Первой известной нам позиционной совокупностью счисления была шестидесятеричная совокупность вавилонян, появившаяся приблизительно за 2500— 2000 лет до н. э. Основанием ее служило число 60. Следовательно, в ней должно было быть 60 цифр. А таблица умножения должна была складываться из
Как же вавилоняне записывали собственные цифры и как они запоминали такую ужасную таблицу умножения?
Вавилоняне поступали так: они записывали все числа от 1 до 59 по десятичной совокупности, используя принцип сложения. Наряду с этим они пользовались в любой момент двумя символами: прямым клином для обозначения 1 и лежачим клином — для 10. Число 32, к примеру, писали так: .
Эти символы и являлись цифрами в их совокупности. Число 60 опять обозначалось тем же знаком, что и 1, т. е. . Так же обозначалось 3600, 603 и все другие степени 60. К примеру, число 92
записывали так: .
Так, «цифры», т. е. все числа от 1 до 59, вавилоняне записывали по десятичной непозиционной совокупности, а число в целом — по позиционной совокупности с основанием 60. Поэтому-то мы и именуем их совокупность шестидесятеричной (а не шести десятичной, как необходимо было именовать, если бы мы учитывали лишь одно основание 60).
Но нумерация вавилонян имела и еще одну ответственную изюминку: в ней не было символа для нуля. И в случае, если был изображен прямой клин , то без дополнительных пояснений не было возможности выяснить, какое число записано: 1, 60, 0600 либо какая-нибудь вторая степень 60. Запись числа 92, вышеприведенная, имела возможность обозначать не только 92=60+32, но и 3600+32=3632.
Она имела возможность кроме этого означать 
либо 
и т. д.
Так, запись в вавилонской нумерации не носила безотносительного характера -для определения полного значения числа необходимы были еще дополнительные сведения. Потом вавилоняне ввели особый знак для обозначения пропущенного шестидесятичного разряда. К примеру, число 3632 необходимо было бы записать так:
Но в конце числа данный знак ни при каких обстоятельствах не ставился.
Таблицу умножения вавилоняне ни при каких обстоятельствах не запоминали -это было практически нереально. Они пользовались при собственных вычислениях готовыми таблицами умножения, так же как мы сейчас пользуемся, к примеру, таблицами логарифмов. При раскопках было обнаружено множество таких таблиц.
Шести десятеричная совокупность вивилонян сыграла громадную роль в развитии астрономии и математики. Следы ее сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 мин., а 60 секунд на 60 секунд. Совершенно верно так же, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим на 360 частей (градусов).
В начале отечественной эры индейцы племени майя, каковые жили на н-ве Юкатан в Центральной Америке, пользовались второй позиционной совокупностью — с основанием 20. Собственные цифры индейцы майя, как и вавилоняне, записывали, пользуясь принципом сложения. Единицу они обозначали точкой, а пять — горизонтальной чертой (см. рисунок) но в данной совокупности уже был символ для нуля. Он напоминал по собственной форме полузакрытый глаз. И, к примеру, число 20 индейцы майя записывали при помощи символа для единицы и внизу символа для нуля (числа писали не в строке, а столбцами).
Десятичная позиционная совокупность в первый раз сложилась в Индии не позднее VIII в. н. э. Тут же в первый раз был введен нуль.
Итак, позиционные совокупности счисления появились независимо одна от второй в Старом Двуречье, у племени майя и, наконец, в Индии. Все это показывает, что происхождение позиционного принципа не было случайностью. Каковы же были предпосылки для его создания? Что привело людей к этому превосходному открытию?
Дабы ответить на эти вопросы, мы опять обратимся к истории. В Старом Китае, Индии и в некоторых вторых государствах существовали совокупности записи, выстроенные на мультипликативном принципе. Пускай, к примеру, десятки обозначаются знаком X, а много — С. Тогда запись числа 323 схематично будет смотреться так:
направляться С 2 X 3.
В таких совокупностях для записи однообразного числа единиц, десятков, сотен либо тысяч используются одинаковые знаки, но по окончании каждого знака пишется наименование соответствующего разряда. На подобном принципе основаны отечественные счеты: одно да и то же количество косточек свидетельствует число десятков, сотен, тысяч и т. д., в зависимости от того, в каком последовательности расположены эти косточки.
