференцируем в точке x0(F: X-+Y), а оператор x = G(z) дифференцируем в точке z0 (G: Z-+X), причем G(z0) = X0. Так как отсюда вытекает непрерывность F в точке хо и G в точке Zo, то выяснена и постоянна в точке хо суперпозиция операторов
F[G(z)]^(F*G)(z)
(см. теорему о непрерывности суперпозиции постоянных функций в [18]).
Продемонстрируем, что F *G дифференцируем в точке z0, причем
{F*G)'{zo) = F'{xo)G'{zo). (3)
Вправду, дифференцируемость F в Хо свидетельствует справедливость представления (1), причем можно считать, что ю(0) = = 0, так что (о (/г) постоянна в окрестности нуля. Потом, дифференцируемость G в точке Zo свидетельствует, что
G(z) = G(zo) + B(z-Zo) + b(z-Zo), (4)
где || б (z — Zo) ||= о (II2 — Zoll) при \\z — z0||—0. Подставляя (4) в (1), возьмём
F (G (z)) — F(G (zn)) = АВ (z — z0) + e(z- zQ), (5)
где e (z — z0) = A 6 (z — z0) + со [Й (z — z0) + 6 (z — z0)]. Ho || A6(z-zQ)|| = o(||z-z0||) при ||z-z0||-0,
II 0 IB (z — z0) + 6 (z — Zo)] II = О (II В (z — Zo) + 6 (z — Zo) II) =
= o(||z — Zoll) при ||z — Zol!-0.
Следовательно, ||e(z —z0)||=o(||z —направляться0||) при ||z — zoll—0. Так, представление (5) свидетельствует, что (F * G)'(zo) = = АВ, а это и имеется формула (3).
Приведем сейчас пара примеров.
Пример 1. Производная нелинейного оператора в конечномерном случае. Пускай F: Ек-+Е’, Тогда равенство у = FJix)]
равносильно совокупности равенств
y\ = f\(x\, … xk), yi = h{xlt … хк),
yt — fi (*ь • • • xk),
каковые задают отображение из Е* в Е1. В случае, если F выяснен в окрестности точки хо, то координатные функции f; кроме этого выяснены в окрестности данной точки лг0 = (л^, х°2, :.., х\).
Пускай F дифференцируем в окрестности точки х0; тогда при /= 1,2, I
ft (*? + К 4 + К • • • • 4 + Л») — ft ……….. *») =
= a{lhi + ai2h2 + … + alkhk + щ{hu …, hk), где IleaЦ = о(||/г||) при Л-*0, (й = (соь …, са2); ||(о|| =
= Vl ®i Р + … + l®, I2, a h = (А,…….. hk)-, || h || = Vl Л. p+… ¦+| |2.
dU I
1 на-
В матанализе матрица Л =
* |i-l…….. /;
1 = 1.. к
зывается матрицей Якоби либо матрицей-производной оператора (отображения) F. Оператор А е 3?(Ек- Е1) и есть производной Фреше оператора F в точке хо, т. е. А = F'(x0). Устанавливается (см. [18]), что из дифференцируемости F в точке х0 вытекает существование в данной точке частных производных и равенство
| Ы |
| k. |
| ац — |
| dx, |
/=1, …, /; /’==1, .
Посмотрим еще, как записывается производная суперпозиции отображений. В случае, если x = G(z) — отображение из Ет в Е\ дифференцируемое в точке Zo, то
| л и/=1, «=1 |
| . к т. |
Формула производной суперпозиции (3) получает сейчас вид
| 0t,(* о) |
| I |
| дх, |
(F*G)'(2o) =
Создавая умножение матриц, возьмём
| dh (*о) д8/(го) |
| Е |
| дх. |
| дг. |
(F.O)’ (г„)-
i-l….. I
s=l…. т
Это оператор из 2′(Ет,Е!). Мы взяли в общем виде правило вычисления производных при замене переменных (см. [18]).
Упражнение 3. Вычислите (F * G)’ (z0), в случае, если
F = (sin + х2 -f х3), cos [хх + х2 + х3), ххх2хъ), G = (zi + z2, z, — г2, zyz2), a z0 = (0, я).
Пример 2. Пускай f(x,u)—постоянная функция двух переменных, хе[с,6], —оо ¦ и
F(u) = f(x, и{х)).
