Древний Египет.Расшифровка совокупности счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н.э.), была значительно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были бережно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам как мы знаем, что древние египтяне применяли лишь десятичную совокупность счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, необходимо было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. (См. сводную таблицу обозначений чисел.) Дабы записанные так числа было легко выяснять, вертикальные штрихи время от времени объединялись в группы из трех либо четырех линия. Для обозначения числа 10, основания совокупности, египтяне вместо десяти вертикальных линия ввели новый коллективный знак, напоминающий по своим очертаниям подкову либо крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных знаков, т.е. число 100, они заменили вторым новым знаком, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне имели возможность воображать числа до миллиона. Так, к примеру, посредством коллективных повторений и символов уже введенных знаков число 6789 в иероглифических обозначениях возможно было бы записать как
Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но самые важные свидетельства египетской математической деятельности запечатлены на значительно более хрупком и недолговечном материале – папирусе. Два таких документа – папирус Ринда, либо египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) и столичный папирус, либо папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) – помогают для нас главными источниками сведений о египетских геометрии и арифметике. В этих папирусах более старое иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и это изменение сопровождалось применением нового принципа обозначения чисел. Несколько однообразных знаков заменялись более простой по начертанию пометой либо знаком, к примеру, девять записывалось как вместо 
, а семьсот как вместо 
. В данной записи число 6789 имело вид 
, причем символы более большого порядка размешались справа, а не слева. Иероглифическая запись чисел употреблялась в основном в текстах и официальных документах. Еще позднее иератическая совокупность обозначения чисел уступила место демотическим совокупностям записи.
Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из серьёзных этапов в развитии совокупностей счисления, поскольку позволило значительно сократить записи. Но их операции с дробями оставались на примитивном уровне, поскольку они знали только аликвотные дроби (т.е. дроби с числителем 1) и каждую дробь записывали в виде суммы аликвотных дробей, к примеру, дробь 2/43 они записали бы так: 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. В этих совокупностях счисления над знаком, обозначающим знаменатель, ставился особый символ. В мастерстве оперирования дробями египтяне существенно уступали обитателям Месопотамии.
Вавилон.Письменность шумеров есть, по-видимому, столь же древней, как и письменность египтян. Развитие способов представления чисел в Месопотамской равнине сначала шло равно как и в равнине Нила, но после этого обитатели Междуречья ввели совсем новый принцип. Вавилоняне делали записи острой палочкой на мягких глиняных табличках, каковые после этого обжигались на солнце либо в печи. Эти записи были только долговечными, а потому, в отличие от египетских папирусов, дошедших до нас в очень малом числе экземпляров, в музеях мира сохраняются десятки тысяч клинописных табличек. Но жесткость материала, на котором обитатели Месопотамии делали записи, оказала глубокое влияние на развитие числовых обозначений. Через некое время по окончании того, как Аккад завоевал шумеров, совокупность счисления в Месопотамии стала шестидесятеричной, не смотря на то, что сохранилось кроме этого и основание 10. Казавшееся правдоподобным предположение относительно того, по какой причине выбор пал на число 60 как на базу вавилонской совокупности счисления, и утверждавшее, словно бы это связано с тем, что длительность земного года считалась равной 360 дням, не взяло подтверждения. Сейчас принято вычислять, что шестидесятеричная совокупность была выбрана из метрологических мыслей: число 60 имеет довольно много делителей.
Для малых чисел вавилонская совокупность счисления в общих чертах напоминала египетскую. Одна вертикальная клинообразная черта (в раннешумерских табличках – маленькой полукруг) означала единицу; повторенный необходимое число раз, данный символ служил для записи чисел меньше десяти; для обозначения числа 10 вавилоняне, как и египтяне, ввели новый коллективный знак – более широкий клиновидный символ с острием, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку, (в раннешумерских текстах – маленькой кружок).
Повторенный соответствующее число раз, данный символ служил для обозначения чисел 20, 30, 40 и 50. Принцип повторного применения знаков разрешал, к примеру, записать число 59 в виде 
, т.е. 5?10+9.
