Для построения прямоугольной площадки следовало бы взять угольник и циркуль таких размеров
Футбольное поле — это прямоугольная площадка длиной 90 м и шириной 60 .и. Как разметить такую площадку? Прямоугольник на листе бумаги строят при помощи линейки и циркуля или линейки и угольника. Эти приборы слишком малы для работы на местности. Они не обеспечат нужной точности в построении прямых углов такой площадки, как футбольное поле. Если же сделать линейку, циркуль и угольник достаточно больших размеров, то ими будет невозможно пользоваться.
С давних времен известен очень простой способ построения на местности прямых углов. Выполним такое построение. Возьмем шнур и три колышка. На шнуре отметим 12 равных долей. Затем узлами выделим три части шнура МВ, ВС и CN так, чтобы первая часть состояла из пяти, вторая из четырех и последняя из трех таких долей. Узлы М и N свяжем вместе и обозначим вновь полученный узел через А.
С помощью колышков натянем часть шнура ВС вдоль данной прямой так, чтобы точка С совпала сточкой, через которую должен быть проведен перпендикуляр к данной прямой. Потом оттянем шнур за узел А так, чтобы участки А В и АС стали прямолинейными, и вобьем в точке, где будет находиться узел А, колышек. Задача построения на местности прямого угла решена, так как угол АС В прямой.
Построение прямого угла на местности
Чтобы убедиться в этом, докажем, что прямоугольным будет всякий треугольник, стороны которого, измеренные какой-нибудь линейной единицей измерения, выражаются числами 3, 4 и 5. Для доказательства возьмем прямоугольный треугольник с катетами, равными двум меньшим сторонам данного треугольника, и найдем его гипотенузу х. По теореме Пифагора х2 = 32 + 42. Поэтому x=5. Таким образом, три стороны данного треугольника соответственно равны трем сторонам прямоугольного треугольника. А отсюда следует, что и данный треугольник — прямоугольный.
Доказанное свойство треугольника со сторонами 3, 4 и 5 было, по-видимому, известно еще древнеегипетским землемерам. Поэтому такой треугольники называют египетским. Всякий целочисленный треугольник, подобный египетскому, также является прямоугольным. Существуют ли другие целочисленные прямоугольные треугольники? Если катеты и гипотенузу какого-нибудь целочисленного прямоугольного треугольника обозначить буквами х, у и z, то по теореме Пифагора получим:
Оказывается, что верно и обратное, т. е. если х, у и z — натуральные числа, удовлетворяющие уравнению (I), то треугольник со сторонами х, у и z — прямоугольный. Целочисленный прямоугольный треугольник для краткости иногда называют пифагоровым.
Наше рассуждение показывает, что задача отыскания всех пифагоровых треугольников сводится к решению уравнения (1) в натуральных числах. Но решением этого уравнения мы займемся немного позднее, а сейчас рассмотрим несколько других задач.