Вопросы
Кратные интегралы
1.1 Двойной интеграл: вычисление двойного интеграла в декартовых и в полярных координатах.
1.2 Приложения двойного интеграла к задачам геометрии.
1.3 Тройной интеграл: вычисление тройного интеграла в декартовых, цилиндрических координатах.
1.4 Приложения тройного интеграла к задачам геометрии.
Криволинейные и интегралы
2.1 Криволинейный интеграл 1-го рода: вычисление, приложения и свойства.
2.2 Криволинейный интеграл 2-го рода: свойства, вычисление, приложения. Формула Остроградского-Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути на плоскости.
Поверхностные интегралы
3.1 Фундаментальные особенности поверхностного интеграла 1 рода, вычисление.
3.2 Определение поверхностного интеграла 2 рода.
3.3 Фундаментальные особенности поверхностного интеграла 2 рода, вычисление.
3.4 Связь между поверхностными интегралами первого и второго родов.
3.5 Формула Остроградского-Гаусса.
3.6 Формула Стокса.
Теория поля
4.1 Поле. Скалярное поле. Векторное поле.
4.2 Характеристики скалярного поля: линии (поверхности) уровня, градиент, производная по направлению.
4.3 Характеристики векторного поля: векторные линии, дивергенция, поток, циркуляция, ротор, потенциал.
Теория последовательностей
5.1 Числовой последовательность. Сходимость. Неспециализированный член последовательности. Сумма последовательности. Достаточный показатель расходимости. Обобщенно-гармонический последовательность.
5.2 Показатели сходимости: показатели Даламбера, радикальный показатель Коши, интегральный показатель Коши, показатель сравнения.
5.3 Знакочередующиеся последовательности. Безотносительная и условная сходимость. Показатель Лейбница.
5.4 Степенные последовательности: радиус и интервал сходимости. Разложение функции в степенной последовательность. Использование к приближенным вычислениям.
5.5 Последовательность Фурье. Разложение функций в ряд Фурье.
Банк задач
Последовательности
1.1) Написать первые пять участников последовательности по заданному неспециализированному участнику: а) 
; б) 
.
2) Отыскать суммы последовательностей: а) 
; б) 
; в) 
.
3) Изучить последовательности на сходимость: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
, е) 
.
4) Изучить последовательности на полную сходимость:
а) 
; б) 
.
2.Отыскать область сходимости последовательностей. Узнать сходимость на финишах промежутка сходимости:а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
3. 1) Разложить в ряд Маклорена следующие функции (применяя «готовые» разложения):
а) ; б) ; в) ; г) ; д) 
; е) 
; ж) 
.
2) Вычислить приближенно с точностью до 0,001:
а) ; б) ; в) ; г) (выяснив );
ж) 
; з) 
; и) 
; к) 
.
4. 1) Разложить в ряд Фурье функцию y = 1+ на (-p,p) .
2) Разложить функцию в ряд Фурье y=x-1 , -2 2.
3) Разложить функцию в ряд Фурье y=2x , -1 1.
Кратные интегралы
1.Вычислить:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
2.1) Вычислить 
, в случае, если область ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
2) Вычислить 
, в случае, если область ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2.
3) Вычислить 
, в случае, если область интегрирования ограничена линиями ху=1, у = , х=2.
4) Вычислить 
, в случае, если область интегрирования 
.
5) Вычислить 
по области D, ограниченной линиями:
3.Отыскать площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
1) 
; 2) ; 3) ;
4)
4.1) Вычислить: 
.
2) Вычислить 
, где ограничена линиями
3) Вычислить интеграл 
, где 
, .
4) Вычислить интеграл 
, где .
5) Отыскать площадь фигуры, ограниченной линиями:
6) Отыскать площадь фигуры, ограниченной линиями:
5.1) Вычислить 
.
2) Вычислить 
где
3) Вычислить 
4) Вычислить количество тела , ограниченного поверхностями: , , .
5) Отыскать количество тела, заданного ограничивающими его поверхностями: .
6) Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями и имеющего плотность .
Криволинейные интегралы
1.1)Вычислить 
, где L – дуга параболы от т.А(2;7) до т.В(4;19);
2) 
, где L – кривая ; 3) 
, где L — 
2.1) Вычислить 
, в случае, если кривая интегрирования С: y=2×2; от А(1,2) до В(2,8).
2) Вычислить 
по кривой от точки до точки .
3) Вычислить 
, где — ломаная, проходящая через точки , , .