Но конкретно таковой метод счета использовался при счете «числами-совокупностями». Так, йорубы, считая раковины — каури (игравшиеся у них роль денег), раскладывали их в кучки по 20 раковин в каждой, после этого 20 таких кучек они объединяли в одну громадную кучу, и т. д. При таком методе счета подчеркивается то событие, что с кучами возможно поступать равно как и с отдельными раковинами. Н. Н. Миклухо-Маклай говорил о методе счета у папуасов, что уже весьма близок к построению чисел по принципу умножения. Дабы сосчитать число дней до возвращения корвета «Витязь», папуасы поступали следующим образом:
«…первый, раскладывая кусочки бумаги на колене, при каждом обрезке повторял «каре-каре» (один), второй повторял слово «каре» и загибал наряду с этим палец прежде на одной, после этого на другой руке. Насчитав до десяти и согнув пальцы обеих рук, он опустил оба кулака на колени, повторив «две руки», причем третий папуас загнул один палец руки. Со вторым десятком было сделано то же, причем третий папуас загнул второй палец; то же самое было сделано для третьего десятка».
Говорят, что так же вычисляли стада в Южной Африке: один из негров вычислял каждую голову, второй — число десятков, сосчитанных первым, а третий — число десятков, сосчитанных вторым, т. е. число сотен. Если бы мы сейчас обозначили палец первого через I, палец второго при помощи X и палец третьего — С, то итог по мультипликативной совокупности записали бы, к примеру, так: ЗС5ХЗІ. В Китае и Индии с старейших времен существовал конкретно таковой метод записи чисел. Помимо этого, индийцы с покон веков проявляли глубочайший интерес к способам и большим числам их записи. В одной из индийских книг — «Лалитавистара» — говорится о состязании между женихами красивой Гоны. Предметом состязания были письменность, математика, искусство и борьба стрельбы из лука. Практически добрая половина книги посвящена описанию состязаний по математике. Победитель Гаутама придумал шкалу чисел, идущих в геометрической прогрессии со знаменателем 100, последним участником которой было 107+9·46.
Следующей ступенью к позиционному принципу было опускание названий разрядов при письме (подобно тому, как мы говорим «три двадцать», а не «три рубля двадцать копеек»). Но при записи солидных чисел по совокупности с основанием 10 часто бывал нужен знак для обозначения нуля. Введение для того чтобы знака увенчало создание современной нумерации. Из Индии она распространилась в мире. Наряду с этим одни народы переняли у индийцев лишь принцип обозначения чисел, покинув ветхие начертания цифр (так было, к примеру, в Китае), другие заимствовали и написание цифр. Мы приводим таблицу, на которой видно, как понемногу видоизменялись цифры «губар», употреблявшиеся в мавританских странах, пока они не приняли современной формы. Откуда случились сами цифры «губар», до сих пор остается неясным.
Новая нумерация в государствах Европы была принята далеко не сходу. Впредь до XVIII в. в официальных бумагах разрешалось использовать лишь римские цифры. Но преимущества позиционного принципа счисления были так громадны, что еще в XIII в. он начал применяться итальянскими торговцами. Леонардо Пизанский — превосходный ученый XIII в.— тогда же выступил твёрдым приверженцем новой совокупности. В Германии, Англии и Франции до конца XV в. новая нумерация практически не употреблялась. Но к концу XVI—началу XVII в. позиционная совокупность одержала решительную победу — ее приняли не только торговцы, но и все ученые. Ее стали применять везде.
В РФ, как мы уже знаем, в старину употреблялась алфавитная совокупность, которая имеет множество плюсов если сравнивать с римской. Но и тут новая нумерация скоро вошла в потребление: во всех подряд математических исходниках XVII к. использовалась десятичная позиционная совокупность счисления.
При Петре 1 индийские цифры уже вытесняют на монетах славянские, а и послепетровские времена славянские цифры по большому счету скоро исчезают из обихода.
Приведем подводя итог слова известного французского математика и физика XVIII — XIX вв. Лапласа: «Идея высказывать все числа девятью символами, придавая им, не считая значения по форме, еще значение по месту, так несложна, что именно из-за данной простоты тяжело осознать, как она необычна. Как непросто было прийти к этому способу, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта идея осталась скрытой».