Но для записи чисел больше 59 древние вавилоняне в первый раз применяли новый принцип – одно из самых выдающихся достижений в развитии совокупностей обозначений чисел – принцип позиционности, т.е. зависимости значения знака от его расположения в записи числа. Вавилоняне увидели, что в качестве коллективных знаков более большого порядка возможно использовать уже ранее использованные знаки, если они будут занимать в записи числа новое положение левее прошлых знаков. Так, один клиновидный символ имел возможность употребляться для обозначения и 1, и 60, и 602, и 603, в зависимости от занимаемого им в записи числа положения, подобно тому, как единица в отечественных обозначениях употребляется в записях и 10, и 102, и 103, и в числе 1111. При обозначении чисел больше 60 символы, выступающие в новом качестве, отличались от ветхих тем, что знаки разбивались на “места”, либо “позиции”, и единицы более большого порядка размешались слева. При таком методе записи для обозначения сколь угодно солидных чисел уже не требуется было вторых знаков, не считая уже известных. К примеру, число 6789 возможно было записать так: 
, т.е. 1?(60)2 + 53?(60) + 9. В Старом Вавилоне, ок. 1650 до н.э., совокупность счисления оставалась псевдопозиционной либо только довольно позиционной, потому, что не существовало эквивалента современной десятичной запятой, равно как и знака для обозначения отсутствующей позиции. Обозначал ли знак 
число 1?(60)2 + 1 либо 1?(60)2 + 1?(60), приходилось догадываться из контекста. Но во время правления селевкидов, ок. 300 до н.э., эта неоднозначность была устранена введением особого знака в виде двух маленьких клиньев, помещаемого на пустующее место, т.е. обозначающего пустую позицию в записи числа. Так, из совокупности счисления была устранена отмеченная выше неоднозначность. К примеру, знак 
означал число 3601, т.е. 1?(60)2 + 0?(60) + 1. Одновременно с этим не было обнаружено ни одной таблички с записью, в которой знак нуля был бы в конце числа. Конкретно исходя из этого вавилонскую совокупность мы вычисляем только довольно позиционной, потому что самый правый символ имел возможность означать или единицы, или кратные какой-нибудь степени числа 60. Однако изобретение вавилонянами позиционной совокупности счисления с нулем воображало собой огромное достижение, по собственному революционному значению для математики сопоставимое разве только с более поздней догадкой Коперника в астрономии.
Знаки для обозначения чисел на вавилонских глиняных табличках не столь правильны, как знаки для обозначения чисел на египетских папирусах, не обращая внимания на то, что вавилоняне применяли позиционный принцип. Крайне редко вавилоняне использовали сокращенные формы записи, время от времени – с новыми знаками для обозначения чисел 100 и 1000, либо применяли правила умножения либо вычитания. Но превосходство созданной в Месопотамии совокупности счисления четко видно в обозначении дробей. Тут не требовалось вводить новые знаки. Как и в отечественной собственной десятичной позиционной совокупности, в древневавилонской совокупности подразумевалось, что на первом месте справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте – величины кратные 1/602 и т.д. Привычное нам деление часа и углового либо дугового градуса на 60 мин., а одной 60 секунд – на 60 секунд берет начало от вавилонской совокупности счисления.
Старая Греция. В Греции имели хождение две главных совокупности счисления – аттическая (либо геродианова) и ионическая (она же александрийская либо алфавитная). Аттическая совокупность счисления употреблялась греками, по-видимому, уже к 5 в. до н.э. По существу это была десятичная совокупность (не смотря на то, что в ней кроме этого было выделено и число пять), а аттические обозначения чисел применяли повторы коллективных знаков. Черта, обозначавшая единицу, повторенная необходимое число раз, означала числа до четырех. По окончании четырех линия греки вместо пяти линия ввели новый знак Г, первую букву слова “пента” (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука “п”, а не “г”). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый знак D, первую букву слова “дека” (десять). Так как совокупность была десятичной, грекам потребовались новые знаки для каждой новой степени числа 10: знак H означал 100 (гекатон), X – 1000 (хилиои), знак M – 10000 (мириои либо мириада). Применяя число 5 как промежуточное под-основание совокупности счисления, греки на базе принципа умножения комбинировали пятерку с знаками степеней числа 10. Так, число 50 они обозначали знаком 
, 500 – знаком 
, 5000 – знаком 
, 50000 – знаком 
. Еще солидные числа в большинстве случаев описывались словами. Число 6789 в аттической совокупности записывалось в виде 
.