Упражнение 4. Продемонстрируйте, что в случае, если и(х)е С [а, Ь\, то и f(x,u(x))s=C[a,b].
Разглядим сейчас вопрос о дифференцируемое™ оператора F(u) в точке uq(x)^ С[а, Ь]. Предположим, что функция f{x,u) имеет при любых (х, и) постоянную личную производную fu(x,u). Для всех h{x)^C[a,b\ имеем следующее равенство:
fix, «о (х) + Л (направляться)) — f (х, и0 (х)) = f и (х, «о (*)) Л (х) + со (х, h), (6)
где
О (х, Л) = J [fu (X, Ио (*) + ел (*)) — fu (х, «о (*))] dо h (х). (7)
о
Разглядим в Ьл замкнутое ограниченное множество ПЛ = {х, и: х е [а, Ь], и0{х) — Ж«(х) 0.
В соответствии с теореме Кантора (см. [18]) функция fu(x,u), будучи постоянна на Т1К, равномерно постоянна на нем. Это указывает, что для любого е 0 найдется б 0 такое, что для всех (У, к’)еП(!, (/,«)ens, удовлетворяющих неравенству л]{х! — xf + {и’ — и)2 б, выполняется неравенство I Их’, u’)-fu(x, и) | е.
Пускай, потом, в формулах (6) и (7) Тогда для всех
0е[О, 1] имеем (х, «о(*)+ 6Л(х))е Пд. Заберём х’= х = = х, и’ = uo(x)-\- 6Л(х), и = и0{х) и возьмём, что для всех х е [а, Ь\, когда ||Л|| б, так
|| ш Ос, A) li max \\fu (х, и0 (х) + Qh (х)) — fu (х, «о W) I dS 1А (х) |
в || А ||.
Это указывает, что оператор F дифференцируем в точке «о в смысле Фреше и что
f'(uo) = fu(x, oW).
Упражнение 5. Отыщите производную Фреше следующих операторов Fв точке и0:
1) F{u)=sin и(х)в С[0,я], и0 =cos*;
2) F(u) = и(х)— exp(хи(х)) в С[0, 1], «о = 0. Будет ли оператор F'{uq) непрерывно обратим? Пример 3. Разглядим в пространстве С[а, Ь]- нелиней*
ный интегральный оператор
F(u) = u(x)-\f(x, 6, u(t))dl,
а
где функция f{x, и) постоянна по совокупности собственных переменных при а ^ х, \ ^ Ь, — оо
Упражнение 6. Продемонстрируйте, что оператор F дифференцируем в любой точке «о s С[а, Ь] и что
F’ («о) Л = Л (х) — J U (х, I, иа ©) h dt
а
Упражнение 7. Отыщите производную Фреше по и в точке «о = 0 интегрального оператора с параметром X:
я
F (и) = и (х) — I ^ cos (л- -f и (I)) d\.
о
Отыщите все решения уравнения
F’ (0) /г = cos .v.
32.2.Формула конечных приращений Лагранжа и условие Липшица. Докажем сперва формулу конечных приращений Лагранжа в интегральной форме. Условимся сказать, что оператор F(x) непрерывно дифференцируем в точке xq, если он дифференцируем в некоей окрестности точки Хо и F'(x) постоянен в xq. В случае, если F(x) непрерывно дифференцируем в каждой точке некоего множества, то будем говорить, что он непрерывно дифференцируем на этом множестве.
Теорема. Пускай оператор F непрерывно дифференцируем в окрестности S точки xq\ тогда в S честна формула Лагранжа
F(x)-F (х0) = \F’ (х0 + 9 (* — *о)) dQ (х — х0). (1)
о
Подтверждение. Разглядим суперпозицию F*G, где w
x = G(e) = jt0 +9 0
Имеем С(0) = х— х0. Следовательно, в соответствии с формуле производной суперпозиции (см. п. 32.1),
F (*0 + 9 (х — хо)) = F’ (х0 + 6(х-х0)) (х — хо).
Интегрируя это тождество по 6 от 0 до 1, приобретаем формулу (1). Теорема доказана.
Перейдем сейчас к дискуссии условия Липшица и связанных с ним некоторых утверждений. Пускай оператор F(x) выяснен на некоем множестве Q банахова пространства X, а аначения его лежат в’банаховом пространстве Y.
