Дивергенция векторного поля.Формула Остроградского-Гауса в векторной форме.
Дивергенция-пусть векторное поле задается векторной ф-цией F(P,Q,R) где P(x,y,z)Q(x,y,z)R(x,y,z) непрерывно дифференцируемые ф-ции разглядываемые в этом поле. Заберём в этом поле произвольную т.М и окружим её замкнутой поверхностью ? полагая её ровной либо кусочно ровной. Соринтируем эту поверхность задав вектор нормали и разглядим отношения потока векторного поля F через замкнутую ориентированную поверхность ? к обьему V тела ограниченного данной поверхностью. С гидродинамической точки зрения это отношение высказывает кол-во жидкости появляющееся в обьеме V к величине этого обьема, т.е. величина (1) имеется средняя мощность источника либо стока помещенного в т.М правильное значение возьмём переходя к приделу в равенстве (1), в то время, когда поверхность ? стягивается в т.М(V0). Дивергенцией(расходимостью) векторного поля F в т.М именуется придел при V0 (если он существует) отношение потока этого векторного поля через замкнутую поверхность содержащую т.М к величине обьема ограниченного данной пов-стью.В случае, если дивергенция векторного поля в т.М0 то т.М есть источником, в случае, если (2)Док-во:по определению дивергенция векторного поля равна отношению 
Определение:В случае, если const – то поле однородное. Разумеется что дивергенция однородного векторного поля в любой точке равна нулю.div (М)=0 Это указывает что в данном поле нет ни источников ни стока. С гидродинамической точки зрения результат свидетельствует что в случае, если жидкость течет с постоянной скоростью С то в таком поле не будет ни источников ни стоков. Формула (2) разрешает записать формулу Остроградского-Гауса в векторной форме: (3)Замечание: формулу (3) просматривают так:Поток векторного поля F через замкнутую положительно ориентированную кусочно-ровную поверхность ? равна тройному интегралу от дивергенции векторного поля. С гидродинамической точки зрения формула(3) свидетельствует количество жидкости появляющееся в поверхности ? в единицу времени равняется суммарной мощности всех источников с током размещенных в поверхности. Свойства дивергенции: 1.Линейности:div = div div Док-во направляться из формулы (2) и свойства непрерывности часных производных. 2.В случае, если u(x,y,z) – некая диференцируемая сколярная функция в разглядываемой области, то div(u, )=udiv +(grad u, ) Док-во: div(u, )= +(grad u, )
Соленоидальные векторные их свойства и поля.
Опр:Соленоидальным (трубчатым) векторным полем именуется такое векторное поле F дивергенция в каждой точке которого равна нулю, т.е. div (M)=0(1). Просиейшим примером векторного поля есть однородное векторное поле const. Сформулируем фундаментальные особенности соленоидальных полей в виде теоремы:Теорема1:Поток векторного поля через любую замкнутую поверхность целеком расположенную в этом поле равен нулю т.е. в случае, если F – соленоидальное векторное поле то поток: (2). Док-во данной теоремы машинально направляться из формулы Остроградского-Гауса. Теорема2:Поток С векторного поля через любое поперечное сечение векторной трубки в направлении векторных линий принимает одно да и то же постоянное значение на протяжении всей длины векторной трубки и именуется интенсивностью векторной трубки.Док-во:Пускай векторное поле задается векторной функцией F(P,Q,R) где P,Q,R-непрерывно дифференцируемые функции. Заберём в этом векторном поле замкнутый контур С и через финиши совершим векторные линии.Опр: Часть векторного поля F ограниченной векторными линиями проходящими через каждую точку замкнутого контура L именуется векторной трубкой контура L. Разглядим часть векторной трубки ограниченой сечением и каким-нибудь поперечным сечением. Продемонстрируем что = т.к. — соленоидальное векторное поле, то , ?= + + Возьмем на поверхности внешнюю ориентацию, тогда т.к. , то