Прямая и плоскость в линейном пространстве

Мы будем разглядывать евклидовое векторное линейное пространство, в котором изучаются прямая плоскость и линия.

При изучении линейного пространства было введено понятие подпространства, определенное как линейное пространство, состоящее, возможно, из меньшего числа базовых векторов. Это указывает, что все свойства пространства выполняются и для подпространства. В частности, любое подпространство должно содержать нуль-вектор. В случае, если в линейном пространстве введена совокупность координат, то не любая прямая плоскость и линия образуют подпространство. Ими будут плоскость и прямая, проходящие через начало. Данный факт показывает, что для изучения разных плоскостей и видов прямых нужно введение координатной совокупности.

Пускай на плоскости зафиксирована декартова совокупность координат Oxy и задана в ней прямая l (рис. V.4). Пускай дан ненулевой вектор перпендикулярный прямой l, другими словами . Вектор назовем обычным (либо нормалью) для прямой l. Все другие обычные векторы к l будут коллинеарны вектору .

Прямая и плоскость в линейном пространстве

Рис. V.4.

Пускай точка – точка на прямой. Каждая из точек прямой владеет тем свойством, что векторы и перпендикулярны, исходя из этого их скалярное произведение

. (V.1)

Так как , то из формулы (V.1) приобретаем

либо

, (V.2)

где .

Уравнение именуется неспециализированным уравнением прямой, поскольку всякое уравнение вида (V.2) определяет прямую, и напротив.

Разглядим линейную функцию двух переменных. Пускай ее вид

. (V.3)

Но данной функции «тесно» на плоскости. Пускай дано линейное векторное трехмерное пространство ?. Введем декартову совокупность координат Oxyz и по аналогии с прошлым зададим обычный вектор . Потому, что областью определения уравнения (V.3) есть геометрическая плоскость, то уравнение (V.3) определяет плоскость P в пространстве и .

По окончании задания точки , учитывая условие перпендикулярности векторов, для любой точки , лежащей на плоскости P, подобно будем иметь

, (V.4)

обозначая , приобретаем уравнение (V.3), которое назовем неспециализированным уравнением плоскости. Так, по заданному точке и нормальному вектору на прямой l мы конкретно можем выяснить прямую на плоскости и плоскость в пространстве.

Узнаем, как связаны между собой два неспециализированных уравнения, определяющие одну и ту же плоскость либо прямую.

Пускай имеем совокупность

Прямая и плоскость в линейном пространстве (V.5)

, и ненулевые обычные векторы , . Так как все обычные векторы к заданной точке коллинеарны, то их координаты пропорциональны, то допустим, к примеру,

либо, что то же самое,

, , , .

Умножая второе уравнение формулы (направляться.5) на t и складывая с первым, возьмём

.

Вывод: коэффициенты неспециализированных уравнений одной плоскости пропорциональны.

Определение. Неспециализированное линейное уравнение именуется полным в случае, если все его коэффициенты ненулевые.

Пример V.3. 1) По внешнему виду уравнения (V.5) смогут быть полными.

2) Уравнение плоскости (рис. V.5)

соответствует определению и потому полное.

Прямая и плоскость в линейном пространстве

Рис. V.5

Пример V.4.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Ответ.Применяя формулу (V.4), имеем , откуда по окончании преобразований возьмём .

Это уравнение первой степени и имеется искомое уравнение плоскости.

114. Решение типовых задач по теме Прямая и плоскость в пространстве


Интересные записи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: