Понятие множества. Операции над множествами. Примеры.
Под множеством понимается каждая совокупность некоторых объектов. Эти объекты именуются элементами множества. Множества обозначают громадными буквами, а элементы — мелкими.
То что элемент a в собственности множеству A (другими словами есть элементом множества A) записывают так a?A, в противном случае что элемент b не в собственности множеству A (не есть его элементом) записывают так b?A.
Множество, не содержащее ни одного элемента именуется безлюдным и обозначается знаком ?.
Запись A?B (A содержится в B) свидетельствует, что любой элемент множества A есть элементом множества B; в этом случае множество A именуется подмножеством множества B. Множества A и B именуют равными (A=B), в случае, если A?B и B?A.
Существует два главных метода задания (описания) множеств.
а) Множество A определяется ярким перечислением всех собственных элементов a1,a2,…,an, другими словами записывается в виде
A={a1,a2,…,an}.
К примеру множество несложных чисел от 10 до 20 возможно записать так: {11,13,17,19}.
б) Множество A определяется как совокупность тех и лишь тех элементов из некоего главного множества T, каковые владеют неспециализированным свойством ?. В этом случае употребляется обозначение
A={x?T|?(x)},
где запись ?(x) свидетельствует, что элемент x владеет свойством ?.
К примеру [0,1)={x?R|0?x
Операции объеденения и пересечения владеют следующими особенностями:
1) коммутативности
A?B=B?A;A?B=B?A;
2) ассоциативности
A?(B?C)=(A?B)?C;(A?B)?C=A?(B?C);
3) дистрибутивности
(A?B)?C=(A?C)?(B?C);(A?B)?C=(A?C)?(B?C);
4) идемпотентности
A?A=A;A?A=A.
Множество, стостоящее из всех элементов множества A, не принаждлежащих множеству B,именуется разностью множеств A и B:
A?B={x|(x?A)?(x?B)}.
В случае, если A?B , то B?A именуют дополнением множества A до множства B:A?B.
В случае, если, например, A? подмножество некоего универсального множества U, то разность U?A обозначается знаком A¯¯¯¯ либо A? и именуется дополнением множества A (до множества U).
Из определения дополнения множества следуют равенства
A?A?=U;A?A?=?,(A?)?=A.
Симметрической разностью множеств A и B именуют множество A?B, складывающееся из тех и лишь тех элементов, каковые принадлежат лишь одному из множеств A либо B, другими словами
A?B=(A?B)?(B?A).
Для любых подмножеств A и B множества U честны следующие равенства, каковые именуют законами двойственности либо законами де Моргана:
(A?B)?=A??B?;(A?B)?=A??B?.
Примеры:
Доказать справдливость равенств
1) (A?B)?=A??B?
Подтверждение.
x?(A?B)??x?(A?B)?x?A?x?B? x?A??x?B??
x?(A??B?)?(A?B)?=A??B?.
1.29. A={x?R|x3?3×2+2x=0}.
Ответ.
Отыщем множество настоящих ответов уравнения x3?3×2+2x=0:
x3?3×2+2x=x(x2?3x+2)=0?
?x1=0.
Решим квадратное уравнение x2?3x+2=0.
D=32?4?2=1.
Все корни уравнения настоящие, исходя из этого запишем ответ:
Ответ: {0,1,2}.
ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ Возможностей, ВИДЫ СОБЫТИЙ.
Замечаемые нами события (явления) возможно подразделить на следующие три вида: точные, неосуществимые и случайные.
Точным именуют событие, которое непременно случится, в случае, если будет осуществлена определенная совокупность событий S.
Неосуществимыми именуют событие, которое заведомо не случится, в случае, если будет осуществлена определенная совокупность событий S.
Случайным именуют событие, которое при осуществлении совокупности событий S или случится, или не случится.
Предметом теории возможности есть изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.
Построение логически полноценной теории возможностей основана на аксиоматическом определении случайного его вероятности и события. В совокупности теорем, предложенной Колмогоровым, неопределяемыми понятиями являются вероятность и элементарные события. Теоремы, определяющие возможность:
1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное настоящее число P(A). Это число именуется возможностью события А.
2. Возможность точного события равна единице:
3. Возможность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме возможностей этих событий.
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. Вероятность и ЧАСТОТА СОБЫТИЯ.
Случайным событием (либо легко событием) именуется всякое явление, которое может случиться либо не случиться при осуществлении определенной совокупности условий. Теория возможностей имеет дело с этими событиями, каковые имеют массовый темперамент. Это значит, что эта совокупность условий возможно воспроизведена неограниченное число раз. Каждое такое осуществление данной совокупности условий именуют опробованием
Опыт говорит о том, что при многократном повторении опробований частота Р*(А) случайного события владеет устойчивостью. Поясним это на примере.
Пускай при бросании монеты 4040 раз герб выпал 2048 раз. Частота появления герба в данной серии опытов равна Р*(А)=m/n=2048/4040=0,5069. При бросании той же монеты 12000 раз герб выпал 6019 раз. Следовательно, в этом случае частота Р*(А)=6019/12000=0,5016. Наконец, при 24000 бросаний герб показался 12012 раз с частотой Р*(А)=0,5005. Так, мы видим, что при солидном числе бросаний монеты частота появления герба владеет устойчивостью, т. е. слабо отличается от числа 0,5. Как показывает практика, это отклонение частоты от числа 0,5 значительно уменьшается с повышением числа опробований. Замечаемое в этом примере свойство устойчивости частоты есть неспециализированным свойством массовых случайных событий, то есть, постоянно существует такое число, к которому приближается частота появления данного события, слабо отличается от него при солидном числе опробований. Это число именуется возможностью события. Оно высказывает объективную возможность появления события. Чем больше возможность события, тем более вероятным оказывается его появление. Возможность события A будем обозначать через Р(А). В рассмотренном выше примере возможность появления герба, разумеется, равна 0,5.