Системы координат на плоскости

Под совокупностью координат на плоскости знают правило, устанавливающее взаимно однозначное соотношение между точками плоскости и упорядоченными парами чисел, каковые именуют координатами исходной точки.

Совершим через фиксированную на плоскости точку O две несовпадающие прямые с единичными отрезками и заданными направлениями. В случае, если прямые пересекаются под прямым углом, то введенная совокупность координат именуется декартовой, либо прямоугольной, в другом случае – аффинной, либо косоугольной. Первая координата точки в таковой совокупности координат именуется абсциссой, вторая – ординатой. Точка пересечения координатных осей именуется началом координат.

В декартовой совокупности координат, в большинстве случаев, горизонтальную ось Ox именуют осью абсцисс, Oy – осью ординат.

Разглядим точку M на плоскости Oxy (рис. V.1). Вектор именуется радиус-вектором точки М. Дабы отыскать ее координаты нужно из данной точки опустить перпендикуляры на каждую из осей. Числа, соответствующие взятым точкам пересечения, и будут координатами точки . В случае, если точка лежит на оси Ox, то ее вторая координата равна 0, в случае, если на оси Oy, то – первая.

Второй фактически ответственной совокупностью координат есть полярная. Возьмем на плоскости геометрическую прямую Ox и зафиксируем на ней декартову совокупность координат Oxy. Начало назовем полюсом, а координатную ось – полярной осью. Разглядим произвольную точку M на плоскости. Ее положение будет конкретно выяснено, в случае, если задать расстояние r от начала координат до точки M и угол j, на что необходимо развернуть ось Ox около точки O против часовой стрелки до совмещения его направления с отрезком (рис. V.1).

Системы координат на плоскости

Рис. V.1

Полярными координатами точки M на плоскости именуется пара чисел . Число r именуется полярным радиусом, а число j – полярным углом. В большинстве случаев уверены в том, что

, .

В случае, если точка M сходится с началом, то угол j считается неизвестным.

С каждой полярной совокупностью координат связана декартовая (рис. V.1). Начало сходится с полюсом, ось абсцисс – с полярной осью, а ось ординат сходится с полярной осью, развёрнутой около полюса на угол .

Пускай точка M в декартовой совокупности координат имеет координаты , тогда связь с полярными запишется в виде

, .

Для обратной зависимости имеем соотношения

, Системы координат на плоскости ,

Системы координат на плоскости , Системы координат на плоскости .

Пример V.1. Кривая в полярной совокупности координат задана уравнением , где . Требуется выстроить график в полярной совокупности координат и записать уравнение данной кривой в декартовой совокупности координат.

Зафиксируем декартову совокупность координат Oxy и на оси абсцисс зададим полярную ось Ox с однообразным масштабом с декартовой совокупностью (рис. V.2).

Составим табл. 1 с ценой деления .

Таблица V.1

j p
r a a
j
r

Каждую несколько на полярной плоскости и соединим плавной кривой, которая именуется «двухлепестковой розой». Довольно часто для построения графика достаточно разглядеть узнаваемые значения тригонометрических функций 0, , , , и кратные им.

В декартовых координатах двухлепестковая роза посредством формул перехода записывается уравнением

Системы координат на плоскости

либо, по окончании элементарных преобразований, возьмём

.

Ясно, что в полярной совокупности координат построение графиков, относящихся к классу аналогичных кривых, менее трудоемко, чем в декартовой совокупности координат.

Системы координат на плоскости

Рис. V.2

Декартовы координаты на плоскости


Интересные записи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: