Мы видели, что непозиционные нумерации малоудобны: запись чисел в них весьма долга, арифметические операции создавать тяжело.
По ремесла развития и меря торговли эти неудобства становились все чувствительнее, и вот в Малой Азии, где были древнегреческие колонии, каковые вели оживленную торговлю, в середине V в. до н. э. показалась совокупность счисления нового типа, так называемая алфавитная нумерация. Ее в большинстве случаев именуют ионийской. В данной совокупности числа обозначались при помощи букв алфавита, над которыми ставились черточки: первые девять букв обозначали числа от 1 до 9, следующие девять — числа 10, 20, 30 до 90 и следующие девять — числа 100, 200 до 900. Так возможно было обозначать любое число до 999.
Для обозначения чисел 1000, 2000, …, 9000 греки употребляли те же буквы, что и для чисел 1, 2, …, 9, но лишь при их записи ставили косую черточку слева внизу. Как это делалось, видно из прилагаемого рисунка. Потом, для числа 10 000 употреблялся символ М? — это число именовалось мириадой, две мириады, т. е. 20000, обозначались так: М?. Этим методом возможно было обозначить все числа до мириады мириад, т. е. до 108. Более высокие десятичные разряды уже не могли быть записаны в ионийской нумерации и не имели заглавия в древнегреческом языке.
Великий математик, инженер и механик древности Архимед (III в. до н. э.) посвятил целое произведение тому, дабы дать неспециализированный прием наименования сколь угодно солидных чисел. с покон веков у греков, как,но,и у других народов, наглядным образом для представления об весьма громадном а также неисчислимом количестве служило число песчинок.
В народных сказках, к примеру, видится «неразрешимая» задача: сосчитать звезды на небе, капли в море либо песчинки на земле. Архимед продемонстрировал, что такие задачи возможно решить. Собственный произведение он так и назвал «Исчисление песка» («Псаммит») . В нем он выстроил совокупность счета, в которой имелись числа, не только превосходящие количество песчинок в его родной Сицилии,, но н такие, каковые больше числа песчинок во Вселенной, в случае, если кроме того вычислять, что Вселенная сплошь заполнена песком. Но что же осознавали греки времен Архимеда под всей Вселенной? В собственном произведении Архимед, следуя за греческим астрологом Аристархом Самосским, полагал, что в центре Вселенной находится Солнце, а другие планеты и Земля вращаются около него. Вселенная имеет форму сферы, на поверхности которой расположены неподвижные звезды. Это первенствовала гелиоцентрическая совокупность мира.
Для подсчета количества песчинок Архимед должен был хотя бы примерно выяснить песчинки диаметров и размеры Вселенной, а после этого отыскать отношение их количеств. Архимед сделал это, опираясь на эти астрономии собственного времени и на личные изучения в данной области. Число песчинок, которое должно было у него наряду с этим оказаться, в отечественной нумерации записывается так: 1063. Это большое число, и до Архимеда не было средств ни для записи, ни для наименования чисел для того чтобы порядка.
Дабы решить поставленную задачу, Архимед поступает следующим образом: все числа, меньшие мириады мириад, т. е. все числа от 1 до 108—1, он объединяет в первую октаду (т. е. восьмерицу) и именует их «первыми числами». Число 108 является единицей второй октады, в которую входят все числа 108 до 102·8—1. Это — «вторые числа». Подобно этому число 102·8 есть единицей третьей октады, а числа от 102·8 до 103·8—1 являются «третьими числами». Продолжая это построение, возможно дойти до мириадо-мириадной октады, которая содержит числа от до . Все эти октады Архимед объединяет в первоначальный период. Число является единицей первой октады второго периода, и т. д. Этим методом возможно дойти до последнего числа последней октады мириадо-мириад-ного периода. Тут Архимед останавливается, но ясно, что посредством его метода возможно двигаться и дальше, объединив все периоды в какой-нибудь новый разряд.
Но и тех чисел, каковые выстроил Архимед, вполне достаточно для подсчета числа песчинок во Вселенной. Нужное число содержится уже в восьмой окладе первого периода. Архимед продолжил собственный построение дальше чтобы разъяснить способ наименования сколь угодно солидных чисел.
Метод Архимеда близок к позиционному, но пригодилось еще около тысячи лет, перед тем как человечеству удалось создать десятичную позиционную совокупность счисления.
Алфавитные совокупности были, не считая ионийцев, у древних иудеев, финикийцев, армян, грузин и других народов. Алфавитная нумерация была принята и в Старой Руси. Над буквами, обозначавшими числа,ставился особый символ титло. Это делалось чтобы отличать их от простых слов.
Эргономичны ли алфавитные совокупности?
Запишем в славянской нумерации число 444:
Мы видим, что запись оказалась не дольше отечественной. Это разъясняется тем, что в алфавитных нумерациях имелось 27 цифр, в то время как в египетской, к примеру, для обозначения всех чисел до 1000 было всего лишь три цифры.
Но алфавитные нумерации имели и большой недочёт: с их помощью нельзя обозначать сколь угодно солидные числа. Они были весьма эргономичны лишь для записи чисел до 1000.
Действительно, славяне, как и греки, умели записывать и солидные числа, но для этого к алфавитной совокупности они додавали новые обозначения. Числа 1000, 2000 и т. д. они записывали теми же буквами, что 1, 2 и т. д., лишь слева внизу ставился особый символ, к примеру, 1000 обозначали .
Подобно:
Число 10 000 снова обозначалось той же буквой, что и 1, лишь без титла, но его уже обводили кружком: 10 000 = . Именовалось это число «тьмой». Из этого, кстати, случилось выражение «тьма народу».
Итак, для обозначения тем первые 9 цифр обводились кружками:
10 тем, либо 100 000, было единицей высшего разряда. Ее именовали «легион». Для обозначения легионов около первых 9 цифр ставился кружок из точек:
10 легионов составляли новую единицу, которая именовалась леодр. Для обозначения леодров соответствующие числа заключали в кружок из черточек:
Эти обозначения возможно разглядывать как зачатки позиционной совокупности, поскольку в ней для обозначения единиц различных разрядов использовались одинаковые знаки, к каким добавлялись символы для определения разряда. Такая совокупность именовалась «малым числом». В ней обозначения не шли дальше миллионов.
Но наровне с этим имелось и «громадное», либо «великое», число, в котором словом тьма обозначался уже 1 000 000. Тьма тем (т. е. 1012) именовалась легионом, легион легионов (т. е. 1024) — леодром, леодр леодров (т. е. 1048) — вороном, и, наконец, число 1049 именовалось колодой. В рукописи XVII в. говорится: «И более этого несть людской уму разумевати», т. е. для солидных чисел уже нет названий. Для обозначения воронов буквы ставили в кружок из крестиков: а колоду обозначали так: .
Алфавитные нумерации, как мы говорили, были мало пригодны для оперировании с солидными числами, видевшимися уже к древности (к примеру, при астрономических расчетах). На протяжении развития людской общества эти совокупности уступили место позиционным. Но остатки алфавитных нумераций сохранились в отечественном обиходе и но этот сутки. Так, мы довольно часто нумеруем пункты при помощи букв алфавита. Действительно, буквы помогают лишь для обозначения последовательного порядка, а не количества. Никаких арифметических операций над такими буквами мы уже не производим.