Определение. Квадратной именуется матрица, у которой число строчков равно столбцов, т.е. матрица вида
.
Квадратную матрицу размерности n на n именуют матрицей n-го порядка.
Вектор именуют основной диагональю квадратной матрицы, а вектор – побочной диагональю.
Виды квадратных матриц:
- треугольная матрица – квадратная матрица, у которой элементы ниже (выше) основной диагонали нулевые;
- диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы вне основной диагонали нулевые;
- скалярная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы основной диагонали равны, а все остальные элементы нулевые;
- единичная матрица – квадратная матрица, у которой все элементы основной диагонали равны единицы, а все остальные элементы нулевые.
Перечисленные виды квадратных матриц владеют рядом особенностей. Особенное место среди них занимает единичная матрица. Исключительность матриц для того чтобы вида выражена в следующем свойстве.
Теорема 1.
Подтверждение. Продемонстрируем, что .Две матрицы равны, в случае, если их размерности совпадают и равны их элементы соответственно.
По определению умножения матриц –матрица размерности m на n – как и матрица A. Разглядим произвольный элемент матрицы и продемонстрируем, что он совпадет с соответствующим элементом матрицы A:
Тождество докажите самостоятельно¦
Следствие. .
Так, единичная матрица n-го порядка играет роль единицы на множестве квадратных матриц n-го порядка.
Определение. Квадратная матрица A n –го порядка именуется обратимой, в случае, если существует матрица B n –го порядка такая, что . Сама матрица B наряду с этим именуется обратной для матрицы A и обозначается .
Разумеется, что единичная матрица обратима, а обратной для единичной матрицы есть сама эта матрица.
Лемма (свойства обратимых матриц). В случае, если матрицы A и B обратимы, то:
1) ; 2) ; 3) .
Подтверждение. Первое разумеется.
Продемонстрируем, что матрица есть обратной для . Вправду, . .
Самостоятельно продемонстрируйте, что есть обратной для матрицы ¦
Теорема 2. (критерий обратимости матрицы) Квадратная матрица обратима тогда и лишь тогда, в то время, когда ее ранг равен ее порядку.
Подтверждение.
Необходимость. Пускай матрица A n-го порядка обратима. Продемонстрируем, что . Так как матрица A обратима, то существует матрица B такая, что . Но тогда по лемме о строчечном пространстве произведения матриц имеем . Одновременно с этим , так как строки единичной матрицы – обычный базис пространства . Приобретаем, , откуда . Итак, , а , т.е. .
Достаточность. Пускай A – матрица n-го порядка и . Продемонстрируем, что она обратима.
По определению , исходя из этого базис строчечного пространства матрицы A складывается из n строчков матрицы A n-го порядка, соответственно все строки матрицы линейно свободны. Потому, что их количество сходится с размерностью , то строки матрицы A образуют базис пространства и через них выражается каждый вектор этого пространства, среди них и строки матрицы I. По следствию из леммы о строчечном пространстве произведения матриц, найдется матрица B такая, то .
По определению , исходя из этого базис столбцового пространства матрицы A складывается из n столбцов матрицы A n-го порядка, соответственно все столбцы матрицы линейно свободны. Потому, что их количество сходится с размерностью , то столбцы матрицы A образуют базис пространства и через них выражается каждый вектор этого пространства, среди них и столбцы матрицы I. По следствию из леммы о столбцовом пространстве произведения матриц, найдется матрица C такая, то .
Осталось продемонстрировать, что . Вправду, ¦
Замечание. Квадратную матрицу, у которой ранг совпадет с ее порядком, именуют невырожденной.