Функция y=f(x) именуется возрастающей на промежутке (a;b), в случае, если для любых x1 и x2 из этого промежутка таких, что x11, y=arctg x, y=arcsin x, 
(nIN) возрастают на всей собственной области определения.
График возрастающей функции
- Функция y = f(x) именуется убывающей на промежутке (a;b), в случае, если для любых x1 и x2 из этого промежутка таких, что x1f(x2). К примеру, функции y=ax, y=logax при 0
График убывающей функции
- Убывающие и возрастающие функции совместно образуют класс монотонных функций. Монотонные функции владеют рядом особых особенностей.
функция f(х), монотонная на отрезке [а,b], ограничена на этом отрезке;
- сумма возрастающих (убывающих) функций есть возрастающей (убывающей) функцией;
- в случае, если функция f возрастает (убывает) и n – нечетное число, то кроме этого возрастает (убывает);
- в случае, если f'(x)0 для всех xI(a,b), то функция y=f(x) есть возрастающей на промежутке (a,b);
- в случае, если f'(x)
- в случае, если f(x) – постоянная и монотонная функция на множестве Х, то уравнение f(x)=C, где С – эта константа, может иметь на Х не более одного решения;
- в случае, если на области определения уравнения f(x)=g(x) функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает, то уравнение не имеет возможности иметь более одного решения.
Теорема . (достаточное условие монотонности функции). В случае, если постоянная на отрезке [а, b] функция у = f(х) в каждой точке промежутка (а, b) имеет хорошую (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b].
Подтверждение. Пускай 0 для всех хI (а,b). Разглядим два произвольных значения x2 x1, принадлежащих [а, b]. По формуле Лагранжа х1 (с) 0 и х2 – х1 0, исходя из этого 0, откуда , другими словами функция f(х) возрастает на отрезке [а, b]. Подобно доказывается вторая часть теоремы.
Теорема 3. (нужный показатель существования экстремума функции). В случае, если дифференцируемая в точке c функция у = f(х) имеет в данной точке экстремум, то .
Подтверждение. Пускай, к примеру, функция у = f(х) имеет в точке c максимум. Это указывает, что существует такая проколотая окрестность точки c, что для всех точек x данной окрестности выполняется f(x) f(c), другими словами f (c) – громаднейшее значение функции в данной окрестности. Тогда по теореме Ферма .
Подобно доказывается случай минимума в точке c.
Замечание. Функция может иметь экстремум в точке, в которой ее производная не существует. К примеру, функция имеет минимум в точке x = 0, не смотря на то, что не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю либо не существует, именуются критическими точками функции. Но не во всех критических точках функция имеет экстремум. К примеру, функция у = x3 не имеет экстремумов, не смотря на то, что ее производная =0.
Теорема 4. (достаточный показатель существования экстремума). В случае, если постоянная функция у = f(x) имеет производную во всех точках некоего промежутка, содержащего критическую точку С (за исключением, возможно, самой данной точки), и в случае, если производная при переходе довода слева направо через критическую точку С меняет символ с плюса на минус, то функция в точке С имеет максимум, а при перемене символа с минуса на плюс – минимум.
Подтверждение. Пускай c – критическая точка и пускай, к примеру, при переходе довода через точку c меняет символ с плюса на минус. Это указывает, что на некоем промежутке(c–e; c) функция возрастает, а на промежутке (c; c+e) – убывает (при e 0). Следовательно, в точке с функция имеет максимум. Подобно доказывается случай минимума.
Замечание. В случае, если производная не меняет символа при переходе довода через критическую точку, то функция в данной точке не имеет экстремума.
Так как непрерывности и определения предела для функции нескольких переменных фактически сходится с соответствующими определениями для функции одной переменной, то для функций нескольких переменных сохраняются все непрерывных функций и свойства пределов