Вторая принятая в Греции ионическая совокупность счисления – алфавитная – стала широко распространена в начале Александрийской эры, не смотря на то, что появиться она имела возможность несколькими столетиями раньше, по всей видимости, уже у пифагорейцев. Эта более узкая совокупность счисления была чисто десятичной, и числа в ней обозначались приблизительно так же, как в египетской иератической совокупности. Применяя двадцать четыре буквы греческого алфавита и, помимо этого, еще три архаических символа, ионическая совокупность сопоставила девять букв первым девяти числам; другие девять букв – первым девяти целым кратным числа десять; и последние девять знаков – первым девяти целым кратным числа 100. Для обозначения первых девяти целых кратных числа 1000 греки частично воспользовались древневавилонским принципом позиционности, опять применяв первые девять букв греческого алфавита, снабдив их штрихами слева. К примеру, число 6789 в ионической совокупности записывалось как FYPQ. Дабы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную линии. Первоначально числа обозначались прописными буквами, но позднее сменились на строчные.
Ионическая совокупность первоначально не очень сильно потеснила уже установившуюся аттическую либо акрофоническую (по начальным буквам слов, означавших числительные) совокупности исчисления. По-видимому, официально она была принята в Александрии во времена правления Птолемея Филадельфийского и в последующие годы распространилась оттуда по всему греческому миру, включая Аттику. Переход к ионической совокупности счисления случился в золотой век древнегреческой математики и, например, при жизни двух величайших математиков античности. Имеется что-то большее, чем легко совпадение, в том, что именно тогда Архимед и Аполлоний трудились над усовершенствованием совокупности обозначения солидных чисел. Архимед, придумавший схему октад (эквивалентную современному применению показателей степени числа 10), гордо заявлял в собственном произведении “Псаммит” (“Исчисление песчинок”), что может численно выразить количество песчинок, нужных чтобы заполнить всю известную тогда Вселенную. Изобретенная им совокупность обозначения чисел включала число, которое сейчас возможно было бы записать в виде единицы, за которой следовало бы восемьдесят тысяч миллионов миллионов цифр.
Посредством несложного введения диакритических знаков наподобие тех, каковые греки использовали для обозначения тысяч, алфавитное обозначение целых чисел возможно было бы легко приспособить для обозначения десятичных дробей, но данной возможностью они не воспользовались. Вместо этого для обозначения дробей греки применяли приемы вавилонян и древних египтян. Египетское влияние в Греции хватало сильным, дабы навязать грекам потребление только аликвотных дробей, но громадные вычислительные удобства совокупности счисления вавилонян побудили живших позднее александрийских астрологов перейти к применению шестидесятеричных дробей. Переняв совокупность счисления Старого Вавилона, греки заменили месопотамскую клинопись собственными буквенными обозначениями. К примеру, Птолемей записал длину хорды, стягивающей дугу в 120° окружности радиусом в 60 единиц, как RGNE¢KG¢, т.е. 103 + 55/60 + 23/602 единиц. В более поздний период в вавилонской шестидесятеричной совокупности имелся особый знак для обозначения “безлюдной” позиции, и греческие астрологи ввели для данной цели букву омикрон. Неясно, был ли таковой выбор посоветован тем, что с данной буквы начиналось слово оуден (ничто). Сходство греческой буквы О с современным обозначением нуля возможно чем-то громадным, чем случайное совпадение, но у нас нет правильных данных, разрешающих утверждать это со всей определенностью.
Потому, что греки трудились с обычными дробями только эпизодически, они применяли разные обозначения. Герон и Диофант, самые узнаваемые математики среди древнегреческих математиков, записывали дроби в алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем. Но в принципе предпочтение отдавалось или дробям с единичным числителем, или шестидесятеричным дробям.
