Решим уравнение (2) в неотрицательных целых числах. Сперва отыщем все целые ответа этого уравнения. Поделив обе части уравнения на 5, возьмём:
Из этого равенства находим:
Из этого следует, что малоизвестное z при целых значениях малоизвестных х и у также принимает целые значения лишь тогда, в то время, когда y/2 число целое, т. е. в случае, если число у четно. Полагая у=2а, возьмём:
Мы отыщем все целые ответа уравнения (2), давая параметрам х и а в формулах
все вероятные целые значения. Нас интересуют лишь неотрицательные ответы уравнения (2), исходя из этого мы должны отыскать такие целые значения параметров х и а, при которых малоизвестные х, у и г, определяемые из формул (10), принимают неотрицательные значения. Для этого необходимо решить в целых числах совокупность неравенств:
Нетрудно осознать, что быть может принимать два значения: 0 и 1. В случае, если а=0, то х примет одно из трех значений: 0, 1 либо 2. В случае, если же а=1, то х может принимать только значения 0 либо 1.
Так, уравнение (2) имеет лишь 5 ответов в неотрицательных целых числах.
Иными словами уплатить за билет в метро 50 коп. монетами преимуществом в 10, 15 и 20 коп. возможно лишь пятью приведенными выше методами.
Мы разглядели пара уравнений первой степени. Каждое из них, как нам удалось установить, имеет целочисленные ответы.
Но наровне с ними возможно указать уравнения, каковые ответов в целых числах не имеют. Таково, к примеру, уравнение
В действительности, допустив, что при некоторых целых х и у равенство (11) правильно, мы возьмём, что 5 делится на 3.
Какие конкретно неизвестные уравнения разрешимы в целых числах?
В чем состоит условие разрешимости таких уравнений?
В случае, если некое неизвестное уравнение первой степени имеет решения в целых числах, то в любой момент ли возможно отыскать эти решения способом рассеивания?
Ответ на первый вопрос дает следующая теорема:
Уравнение с целыми коэффициентами
разрешимо в целых числах лишь в том случае, если вольный член Ь делится на солиднейший неспециализированный делитель чисел а1, а2, …, аn. Тут а1, a2 …, аn, Ь — целые числа.
В целях экономии места мы не приводим доказательства данной теоремы, не смотря на то, что оно и элементарно.
Ответим на другой вопрос: в любой момент ли предложенный способ ответа уравнения первой степени в целых числах ведет к успеху?
Мысль способа пребывает в замене данного уравнения равносильным ему уравнением, у которого полная величина коэффициентов меньше безотносительных размеров коэффициентов заданного уравнения.
В случае, если а1 — мельчайший по полной величине коэффициент при малоизвестных уравнения (12), то мы заменяем это уравнение вторым, в котором все коэффициенты, не считая коэффициента при малоизвестном х1, заменены остатками от деления этих коэффициентов на а1. В случае, если хотя бы один из коэффициентов а1, а2, …. аn не делится полностью на ах, то мы возьмём уравнение с меньшими (в указанном смысле) коэффициентами. С этим уравнением поступаем так же, как с данным. В случае, если же все числа а2, а3, …, аn делятся на а1, то и b делится на а1 (при разрешимости в целых числах данного уравнения). Дробя в этом случае обе части уравнения на ах, мы возьмём уравнение, целые ответа которого находятся легко.
Обрисованный способ при разрешимости уравнения в целых числах постоянно позволяет отыскать целые ответа этого уравнения.