Определение. Будем говорить, что F удовлетворяет на S3 условию Липшица {с постоянной Липшица /), в случае, если для любых х\, х2 s Q
\\F(xl)-F(x2)\\^l\\xl-x2\\. (2)
Лемма 1. Пускай F(x) непрерывно дифференцируем на выпуклом множестве Q, причем ||Р(х)|| на Q; тогда F(x) удовлетворяет на Q условию Липшица с постоянной Липшица I.
Подтверждение. По формуле Лагранжа имеем
F (х,) — F (х2) = J F’ (х2 + 0 (х, — х2)) dQ (х, — х2). о
| dQ |
Оценка по норме дает следующее неравенство:
i
J IIF'(х2 + 0(х, — х2)) ||dQ|| х, — х21| /1|х, — х21|. а
Так, лемма доказана.
Лемма 2. Пускай F{x) дифференцируем на выпуклом множестве Q, причем
^'(xO-F’^IK/IUi-x.H на Q
{т.е. F'(x) удовлетворяет на Q условию Липшица с постоянной Липшица /); тогда честна оценка
IIF (х,) — F (х2) — Г (х2) (х, — х2) || \ III Xi — х2 |р. (3)
Подтверждение. Используя сперва формулу Лагран- жа для F, а после этого условие Липшица для производной, приобретаем
| — х2\\ |
»i?(JH)-F(jc2)-F(jc2)(*I-*a)B =
J^’te + efo-xa))-^)}^
S IIF’ (х2 + 8 (*, — х2)) — F’ (х2) II 481| — *2 IK
о
1 ^ 5 /8|| — х2 II48II — х2 II = У 1\\хх — Хп ||2, о
и формула (3), а с ней и лемма доказаны.
Пример. Пускай оператор F: Ek — Е1 дифференцируем в точке Хо (в обозначениях примера 1 п. 32.1). Формула конечных приращений тут принимает вид (i = 1, …. I)
/,(*? + *„ …. x°+hk)-ftW, …. xl) =
k — fo + flhlt….xl + Mk)
dx.
DQh
1-1 о 1
32.3. Степенные операторы, дифференциалы и производные Фреше высших порядков. Пускай X и У — банаховы пространства. Образуем прямую сумму к экземпляров пространства X
Хк = Х + Х+ … -\-Х
и разглядим нелинейный оператор у = Fk{xi, …, хк), определенный везде на Хк: (xj, хк)
Определение 1. Оператор Fk(x…, хк) именуется k-линейным оператором, если он линеен по каждому доводу
х,, i=l,2…. k.
Определение 2. ft-линейный оператор Fk{x\, …, **)] именуется ограниченным, в случае, если существует постоянная m такая, что для всех х, е X
HF*(*i……. **)1Кт||*,|| … ||**||. (1)
Мельчайшая из постоянных m в (1) обозначается Ц/*а|| и именуется нормой й-линейного оператора Fn. Правильнее,
Ц/ч11= snp (2)
Упражнение I. Продемонстрируйте, что каждый ^-линейный ограниченный оператор постоянен в любой точке хк е Xk.
Определение 3. ^-линейный оператор именуется симметричным, в случае, если его значения не изменяются при любой перестановке его доводов.
Определение 4. Пускай Fk(xь …, хк)—линейный оператор. Положим Xi s= х2 = … =Xk = x. Оператор Fk(x, …, х)’ именуется k-степенным (степенью) и обозначается FkXk.
В случае, если Fk(xi………. Xk) — /%-линейный ограниченный оператор,
то, в соответствии с {1), (2) и определением 4,
11^** II
Отметим еще следующую точку на й-линейные операторы. Билинейный оператор F2(xj, дг2) возможно трактовать как произведение элементов х\, х2^Х, значение которого лежит в У. В случае, если F2 симметричен, то порядок сомножителей несуществен (см. кроме этого п. 11.7). Возможно кроме этого разглядывать F2(xи х2) как произведение трех сомножителей: «коэффициента» F2^3?(X2, У) и сомножителей х\ и х2. Подобно, Fk(x 1, Xk) возможно разглядывать как произведение k (либо +1) сомножителей.
Замечание. В любой момент можно считать, что степень FkXk порождена симметричным ^-линейным оператором. Вправду, положим
где суммирование ведется по всевозможным перестановкам
(vi, …, v*). Разумеется, ……. хк) симметричен и Fkxk =
= Ф*(*, …, х).
В будущем, говоря о степени FkXh, мы будем вычислять, что
исходный ^-линейный оператор Fk(xi……………… хк) симметричен.