Недочёты греческих обозначений дробных чисел, включая применение шестидесятеричных дробей в десятичной совокупности счисления, разъяснялись отнюдь не пороками основополагающих правил. Недочёты греческой совокупности счисления возможно отнести скорее за счет их упорного рвения к строгости, которое заметно увеличило трудности, которые связаны с анализом отношения несоизмеримых размеров. Слово “число” греки осознавали как комплект единиц, исходя из этого то, что мы сейчас разглядываем как единое рациональное число – дробь, – греки осознавали как отношение двух целых чисел. Конкретно этим разъясняется, по какой причине обычные дроби редко виделись в греческой математике. Помимо этого, десятичные представления обычных дробей как правило нескончаемы. А потому, что бесконечность была исключена из строгих рассуждений, теоретическая математика не нуждалась в для того чтобы рода представлениях. Иначе, областью, в которой практические вычисления испытывали величайшую потребность в правильных дробях, была астрономия, а тут вавилонская традиция была так сильна, что шестидесятеричная совокупность обозначений угловых, дуговых и временных размеров сохраняется и поныне.
Рим. Римские обозначения чисел известны сейчас лучше, чем каждая вторая старая совокупность счисления. Разъясняется это не столько какими-то особенными преимуществами римской совокупности, сколько тем огромным влиянием, которым пользовалась Римская империя в относительно недавнем прошлом. Этруски, завоевавшие Римскую империю в 7 в. до н.э., испытали на себе влияние восточно-средиземноморских культур. Этим частично разъясняется сходство ключевых принципов римской и аттической систем счисления. Обе совокупности были десятичными, не смотря на то, что в обеих совокупностях счисления особенную роль игралось число пять. Обе совокупности применяли при записи чисел повторяющиеся знаки. Ветхими римскими знаками для обозначения чисел 1, 5, 10, 100 и 1000 были, соответственно, знаки I, V, X, Q (либо A, либо A) и f (либо , либо ). ). Не смотря на то, что о начальном значении этих знаков было написано довольно много, их удовлетворительного объяснения у нас нет до сих пор. В соответствии с одной из распространенных теорий, римская цифра V изображает раскрытую руку с четырьмя прижатыми друг к другу пальцами и отставленным громадным пальцем; знак X, в соответствии с той же теории, изображает две скрещенные руки либо сдвоенную цифру V. Знаки чисел 100 и 1000, быть может, берут начало от греческих букв Q и f. Неизвестно, случились ли более поздние обозначения C и M от ветхих римских знаков либо они акрофонически связаны с начальными буквами латинских слов, означавших 100 (центум) и 1000 (милле). Считают, что римский знак числа 500, буква D, появился из половинки ветхого знака, обозначавшего 1000. Если не считать, что большая часть римских знаков вероятнее не были акрофоническими и что промежуточные знаки для обозначения чисел 50 и 500 не были комбинациями знаков чисел 5 и 10 либо 5 и 100, то в остальном римская совокупность счисления напоминала аттическую. Очевидно, в подробностях они отличались. Римляне довольно часто применяли принцип вычитания, исходя из этого время от времени вместо VIIII применяли IX и XC вместо LXXXX; относительно позднее знак IV вместо IIII.
В целом римляне не были склонны заниматься математикой, исходя из этого не испытывали особенной потребности в солидных числах. Однако для обозначения 10000 они эпизодически применяли знак 
, а для числа 100000 – знак 
. Половинки этих знаков время от времени употреблялись для обозначения чисел 5000 ( 
) и 50000 ( 
). Так, в римских обозначениях число 6789 возможно было бы записать как 
.
Дробей римляне избегали так же настойчиво, как и солидных чисел. В практических задачах, которые связаны с измерениями, они не применяли дроби, подразделяя единицу измерения в большинстве случаев на 12 частей, с тем дабы итог измерения представить в виде составного числа, суммы кратных разных единиц, как это делается сейчас, в то время, когда длину высказывают в ярдах, дюймах и футах. Британские слова “ounce” (унция) и “inch” (дюйм) происходят от латинского слова uncia (унция), обозначавшего одну двенадцатую главной единицы длины.
