Теорема 3.5.(I теорема Больцано-Коши «о нулях функции»)
В случае, если функция f(x) выяснена и постоянна на отрезке [a; b] и на финишах его принимает значения различных знаков, то на этом отрезке найдется хотя бы одна точка с, в которой функция обращается в ноль:
f(c) = 0, a c b .
Геометрический суть данной теоремы в следующем: в случае, если постоянная кривая переходит из одной полуплоскости, на каковые ось ОХ разделяет координатную плоскость, на другую, то эта кривая непременно хотя бы раз пересекает ось ОХ (рис.11).
| Рис.11 |
Эта теорема, например, применяется при изучении существования корня заданного уравнения. К примеру, узнаем, имеет ли корень на отрезке [–1; 1] уравнение
х3 +5х +2 = 0.
Разглядим функцию f(x) = х3 +5х +2. Корень заданного уравнения – это число с такое, что f(c) = 0. Находим f(–1) = –4, f(1) = 8, следовательно, по теореме 3.4, корень уравнения на отрезке [–1; 1] имеется, т.е. сI[–1; 1].
Поделим отрезок пополам: [–1; 0] и [0; 1]. Так как f(0) = 2, то, в соответствии с той же теореме, сI [–1; 0]. Снова поделив отрезок [–1; 0] пополам и вычислив значение функции в точке деления, возможно отыскать еще более небольшой отрезок, в которого лежит искомое число с.
Продолжая такую операцию, возможно отыскать приближенное значение корня с любой точностью, выбрав в качестве корня любую из границ оказавшегося малого отрезка. Таковой метод отыскания корня именуют способом половинного деления (дихотомии).
Теорема 3.6.(II теорема Больцано-Коши «о промежуточном значении»)
В случае, если f(x) выяснена и постоянна на отрезке [a; b] и на финишах принимает хорошие друг от друга значения: f(a) = A, f(b) = B, A ? B, то для любого числа С, заключенного между А и В, найдется хотя бы одна точка сI[a; b] такая, что f(c) = C.
Суть данной теоремы в том, что постоянная функция, принимающая на финишах отрезка различные по величине значения А и В, принимает в точках этого отрезка и все промежуточные между А и В значения.
Разумеется, теорема 3.5. имеется частный случай теоремы 3.6.
Теорема 3.7.(Вейерштрасса)
В случае, если функция f(x) выяснена и постоянна на [a; b], то она достигает на этом отрезке собственных громаднейшего и мельчайшего значений, т.е. $ с1, с2I[a;b]: f(c1) = m, f(c2) = M и m ? f(x) ? M х I [a; b].
Следствие
Постоянная на отрезке [a; b] функция ограничена на нем.
Теорема3.8.
В случае, если функция f(x) выяснена, постоянна и строго возрастает (убывает) на отрезке [a ; b], то для нее существует обратная функция f–1(x), которая кроме этого постоянна и возрастает (убывает) на соответствующем отрезке.
4 Асимптоты графика функции
Определение 3.5.
Прямая L именуется асимптотой кривой Г, в случае, если, при удалении точки M(x, y) на протяжении кривой Г в бесконечность, расстояние между Г и L пытается к нулю.
Определение 3.6.
Прямая x = a именуется вертикальной асимптотой кривой y = f(x), в случае, если хотя бы один из пределов f(a + 0) и f(a – 0) нескончаемый.
 |
|||||
 |
|||||
 |
Из определения направляться, что вертикальными асимптотами графика функции y = f(x) являются прямые x = a, проходящие через точки нескончаемого разрыва (II рода) данной функции.
Определение 3.7.
Прямая y = kx + b именуется наклонной асимптотой кривой y = f(x) при x ® +¥ (-¥), в случае, если 
При, в то время, когда k = 0 наклонная асимптота делается горизонтальной.
Теорема 3.9.
Чтобы кривая y = f(x) имела наклонную асимптоту y = kx + b при x ® +¥(-¥), нужно и достаточно, дабы
и b = 
.
Разглядим на примере процедуру отыскания асимптот графика заданной функции.
Пример: Отыскать асимптоты графика функции 
.
Ответ: Область определения функции D(y) = (-¥;0)E(0;¥), значит, x = 0 – точка разрыва данной функции. Исследуем её темперамент. Вычислим односторонние пределы функции в данной точке:
, 
,
значит, x = 0 точка разрыва второго рода, следовательно, прямая x = 0 имеется вертикальная асимптота (двусторонняя).
Отыщем наклонные асимптоты. Имеем:
,
.
Увидим, что при x® +¥ разность между данной функцией и функцией у = 0,5х имеется отрицательная бесконечно малая, значит, кривая находится под прямой у = 0,5х, а при x ® –¥ – над данной прямой.
Так, прямая у = 0,5х имеется наклонная асимптота графика заданной функции (причем двусторонняя, т.е. и при x ® –¥, и при x ® +¥).
Ниже представлен график заданной функции и его асимптоты:
|