Тем самым выяснены операторы Ft,xshk~s при 0 ^ s ^ к.
Упражнение 1. Докажите формулу «двучлена Ньютона»
Fk(x + h)k=tckFkxk~shs.
s=О
Упражнение 2. Посредством формулы двучлена Ньютона докажите, что й-степенной ограниченный оператор FkXk дифференцируем (в смысле ФреТне) в любой точке х и
-^Fkxk = kFkx^^3(X, У).
Перейдем сейчас к вопросу о дифференциалах высшего порядка от нелинейного оператора F(x). Пускай G— некая область в банаховом пространстве X. Предположим, что оператор F(x) дифференцируем в G (т. е. во всех точках x^G). Разглядим его дифференциал dF(x,h)= F'{x)h. Он есть скова функцией (оператором) от х, и исходя из этого возможно поставить задачу о нахождении его дифференциала в точке ха s G.
Определение 5. Пускай оператор F'(x)h = dF(x,h) дифференцируем в точке Хо; тогда выражение
d°-F(x-, h) = d[F'{xo)h, g]\g=h (4)
именуется вторым дифференциалом оператора F(x) в точке xq.
В соответствии с определению 5, дабы отыскать второй дифференциал оператора F в точке х0 при приращении h, направляться сперва отыскать дифференциал F'(x)h в точке х0 при приращении g, свободном от h, а после этого положить g = h. В соответствии с этому правилу составим приращение
F’ (хо + g)h- F’ (хо) h = (Bg) h + со (g) h, (5)
где Mg)|| = 0(||g||) при g -» 0.
Так, дело сводится к дифференцированию линейного оператора F'(x) в точке хо. Его производную, если она существует, конечно обозначить через F(x о), причем F’ (х0) ^ 2? (X, 2? (X, У)), т. е. выражение F(x0)hg есть симметричным билинейным (2-линейным) оператором. Фор- мулу (5) возможно сейчас записать так:
F’ (х0 + h) h — Fr (хо) h = F (x0) hg + ffl (g) h.
В соответствии с определению 5 имеем
d2F(xо, h) = F (x0) h2.
Совсем подобно, в случае, если второй дифференциал существует в точках области G, то возможно поставить вопрос о дифференцировании его по х и т. д.
Пускай dnF(x,h)= Я'(х)Л уже выяснен. Тогда, если он есть дифференцируемым в точке хо eG оператором, полагаем
dn+lF(xо, h) = d[F(n) (хо)h\ g]|,_ftt
откуда вытекает, что
dn+lF(xо, h) = F(n+i)(xо) hn+i.
Так, п-й дифференциал Fw (хо) hn есть п-степенным оператором.
Приведем пара примеров, в которых выкладки мы предлагаем сделать читателю.
Пример 1. В пространстве ст m-мерных столбцов
‘.-MXi-
разглядим оператор у = F (xu х2), определяемый формулами
т
Тут at] — комплект тг вещественных чисел.
Упражнение 3. Продемонстрируйте, что F(xi,x2y есть билинейным (т. е. 2-линейным) ограниченным оператором. Отыщите оценку его нормы. Как выглядит соответствующий квадратичный оператор (2-степенной оператор)? В то время, когда F(xi,x2) симметричен?
Пример 2. В пространстве С[0,1] разглядим нелинейный интегральный оператор
(/V)(‘) = *(/)$*(/, s)x(s)ds о
с постоянным в квадрате 0 ^ s ^ 1 ядром K(t, s).
Соответствующий билинейный симметричный оператор имеет форму
1 1
(F2XIX2) (t) = jXl(l)\K (t, s) x2 (s) ds + Y x2 (/) \ К it, s) (s) ds.
о 0
Упражнение 4. Продемонстрируйте, что
d [F2x2, A] = 2F2xh, d2 [F2x2, h] = 2F2h2, dk[F2x2, A] = 0 при ft3. Пример 3. Разглядим нелинейный оператор /4*) = -^-+Sin* (О,
действующий из С2[0, 1] в С[О, 1].
Упражнение 5. Продемонстрируйте, что в случае, если x0(t)=t, то
d[F(*6), h] — 4- (cos () h ((),
d2[F(x0), A] = — (sin t) A2 (/), d3[F(xo), A] = —(cos/)A3(/).