Обозначения чисел у древних иудеев. Семитские народы смогут претендовать на роль создателей алфавитного принципа обозначения чисел в том виде, как он употреблялся в ионической совокупности. Вправду, с маленькими модификациями данный принцип использовался иудеями, сирийцами, арабами и арамейцами. И все же существует мало сомнений в том, что алфавитные обозначения чисел были заимствованы ими у древних греков, по-видимому из Милета, каковые изобрели эти обозначения еще в 8 в. до н.э. У иудеев применение алфавитных обозначений чисел совсем вошло в обиход к 2 в. до н.э. Девять букв алфавита употреблялись для обозначения первых девяти целых чисел; еще девять букв означали первые девять кратных числа 10; остальные буквы употреблялись для обозначения сотен. Так как букв в алфавите для обозначения всех кратных числа 100 не хватало, в Талмуде числа, превосходящие 400, записывались методом комбинации: к примеру, число 500 обозначалось знаками, соответствующими числам 400 и 100, а 900 записывалось как 400 и 400 и 100. Позднее для обозначения чисел, кратных 100 и превосходящих 400, употреблялись окончательные варианты формы букв или других знаков, в следствии чего все девять кратных числа 100 взяли собственные личные обозначения в виде буквы либо особого символа. (См. таблицу обозначений чисел.) Как и в ионической совокупности счисления, знаки для обозначения первых девяти кратных числа 1000 были такими же, как знаки, обозначающие первые девять чисел в разряде единиц. Число 6789 иудеи записывали как 
. Так как запись числа 15 в простом виде как 10 и 5 сходится с первыми двумя буквами имени Всевышнего Яхве, древние иудеи записывали число 15 как 9 и 6. Высказывалось предположение, что по подобным обстоятельствам древние римляне избегали записывать число IV вместо IIII, т.к. знак IV сходится с первыми двумя буквами ветхо-латинского написания имени Юпитер.
Америка.Исследователи, путешествовавшие в 16 в. по Центральной Америке, нашли цивилизации с высокоразвитыми совокупностями счисления, хорошими от тех, каковые были известны в Европе. Самыми серьёзными элементами в совокупности счисления майя были применение символа нуля и позиционного принципа. В случае, если отвлечься от того, что принятая у индейцев майя совокупность счисления была не шестидесятеричной, а двадцатеричной и вместо 10 применяла вспомогательное основание 5, то в остальном правила были подобны тем, каковые ранее были в ходу у обитателей Старого Вавилона. В схеме майя точка означала единицу, а повторяющиеся точки – числа до четырех; пятерку обозначала горизонтальная черта, а две и три горизонтальные черты обозначали, соответственно, числа десять и пятнадцать. Для обозначения числа двадцать майя воспользовались позиционным принципом, применяя точку, помещенную над знаком нуля. (Последний имел вид 
.)
Числа в совокупности счисления древних майя записывались в столбец, причем верхние знаки были старшими. Самая нижняя позиция соответствовала разряду единиц; “этажом выше” размешалось число двадцаток. Еще выше единица соответствовала не кратным числа 400, как возможно было бы ожидать, а кратным числа 360. За исключением этого разряда, связанного, как возможно делать выводы, с продолжительностью года и календарными соображениями, все остальные более высокие позиции соответствовали степеням числа 20. Число 6789 в совокупности счисления, принятой у майя, записывалось как
Совокупность счисления у ацтеков в Мексике была более последовательно двадцатеричной, чем у майя, но в остальном менее узкой, поскольку не применяла ни позиционный принцип, ни особый знак для нуля. Точка означала у ацтеков единицу, а для обозначения степеней числа 20 были введены новые символы: флаг для 20, дерево для 400 и кошелек для 8000. При необходимости другие числа представлялись посредством повторения этих знаков, а от их чрезмерного повторения они избавлялись, вводя особые промежуточные коллективные символы: ромбовидный символ для 10 и фрагменты дерева для 100, 200 либо 300.
До появления в Северной Америке европейцев индейцы не имели письменности. Изучения древних совокупностей счисления говорят о том, что применяемые заглавия чисел были по большей части прилагательными и только в отдельных случаях достигали уровня абстракции, в то время, когда они становились существительными. Однако посредством картинок либо устно индейцы имели возможность выразить число впредь до миллиона. Совокупности составления чисел были самыми разными, но приблизительно добрая половина из них по существу была десятичной.
