Под совокупностью координат на плоскости знают правило, устанавливающее взаимно однозначное соотношение между точками плоскости и упорядоченными парами чисел, каковые именуют координатами исходной точки.
Совершим через фиксированную на плоскости точку O две несовпадающие прямые с единичными отрезками и заданными направлениями. В случае, если прямые пересекаются под прямым углом, то введенная совокупность координат именуется декартовой, либо прямоугольной, в другом случае – аффинной, либо косоугольной. Первая координата точки в таковой совокупности координат именуется абсциссой, вторая – ординатой. Точка пересечения координатных осей именуется началом координат.
В декартовой совокупности координат, в большинстве случаев, горизонтальную ось Ox именуют осью абсцисс, Oy – осью ординат.
Разглядим точку M на плоскости Oxy (рис. V.1). Вектор именуется радиус-вектором точки М. Дабы отыскать ее координаты нужно из данной точки опустить перпендикуляры на каждую из осей. Числа, соответствующие взятым точкам пересечения, и будут координатами точки . В случае, если точка лежит на оси Ox, то ее вторая координата равна 0, в случае, если на оси Oy, то – первая.
Второй фактически ответственной совокупностью координат есть полярная. Возьмем на плоскости геометрическую прямую Ox и зафиксируем на ней декартову совокупность координат Oxy. Начало назовем полюсом, а координатную ось – полярной осью. Разглядим произвольную точку M на плоскости. Ее положение будет конкретно выяснено, в случае, если задать расстояние r от начала координат до точки M и угол j, на что необходимо развернуть ось Ox около точки O против часовой стрелки до совмещения его направления с отрезком (рис. V.1).
Рис. V.1
Полярными координатами точки M на плоскости именуется пара чисел . Число r именуется полярным радиусом, а число j – полярным углом. В большинстве случаев уверены в том, что
, .
В случае, если точка M сходится с началом, то угол j считается неизвестным.
С каждой полярной совокупностью координат связана декартовая (рис. V.1). Начало сходится с полюсом, ось абсцисс – с полярной осью, а ось ординат сходится с полярной осью, развёрнутой около полюса на угол .
Пускай точка M в декартовой совокупности координат имеет координаты , тогда связь с полярными запишется в виде
, .
Для обратной зависимости имеем соотношения
, 
,
, 
.
Пример V.1. Кривая в полярной совокупности координат задана уравнением , где . Требуется выстроить график в полярной совокупности координат и записать уравнение данной кривой в декартовой совокупности координат.
Зафиксируем декартову совокупность координат Oxy и на оси абсцисс зададим полярную ось Ox с однообразным масштабом с декартовой совокупностью (рис. V.2).
Составим табл. 1 с ценой деления .
Таблица V.1
| j | p | ||||||||
| r | a | – | a | ||||||
| j | |||||||||
| r | – |
Каждую несколько на полярной плоскости и соединим плавной кривой, которая именуется «двухлепестковой розой». Довольно часто для построения графика достаточно разглядеть узнаваемые значения тригонометрических функций 0, , , , и кратные им.
В декартовых координатах двухлепестковая роза посредством формул перехода записывается уравнением
либо, по окончании элементарных преобразований, возьмём
.
Ясно, что в полярной совокупности координат построение графиков, относящихся к классу аналогичных кривых, менее трудоемко, чем в декартовой совокупности координат.
Рис. V.2