Отыщите неспециализированный вид dk[F{xо), А].
32.4. Степенные последовательности, последовательности Тейлора, аналитические операторы. Пускай задана последовательность степенных операторов Fkxk, ft = 1,2, …, действующих из банахова пространства X в банахово пространство У, и пускай задан элемент F0 е У. Образуем формальный степенной последовательность
Е Fkxk (FQx° = F0). (1)
а-0
Обозначим через Q с: X область сходимости последовательности (1). В любой момент ОеЙ, Фиксируем хо
ft = U
Обозначим через р'(*о) радиус сходимости последовательности (2). Для одних хо может оказаться, что р(лго) = 0, для других р(л:0)0 либо кроме того р(*о)= + °°- Так, область сходимости ?2 последовательности (1) воображает собою так именуемую С-звезду около точки О, т. е. такое множество в X, что в случае, если лей, то и VteQ при sgl. В приложениях особенно ответствен случай, в то время, когда Q содержит некий шар So (0). Числовой последовательность
Z mi н* н* (з)
fe=0
есть мажорантным (оценивающим) для последовательности (1). Его радиус сходимости р« именуется радиусом равномерной сходимости последовательности (1). По формуле Коши — Адамара (см. п. 13.3)
Lim VPIf
л-°о
В случае, если ри 0, то в любом шаре Sp(0), р е(0, р«), степенной последовательность (1) сходится полностью и равномерно. В случае, если же р р«, то найдутся точки х с 11*11= р, в которых последовательность (1) не сходится равномерно. Так, при ри 0 и лишь в этом случае ?2 содержит шар (радиуса р Ос любым р
Упражнение 1. Пускай X = Е2, Y = ЕК Разглядим сте-
оо
пенной последовательность X (*1*г)[5]. Отыщите Q и ри.
к=0
Обозначим через F{x) сумму последовательности (1), и пускай
F(x) = tFkxk. (4)
6=0
В этом случае оператор F(x) будем именовать аналитическим в точке л: = 0. Как и при абстрактных функций, возможно продемонстрировать, что в шаре Spu(0) оператор F(x) постоянен а также вечно дифференцируем.
Для вечно дифференцируемых операторов F{x) имеет суть разглядывать степенные последовательности особого вида — последовательности Тейлора: направляться сходу из подобной теоремы для абстрактных функций, в случае, если степенной последовательность разглядеть на одномерных подпространствах. Так, каждый степенной последовательность аналитического оператора машинально оказывается его рядом Тейлора.
Упражнение 2. Пускай ядро K(t,s) непрерывно при ^ t, s^b. Разглядим действующий в С[а, Ь] нелинейный иператор
ъ
{F (ж)} (/) =*
а
Докажите, что F(x)~ разлагается в сходящийся везде последовательность Тейлора
ь ъ
s)ds + x(t) + J K(t, s)x(s)ds +
a a
00 b + ? 5F W- s)*k(s)ds-
k=2 a
32.5. Дифференцирование нелинейных операторов, зависящих от двух переменных. Пускай X, Л и Y— банаховы пространства. Разглядим оператор F(x, зависящий от переменных х е X, % е Л, со значениями в пространстве Y. Воспользуемся следующим приемом. Введем U = X-j-Л — прямую сумму банаховых пространств X и Л (см. п. 14.1). Норму элемента и =(х, Х)^ U определим так:
|| н |i = У|| л: ||2-HI Л ||2,
где ||*||—норма в X, а ||Х||—норма в Л. Оператор F(u)\ определенный, скажем, на множестве Q, a U, есть сейчас оператором, зависящим от одной переменной. Это простое мысль разрешает перенести на операторы, зависящие от двух (и более) переменных, фактически все понятия и результаты пп. 32.1—32.4. Начнем с определения непрерывности.
Пускай оператор F(x,X) выяснен на множестве Q с X -j- Л и (^о, А0)ей. Оператор F(x,X) именуется постоянным в точке (хоДо), в случае, если F(x,X)-+F(x0Д0) в У при (х, й, (х, Х)-(х0, Ко) в X -i- А.
Перейдем к определению дифференцируемости. Пускай сейчас Ф содержит некий шар S с центром в (хо, ^о). Оператор F(x,X) именуется дифференцируемым в точке (хо, Л)’, (в смысле Фреше), в случае, если для любых (h, g) таких, что (x-f h, %v + g)e=S, v
F{x0 + h, h + g) = F(x0, %0)+Ah + Bg + (h, g), (1)
где A ^L(X,Y), В et(A, Y), a o(A, g) = o(Vl[A|l2 + Цг||») при (h, g)-+ 0.