4) Вычислить 
, где L – линия, заданная уравнением 
.
5) Вычислить 
: 1) по дуге кубической параболы ; 2) по дуге . Результаты, полученные в заданиях 1 и 2 растолковать.
3.Вычислить криволинейные интегралы по формуле Грина:
1) 
2) 
, на протяжении контура треугольника светло синий, где А(1,2), В(1,5), С(3,5).
3) 
.
Поверхностные интегралы
1.
1) Вычислить 
, где — часть поверхности , отсеченной плоскостью .
2) Вычислить 
, где — часть плоскости , расположенной в четвертом октанте.
2.
1) Вычислить 
, где — верхняя сторона части плоскости, расположенной в 4ом октанте 
.
2) Вычислить 
, где — внешняя сторона поверхности , отсеченная плоскостями ,
3) Вычислить 
, где — верхняя сторона нижней половины сферы .
3.Вычислить интегралы, применив соответствующую теорему Остроградского-Гаусса либо Стокса
1) 
, где — окружность, заданная пересечением двух плоскости: и поверхностей цилиндра , обход по окружности производится в хорошем направлении относительно нормали к поверхности.
2) 
, где — контур треугольника с вершинами , , , в случае, если контур треугольника задать, как пересечение плоскости с координатными плоскостями .
3) 
, где — верхняя сторона куба, составленного плоскостями .
4) 
, где — поверхность цилиндра .
Теория поля
1. Дана точки и функция A1(-1;2;1), A2(3;1;-1)
Вычислить:
А) производную данной функции в точке A1 по направлению вектора ;
В) grad U(A1).
2. Вычислить поток векторного поля через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую координатными плоскостями и плоскостью посредством формулы Остроградского-Гаусса.
3. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру треугольника, взятого в следствии пересечения плоскости с координатными плоскостями, при хорошем направлении обхода довольно обычного вектора .
4. Вычислить циркуляцию векторного поля на протяжении контура , в направлении обхода – в сторону повышения параметра t.
5. Узнать, есть ли векторное поле гармоническим.
СТРУКТУРА БИЛЕТА: 14 ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЯ – ПО 1 БАЛЛУ, 6 ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ – ОТ 3 ДО 6 БАЛЛОВ.
ЧТО Возможно ПРИНЕСТИ НА ЭКЗАМЕН:
Поверхности.
Вопросы
Кратные интегралы
1.1 Двойной интеграл: вычисление двойного интеграла в декартовых и в полярных координатах.
1.2 Приложения двойного интеграла к задачам геометрии.
1.3 Тройной интеграл: вычисление тройного интеграла в декартовых, цилиндрических координатах.
1.4 Приложения тройного интеграла к задачам геометрии.
Криволинейные и интегралы
2.1 Криволинейный интеграл 1-го рода: вычисление, приложения и свойства.
2.2 Криволинейный интеграл 2-го рода: свойства, вычисление, приложения. Формула Остроградского-Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути на плоскости.
Поверхностные интегралы
3.1 Фундаментальные особенности поверхностного интеграла 1 рода, вычисление.
3.2 Определение поверхностного интеграла 2 рода.
3.3 Фундаментальные особенности поверхностного интеграла 2 рода, вычисление.
3.4 Связь между поверхностными интегралами первого и второго родов.
3.5 Формула Остроградского-Гаусса.
3.6 Формула Стокса.
Теория поля
4.1 Поле. Скалярное поле. Векторное поле.
4.2 Характеристики скалярного поля: линии (поверхности) уровня, градиент, производная по направлению.
4.3 Характеристики векторного поля: векторные линии, дивергенция, поток, циркуляция, ротор, потенциал.
Теория последовательностей
5.1 Числовой последовательность. Сходимость. Неспециализированный член последовательности. Сумма последовательности. Достаточный показатель расходимости. Обобщенно-гармонический последовательность.
5.2 Показатели сходимости: показатели Даламбера, радикальный показатель Коши, интегральный показатель Коши, показатель сравнения.
5.3 Знакочередующиеся последовательности. Безотносительная и условная сходимость. Показатель Лейбница.
5.4 Степенные последовательности: радиус и интервал сходимости. Разложение функции в степенной последовательность. Использование к приближенным вычислениям.
5.5 Последовательность Фурье. Разложение функций в ряд Фурье.
Банк задач
Последовательности
1.1) Написать первые пять участников последовательности по заданному неспециализированному участнику: а) ; б) .
