Непрерывность функции одной переменной

Пример. Отыскать точки разрыва функции. Выстроить чертеж.

в случае, если

Ответ. Конечно, что на промежутках и функция постоянна. Проверке подлежат лишь точки и .

Чтобы убедиться, что функция постоянна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в данной точке.

Разглядим точку .

.

Вычислим односторонние пределы

,

.

Так как односторонние пределы не совпадают, — точка разрыва функции.

Разглядим точку .

,

с,

,

— точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности.

Рис. 1

Пример.Изучить поведение функции вблизи точки разрыва. Выстроить схематический чертеж.

.

Ответ. Область определения функции

. Точка разрыва .

Отыщем односторонние пределы

; .

Символ предела зависит от знаков знаменателя и числителя дроби. И в том и другом случае числитель , но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается хорошим. Схематичный чертеж представлен на рис. 2.

Рис. 2

дифференциал и Производная функции одной переменной

Пример. Пользуясь формулами дифференцирования, отыскать производные следующих функций: .

Ответ.

1.

2. имеется сложная функция.

, где .

Производная сложной функции имеет форму

либо .

Следовательно,

.

— сложная функция.

, где , а ,

.

Пример. Отыскать дифференциалы функций

1. ; 2. , вычислить .

Ответ. Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал свободной переменной, возьмём искомый дифференциал данной функции:

1. ;

2.

Полагая и , возьмём .

Пример.Отыскать пределы, применяя правило Лопиталя

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Ответ. Убедившись, что имеет место неопределенность либо , используем после этого правило Лопиталя.

1. ;

2. ;

— тут правило Лопиталя применено два раза.

3.

4. .

построение поведения и Исследование функции её графика

Пример.Изучить функцию и выстроить её график.

Ответ. 1. Функция выяснена и постоянна в промежутках .

2. Функция неспециализированного вида, поскольку

.

3. График функции не пересекается с осью OХ, а с осью OY пересекается при x = 0,

y= -2, т.е. в точке В(0; -2).

4. Исследуем функцию на наличие асимптот.

а) Уравнение вертикальной асимптоты: .

Вычислим пределы функции при слева и справа.

.

.

б) Уравнение наклонной асимптоты имеет форму y = kx + b, где

.

Так, уравнение наклонной асимптоты .

5. Исследуем функцию на экстремум.

— точки, странные на экстремум.

Исследуем символ производной в промежутках, окружающих странные точки.

Рис. 3.

Взяли, что в точке х=-1 возрастание функции сменяется убыванием, следовательно, это точка максимума. В точке х=2 убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума (рис. 3).

; .

6. Исследуем график функции на вогнутость и выпуклость.

Точек перегиба нет, поскольку .

Исследуем символ второй производной в промежутках, где функция выяснена, (смотрите пункт 1. этого примера) (рис. 4).

Рис. 4.

Основываясь на взятых итогах изучения, строим график функции.

Рис. 5

Запомните таблицу главных формул и правил дифференцирования.

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

№			№

Правила дифференцирования

Контрольная работа 2

1. Отыскать указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

№	а	б	в
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
1.08
1.09
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20

2. Отыскать точки разрыва функции, если они существуют:

а) сделать чертеж функции;

б) сделать схематический чертеж около точки разрыва.

№		№
2.01		2.11
2.02		2.12
2.03		2.13
2.04		2.14
2.05		2.15
2.06		2.16
2.07		2.17
2.08		2.18
2.09		2.19
2.10		2.20

3. Отыскать производные данных функций.

№	а	б	в
3.01
3.02
3.03
3.04
3.05
3.06
3.07
3.08
3.09
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20

4. Изучение функции:

а) отыскать экстремумы функции;

б) способами дифференциального исчисления изучить функцию

И, применяя результаты изучения, выстроить ее график.

№	а	б	№	а	б
4.01			4.11
4.02			4.12
4.03			4.13
4.04			4.14
4.05			4.15
4.06			4.16
4.07			4.17
4.08			4.18
4.09			4.19
4.10			4.20

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. Артур Шарифов

Интересные записи:

• Новосибирского облпотребсоюза»
• Нулевое начало термодинамики
• Нормы комплектования электрозащитными средствами
• Нумерация страниц, разделов, подразделов, пунктов и подпунктов