Определение это есть, само собой разумеется, лишь перефразировкой определения п. 32.1. Достаточно подметить, что выражение ЛА -f Bg, где А
л___ 3F (jcq, Ар) R_____ dF (х0, Х0)
Л— дх ‘ дХ
Упражнение 1. Продемонстрируйте, что в случае, если оператор F(r,X)] дифференцируем в точке (х0, Я0), то /
F (*о + h, Х0) = F (хо, Хо) + af(***o) h + щ (h), F (хо, Х0 + g) = F (хо, Ко) + dF(HU) ё + со2 (g),
где 0, cMg) = 0(llgfl) при g-*-0.
Выражение
d {F (хо, ХоУ, (h, g)} = дР % U) A + ЁП^М. g
именуется дифференциалом оператора F в точке (хо, Яо) при приращении (A, g).
На случай двух переменных легко переносится правило дифференцирования суперпозиции. Предлагаем в качестве упражнения проверить частный случай этого правила.
Упражнение 2. Пускай оператор F(x,X) дифференцируем в точке (х0, Я0), а оператор x = f(X) дифференцируем в точке Яо, причем /(Яq) = xq. Продемонстрируйте, что оператор Ф = F(f(X),X) дифференцируем в точке Яо и
Ф’ (Яо) = Г (хо) + дР(хд1кй) . (2)
Приведем сейчас примеры операторов, зависящих от двух переменных.
Пример 1. Пускай X = Е, Y = Е’, Л = Ет. Равенство y = F(x,X) возможно записать в координатной форме так:
У\ = !\{х\, …, Xft-, Яь …, Хт),
4/2 = /2(хи …, xk\ Я1( …, Хт),
yi — fi(xi, — xk; Яь …, Хт).
Эти равенства задают отображение из Ek+m = Ek + Ет в Е1. В случае, если это отображение дифференцируемо в точке
(*0 ^о) ~ (*?• • ¦ ‘» Хк • • •’ то для каждой координатной функции
fi (хь …, Xftj Я[, …, Хт), с = 1, ..I,
в окрестности точки (.Ко, ^о) справедливо следующее представление:
f,(*? + *». …. xl + hk; + ………… + gm)~
-Ш……………… Х° ¦¦¦• =
к т
= Z airhr + ? blsgs + щ(/г{, …, hk\ gh • • • gm).
Г=1 S=1
где (о| = 0(VA?+ ••• + … + ) при (/г, g)-0. Так, коэффициенты
. df,(zj…………… 4, Я?………….. С)
являются частными производными, а операторы Л = ||а,г г
л=1 .’.,’ fc
и jB = ||6is||[=1 _ t представляют собой матрицы Якоби. Ра-
s=l! ‘.’¦ ‘.’, к
венство (1) есть матричной записью свойства дифференци- руемости оператора F.
Упражнение 3. Запишите в условиях примера 1 правило дифференцирования суперпозиции (2).
Пример 2. Пускай f(x,u,X)—постоянная функция трех переменных: х е [а, Ь], — оо и + °° и X ¦ С[а, Ь] формулой
F(u, X) = f(x, и(х), X).
В случае, если высказать предположение, что f(x,u,X) при любых и и X имеет постоянные по (х, и, X) частные производные по и, и по X, то, как в п. 32.1, возможно установить дифференцируемость оператора F. Наряду с этим
dF __ df (х, и (х), X) dF __ df (х, и (s), X) ди ди дк ~~ дХ
Пример 3. Разглядим следующий нелинейный интегральный оператор:
F (х, X)=\K(t, s)f[x{s), X(s)]ds.
а
Тут K(t,s) постоянна в квадрате а ^ s ^ 6, a f(x,K) непрерывно дифференцируема как функция х, X при — оо х, X + оо.