Китай.Одна из старейших совокупностей счисления была создана в Китае, а также в Японии. Эта совокупность появилась как следствие оперирования с палочками, выкладываемыми для счета на стол либо доску. Числа от единицы до пяти обозначались, соответственно, одной, двумя и т.д. палочками, выкладываемыми вертикально, а одна, две, три либо четыре вертикальные палочки, над которыми помещалась одна поперечная палочка, означали числа шесть, семь, восемь и девять. (См. таблицу обозначений чисел.) Первые пять кратных числа 10 обозначались одной, двумя, ¼, пятью горизонтальными палочками, а одна, две, три и четыре горизонтальные палочки, к каким сверху приставлялась вертикальная палочка, означали числа 60, 70, 80 и 90. Для обозначения чисел больше 99 употреблялся позиционный принцип. Число 6789 китайцы записали бы так: 
. Обозначения чисел посредством палочек тесно связано со счетом на счётной доске и пальцах, но использовалось оно кроме этого и в письменных вычислениях.
Во второй китайской совокупности счисления для обозначения первых девяти целых чисел либо знаков (см. таблицу обозначений чисел) применяют девять разных знаков и одиннадцать дополнительных знаков для обозначения первых одиннадцати степеней числа 10. В сочетании с вычитанием и умножением это разрешало записывать любое число меньше триллиона. В случае, если один из знаков, обозначающих первые девять целых чисел, стоит перед (при чтении слева направо) знаком, означающим степень числа 10, то первое необходимо умножить на второе, в случае, если же знак одного из девяти первых целых чисел стоит на последнем месте, то это число надлежит прибавить к обозначенному прошлыми знаками. В таковой совокупности счисления число 6789 смотрелось бы так: , т.е. 6?1000 + 7?100 + 8?10 + 9.
Индия.Письменных монументов древнеиндийской цивилизации сохранилось весьма мало, но, наверное, индийские совокупности счисления проходили в собственном развитии те же этапы, что и во всех других цивилизациях. На древних надписях из Мохенджо-Даро вертикальная черточка в записи чисел повторяется до тринадцати раз, а группировка знаков напоминает ту, которая знакома нам по египетским иероглифическим надписям. В течение некоего времени имела хождение совокупность счисления, сильно напоминающая аттическую, в которой для обозначения чисел 4, 10, 20 и 100 употреблялись повторения коллективных знаков. Эта совокупность, которая именуется кхарошти, понемногу уступила место второй, известной называющиеся брахми, где буквами алфавита обозначались единицы (начиная с четырех), десятки, тысячи и сотни. Переход от кхарошти к брахми происходил в те годы, в то время, когда в Греции, практически сразу после вторжения в Индию Александра Македонского, ионическая совокупность счисления вытеснила аттическую. В полной мере быть может, что переход от кхарошти к брахми происходил под влиянием греков, но на данный момент вряд ли допустимо хоть как-то проследить либо вернуть данный переход от древних индийских форм к совокупности, от которой случились отечественные совокупности счисления. Надписи, отысканные в Нана-Гат и Насике, относящиеся к первым столетиям до нэ и первым столетиям отечественной эры, по-видимому, содержат обозначения чисел, каковые были прямыми предшественниками тех, каковые взяли сейчас наименование индо-арабской совокупности. Первоначально в данной совокупности не было ни позиционного принципа, ни знака нуля. Оба эти элементы вошли в индийскую совокупность к 8–9 вв. вместе с обозначениями деванагари (см. таблицу обозначений чисел). В индийской совокупности число 6789 записывалось бы как 
. Тут мы в первый раз видимся с элементами современной совокупности счисления: индийская совокупность была десятичной, цифровой и позиционной. При жажде возможно кроме того усмотреть некое сходство в начертании современных цифр и цифр деванагари.