2) Отыскать суммы последовательностей: а) ; б) ; в) .
3) Изучить последовательности на сходимость: а) ; б) ; в) ; г) ;
д) , е) .
4) Изучить последовательности на безотносительную сходимость:
а) ; б) .
2.Отыскать область сходимости последовательностей. Узнать сходимость на финишах промежутка сходимости:а) ; б) ; в) ; г) ; д)
3. 1) Разложить в ряд Маклорена следующие функции (применяя «готовые» разложения):
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .
2) Вычислить приближенно с точностью до 0,001:
а) ; б) ; в) ; г) (выяснив );
ж) ; з) ; и) ; к) .
4. 1) Разложить в ряд Фурье функцию y = 1+ на (-p,p) .
2) Разложить функцию в ряд Фурье y=x-1 , -2 2.
3) Разложить функцию в ряд Фурье y=2x , -1 1.
Кратные интегралы
1.Вычислить:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
2.1) Вычислить , в случае, если область ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
2) Вычислить , в случае, если область ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2.
3) Вычислить , в случае, если область интегрирования ограничена линиями ху=1, у = , х=2.
4) Вычислить , в случае, если область интегрирования .
5) Вычислить по области D, ограниченной линиями:
3.Отыскать площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
1) ; 2) ; 3) ;
4)
4.1) Вычислить: .
2) Вычислить , где ограничена линиями
3) Вычислить интеграл , где , .
4) Вычислить интеграл , где .
5) Отыскать площадь фигуры, ограниченной линиями:
6) Отыскать площадь фигуры, ограниченной линиями:
5.1) Вычислить .
2) Вычислить где
3) Вычислить
4) Вычислить количество тела , ограниченного поверхностями: , , .
5) Отыскать количество тела, заданного ограничивающими его поверхностями: .
6) Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями и имеющего плотность .
Криволинейные интегралы
1.1)Вычислить , где L – дуга параболы от т.А(2;7) до т.В(4;19);
2) , где L – кривая ; 3) , где L —
2.1) Вычислить , в случае, если кривая интегрирования С: y=2×2; от А(1,2) до В(2,8).
2) Вычислить по кривой от точки до точки .
3) Вычислить , где — ломаная, проходящая через точки , , .
4) Вычислить , где L – линия, заданная уравнением .
5) Вычислить : 1) по дуге кубической параболы ; 2) по дуге . Результаты, полученные в заданиях 1 и 2 растолковать.
3.Вычислить криволинейные интегралы по формуле Грина:
1)
2) , на протяжении контура треугольника ABC, где А(1,2), В(1,5), С(3,5).
3) .
Поверхностные интегралы
1.
1) Вычислить , где — часть поверхности , отсеченной плоскостью .
2) Вычислить , где — часть плоскости , расположенной в четвертом октанте.
2.
1) Вычислить , где — верхняя сторона части плоскости, расположенной в 4ом октанте .
2) Вычислить , где — внешняя сторона поверхности , отсеченная плоскостями ,
3) Вычислить , где — верхняя сторона нижней половины сферы .
3.Вычислить интегралы, применив соответствующую теорему Остроградского-Гаусса либо Стокса
1) , где — окружность, заданная пересечением двух плоскости: и поверхностей цилиндра , обход по окружности производится в хорошем направлении относительно нормали к поверхности.
2) , где — контур треугольника с вершинами , , , в случае, если контур треугольника задать, как пересечение плоскости с координатными плоскостями .
3) , где — верхняя сторона куба, составленного плоскостями .
4) , где — поверхность цилиндра .
Теория поля
1. Дана точки и функция A1(-1;2;1), A2(3;1;-1)
Вычислить:
А) производную данной функции в точке A1 по направлению вектора ;
В) grad U(A1).
2. Вычислить поток векторного поля через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую координатными плоскостями и плоскостью посредством формулы Остроградского-Гаусса.
3. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру треугольника, взятого в следствии пересечения плоскости с координатными плоскостями, при хорошем направлении обхода довольно обычного вектора .
4. Вычислить циркуляцию векторного поля на протяжении контура , в направлении обхода – в сторону повышения параметра t.
5. Узнать, есть ли векторное поле гармоническим.
СТРУКТУРА БИЛЕТА: 14 ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЯ – ПО 1 БАЛЛУ, 6 ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ – ОТ 3 ДО 6 БАЛЛОВ.
ЧТО Возможно ПРИНЕСТИ НА ЭКЗАМЕН:
Разложение функции в ряд Фурье.