Нетрудно убедиться в том, что оператор F(x,X) действует из С[а, Ь] С[а, Ь\ в С[а, 6], а его частные производные опре-
384 деляются следующими формулами:
а
Перейдем сейчас к вопросам определения производных высших порядков оператора F(x,X). Пускай F(x,X) дифференцируем в области Q а X 4- А. Тогда дифференциал
d{F(x, ХУ, (h, +
опять может оказаться дифференцируемым по (х, X) оператором, к примеру, в точке (*о, Я0). Следуя определению 5 п. 32.3, мы можем тогда выяснить второй дифференциал d2{F{x0, Хо); (ft, g)}, являющийся квадратичным оператором приращения (hg), и, следовательно,
d2 {F (ха, Х0); (Л, g)} = + 2Fuhg + F02g2.
Операторные коэффициенты в правой части этого равенства являются частными производными:
„ d2F Uo,К) р _ d2F (ха, Я.р)d2F (ха, Яр) р d2F(x0. Я0) ^20— дхг . ^11— ajcaA, — дХдх . ^02— ая,2
(равенство смешанных производных направляться из симметричности второго дифференциала). Увидим, что
Fw: X-t-X-+Y, Fn: X-bA-Y, F02: Л + Л-У.
Подобно определяются дифференциалы и производные высших порядков. Наряду с этим
dk{F(x,V-, (h,g)}= ? clffih’g1,(3)i+l~k x
dkp j*’ ^ : X+ … +X + A± … 4-A-+Y
дх’дк1 •——— p.——- ——— r————
l раз I раз
(Cfc — биномиальные коэффициенты).
Разглядим сейчас двойные степенные последовательности
? Fklhkgl, h^X, geЛ, (4)
k+l О
где Fki — {k + I)’-линейный оператор, ft-линейный по Л и /-линейный по g. Вместе с рядом (4) разглядим следующий числовой последовательность:
I II IIII h f || g ||’. (5)
ft+i о
13 В. А. Треногин 335
Пускай существуют числа ри 0 и ги~ 0 такие, что при IIА|| ри и ||g|| га последовательность (5) сходится. В этом случае ри, ги именуются совместными радиусами сходимости числового последовательности (5), и и совместными радиусами равномерной сходимости абстрактного последовательности (4), так как в области ||А|| pu, ||g|| ги последовательность (4) сходится полностью и равномерно.
Упражнение 4. Продемонстрируйте, что числа г, 1 — г для любого ге(0, 1) являются совместными радиусами сходимости
оо п
числового последовательности X ? chxkyn~k.
/1 = 0 А = 0
Так, ри и ги определяются неоднозначно (к примеру, при уменьшении р„ может возрастать ги). Возможно продемонстрировать, что в области ||ft||
Приведем еще следующее определение. Оператор F(x,X) именуется аналитическим в точке (*о, Яо), в случае, если возможно указать окрестность данной точки, в которой F(x, X) представим равномерно и полностью сходящимся рядом Тейлора
оо
F (х, \) = F (х0, Я0) + ? ^ dk {F (х0, Я0) (х -х0,1- Я0)}.
а-1
Учитывая выражения (3) для дифференциалов и формулу биномиального коэффициента, последовательность Тейлора оператора F(x, Я) возможно записать кроме этого в следующем виде:
F (х, Л) = ? Рц (* — *)’ (Я — Я0У, (6)
о
где
f _ 1 d,+lF (*0, *.,) 11 tip дх’дк1
Из этого видно, что последовательность Тейлора воображают собою двойной степенной последовательность вида (4), где h = х — Хв, g = % — Яо.
Подводя итог остановимся на нескольких примерах (см. примеры 1—3 этого пункта).
Пример 4. Пускай в примере 1 k = I = m = 1 и координатная функция f(x,X) аналитична в точке (jto, Яо). Тогда
оо
/ (х, Я) = / (*о, ^о) + 2 If tfo (*о, (* -xq, х- Яо)},
а-1
где
к
^t _ V П1 dkf(x0, Я0) а,, , чА-г
d to = L Ck -^^T О — *o) О — Ao)
1=0
Пример 5. Пускай в примере 2 функция f\x, и, X) k раз непрерывно дифференцируема по переменным (и, Я) е (— оо, 4- • Тогда k-й дифференциал оператора F в точке (ио(х),Хо)^ е С[а, ft] 4- Е1 при приращении (h(x), С[а, ft] 4- Е1 равен
akF = Tcl hl(х)gk~
1=0
Пример 6. Пускай в примере 3 функция }{х,Х)’ два раза непрерывно дифференцируема при (хД)е(—оо, и пускай
хо(/)еС[а, ft], Второй дифференциал опера
тора F в точке (x0(s), Xo(s)) при приращении (h(s),g(s)) имеет следующий вид (удостоверьтесь в надежности!):
d2F = ( К (t, s) { d2f(Xofx’2 K{s)) h*(s) +
+ 2 (X0(s,X . (,)) д (s) g (s) + (*. (g. (,)) g2 (s) I ^
32.6.производная и Первая вариация Гато нелинейного оператора. В приложениях время от времени оказываются нужными другие определения дифференцируемости нелинейного оператора.