Отметим, что позиционная совокупность счисления с нулем появилась не в Индии, потому, что за довольно много столетий до этого она употреблялась в Старом Вавилоне в связи с не сильный совокупностью. Потому, что индийские астрологи применяли шестидесятеричные дроби, в полной мере быть может, что это навело их на идея перенести позиционный принцип с шестидесятеричных дробей на целые числа, записанные в десятичной совокупности. В итоге случился сдвиг, приведший к современной совокупности счисления. Не исключена кроме этого возможность, что таковой переход, по крайней мере частично, случился в Греции, вероятнее в Александрии, и оттуда распространился в Индию. В пользу последнего предположения свидетельствует сходство кружка, обозначающего нуль, с начертанием греческой буквы омикрон. Но происхождение индийского знака для нуля окутано тайной, поскольку первое точное свидетельство его появления в Индии датируется только финишем 9 в. Как ни необычно, ни греки, ни индийцы не включили в собственные совокупности счисления десятичные дроби, но конкретно индийцам мы обязаны современной совокупностью записи обычных дробей с числителем, расположенным над знаменателем (но без горизонтальной черты, отделяющей числитель от знаменателя).
Аравия.Современную совокупность обозначения чисел довольно часто именуют арабской, не смотря на то, что ясно, что она берет начало не из Аравии. До хиджры арабы записывали числа словами, но после этого, как это делали ранее греки, они стали обозначать числа буквами собственного алфавита. В 772 индийский трактат “Сидданта” был привезен в Багдад и переведен на арабский, по окончании чего стали использоваться две совокупности записи чисел: (1) в астрономии так же, как и прежде употребляли алфавитную совокупность, (2) в торговых расчетах торговцы стали применять совокупность, заимствованную из Индии. Но кроме того среди тех, кто пользовался индийской совокупностью, начертания цифр, как и в Индии, очень сильно варьировали. Эти две совокупности счисления были обширно распространены и по окончании распада арабского халифата. В его восточной части пользовались совокупностью, подобной той, которая и по сей день видится в арабском мире. Число 6789 в данной совокупности записывается как 
. Но обозначения чисел в Испании 10 в. так очень сильно отличались по своим начертаниям от вышеприведенных, что казались никак с ними не связанными. В испанских обозначениях, взявших наименование “гобар” либо “песчаных”, число 6789 смотрелось бы так: 
. Собственный наименование эти обозначения взяли по причине того, что ими пользовались при вычислениях на “песчаном абаке”. Как свидетельствует Бируни, индийцы довольно часто создавали вычисления на песке, что, быть может, и послужило предлогом для для того чтобы заглавия. Однако само происхождение этих цифр, от которых со своей стороны случились отечественные современные цифры, неизвестен.
Западная Европа.Первым европейским ученым, о котором точно как мы знаем, что он ввел в потребление в Европе арабские цифры, был Герберт, трудившийся в Испании и позднее (в 999-м) ставший папой Сильвестром II. В 12 в. Хуан из Севильи перевел на латынь трактат De numero indorum (Об индийских числах) арабского математика Аль-Хорезми. В то время, когда в следующем веке индийские обозначения стали легендарными , новая совокупность стала называться метод – от искаженного Аль-Хорезми. Через несколько столетий европейские алгоритмики победили и над абацистами, и над теми, кто пользовался римскими цифрами в вычислениях с целыми числами, но только с 1585 индо-арабская совокупность обозначений, систематически расширяясь, начала использоваться и применительно к дробям. В том же году Симон Стевин опубликовал собственный маленький трактат De Thiende (Десятина), в котором он внес предложение записывать в виде 
либо 
число, которое мы записали бы как 6789. В 17 в. вошла в потребление десятичная запятая (либо точка), которой стали отделять целую часть числа от дробной, по окончании чего европейцы отказались от предложенной Стевином индексации разрядов. По окончании этих трансформаций развитие современной совокупности счисления завершилось. (Это отнюдь не свидетельствует, словно бы была достигнута полная стандартизация в заглавиях либо обозначениях чисел. В Америке и Франции биллион свидетельствует тысячу миллионов, а в Германии и Англии – миллион миллионов; в континентальной Европе довольно часто употребляется десятичная запятая, а в англосаксонских государствах предпочитают ставить десятичную точку; англосаксы применяют запятые, дабы отделять степени тысячи, в некоторых государствах для данной цели помогает точка.
Понятие совокупности счисления