Разглядим нелинейный оператор F(x), определенный в окрестности S точки Хо банахова пространства X, со значениями в банаховом пространстве Y.
Определение 1. В случае, если для всех ZieJf существует предел
lim + =ЬР{хо] h)t (1)
о г
то данный предел именуется первой вариацией оператора F в точке х0.
Очевидно, в формуле (1) при каждом ЛеХ выражение F(xo + th) выяснено при малых |/|: при Хо + 4- th е S.
Увидим, что при фиксированном Хо первая вариация бF(x0\h) есть, по большому счету говоря, нелинейным оператором, отображающим пространство X (Л — переменная) в пространство Y.
Определение 2. Пускай оператор F имеет в точке Хо первую вариацию следующего вида: 8F(xo\ h) = Ah, где А — ли^ нейный ограниченный оператор (AeS’fX, У)). Тогда говорят, что оператор F дифференцируем в точке Хо в смысле Гато. Наряду с этим оператор А именуется производной Гато оператора F в точке х0 и обозначается A = F'(x0). Сама первая вариация
6F(x0; h) = F'(xo)h (2)
именуется дифференциалом Гато оператора F в точке хо по направлению А.
Упражнение 1. Вычислите производную Гато функционала ф(x)=(x,f}, где / е X, X — банахово пространство.
Упражнение 2. Пускай ф(х) — функционал, определенный в окрестности точки х0 банахова пространства X и дифференцируемый в точке х0 в смысле Гато. Продемонстрируйте, что if’^jef, причем (p'(x0)h = .
Увидим, что из дифференцируемости F в точке в смысле Фреше направляться его дифференцируемость в xq в смысле Гато Вправду, дифференцируемость F в точке Хо в смысле Фреше свидетельствует, что для всех малых Л
F(x0 + h)-F (xQ) = F’ (*„) h + со (h),
где ||
F (х0 + th)-F (jc0) = F’ (xQ) th + со (/А),
где ||¦ 0, приобретаем
lim P^ + m-F(Xr) = F, ы f-»o ‘
В соответствии с (1), (2) это указывает дифференцируемость F в Хо в смысле Гато, и совпадение производной Гато F в точке х0 с F(последующий пример говорит о том, что из дифференцируемости оператора по Гато не вытекает его дифференцируемость п Фреше.
Пример 1. Разглядим функцию /: Е2-+Е1 переменных (х,у), определенную формулой
f (х, у) = 1, в случае, если у = х2, х Ф 0;
/ (х, у) = 0 в остальных точках Е2.
Эта функция разрывна в точке (0,0), а потому не дифферента р^ема в данной точке в смысле Фреше. Одновременно с этим
f (th, ig) — / (Q, Q) _ n t u’
потому что f(0, 0) = 0 и f(th,tg) = 0 при любом (Л, g) и достаточно малом t (нарисуйте график /). Следовательно, функция f дифференцируема в точке (0, 0) в смысле Гато и ее дифференциал Гато в данной точке равен нулю.
Следующий пример говорит о том, что требование существования первой вариации не сильный требования дифференцируемости по Гато.
Пример 2. Разглядим функцию
fix, у)=Х*хГ+Ху? при х* + у2О,
/(0, 0) = 0.
Упражнение 3. Продемонстрируйте, что
б/((0, 0); (Л, g)) = f(h, g),
т. е. f имеет в точке (0,0) нелинейную первую вариацию и, значит, не дифференцируема в данной точке в смысле Гато.
Задачи.
1. Отыщите производную Фреше функционала (UII в вещественном гильбертовом пространстве.
2. Пускай {fn(x))— последовательность функций, дифференцируемых на (—оо, +оо). Пускай, потом, функции f*(x)и их первые производные равномерно ограничены и равностепенно постоянны на каждом отрезке [а, Ь] Докажите, что оператор
действует в пространстве ограниченных последовательностей и дифференцируем в смысле Фреше. Отыщите F'(u).