Определители второго и третьего порядков

Министерство сельского хозяйства РФ

Федеральное национальное образовательное учреждение

высшего образования

«Саратовский национальный аграрный университет

Имени Н.И. Вавилова»

МАТЕМАТИКА

Краткий курс лекций

для студентов 1 курса

Саратов 2016

Лекция 1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ

Понятие определителей

Определителем второго порядканазывается число, приобретаемое следующим образом: a11a22 – a12a21. Определитель обозначается знаком

.

Итак, чтобы отыскать определитель второго порядка необходимо из произведения элементов основной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Определителем третьего порядка именуется число, обозначаемое и приобретаемое следующим образом:

.

Так, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Подобно возможно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, наряду с этим символы + и – у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая являются таблицей чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Свойства определителей

1. Определитель не изменяется, в случае, если заменить его строки столбцами и обратно, к примеру, для определителя третьего порядка

.

2. При перестановке 2-х строчков либо столбцов определитель поменяет символ на противоположный, т.е., к примеру,

3.В случае, если определитель имеет две однообразные строчки либо столбца, то он равен нулю.

.

4.Неспециализированный множитель строчка либо столбца возможно выносить за символ определителя.

.

5.В случае, если все элементы какой–или строки либо столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю.

6.В случае, если все элементы какой–или строки либо столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель возможно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, к примеру,

.

7.В случае, если к какой–или строке (либо столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы второй строки (либо столбца), умноженные на одно и также число, то определитель не поменяет собственной величины. К примеру,

.

Эти свойства определителей частенько употребляются при вычислении определителей и в разных задачах.

Лекция 2

МАТРИЦЫ

Действия над матрицами

Равенство матриц. Две матрицы A и B именуются равными, если они имеют однообразное число столбцов и строк и их соответствующие элементы равны aij = bij. Так в случае, если и , то A=B, в случае, если a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 и a22 = b22.

Транспонирование. Разглядим произвольную матрицу A из m строчков и n столбцов. Ей возможно сопоставить такую матрицу B из n строчков и m столбцов, у которой любая строчок есть столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, любой столбец есть строчком матрицы A с тем же номером). Итак, в случае, если

, то .

Эту матрицу B именуют транспонированнойматрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Так, транспонирование – это перемена ролями столбцов и строк матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, в большинстве случаев обозначают AT.

Связь между матрицей A и её транспонированной возможно записать в виде .

Сложение матриц. Пускай матрицы A и B складываются из однообразного одинакового числа и числа строк столбцов, т.е. имеют однообразные размеры. Тогда чтобы сложить матрицы A и B необходимо к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Так, суммой двух матриц A и B именуется матрица C, которая определяется по правилу, к примеру,

либо

Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу A на число k необходимо любой элемент матрицы A умножить на это число. Так, произведение матрицы A на число k имеется новая матрица, которая определяется по

Правилу

либо .

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по необычному закону. В первую очередь, увидим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать возможно лишь те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы сходится с числом строчков второй матрицы. Произведением матрицы A не матрицу B именуется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

Так, к примеру, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c13, необходимо в 1-ой матрице забрать 1-ую строчок, во 2-ой – 3-й столбец, и после этого элементы строчка умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются посредством подобного произведения строчков первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m?n на матрицу B = (bij) размера n?p, то возьмём матрицу C размера m?p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в следствии произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила направляться, что в любой момент возможно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в следствии возьмём квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу в любой момент возможно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Вторым серьёзным случаем есть умножение матрицы–строчка на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в следствии возьмём матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Вправду,

.

Легко кроме этого проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка снова возьмём матрицу A, причём AE=EA=A.

Обратная матрица

Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратных матриц.

В случае, если A – квадратная матрица, то обратнойдля неё матрицей именуется матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию . (Это определение вводится по аналогии с умножением чисел)

Честна следующая теорема:

Теорема.Чтобы квадратная матрица A имела обратную, нужно и достаточно, дабы её определитель был отличен от нуля.

Итак, дабы отыскать обратную матрицу необходимо:

1. Отыскать определитель матрицы A.

2. Отыскать алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы A и составить матрицу , элементами которой являются числа Aij.

3. Отыскать матрицу, транспонированную взятой матрице , и умножить её на — это и будет обратная матрица .

Подобно для матриц второго порядка, обратной будет следующая матрица .

Лекция 3

Главные понятия

Совокупностью m линейных уравнений с n малоизвестными именуется совокупность вида

где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – кое-какие узнаваемые числа, а x1,…,xn – малоизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер малоизвестного, при котором стоит данный коэффициент.

Коэффициенты при малоизвестных будем записывать в виде матрицы

, которую назовём матрицей совокупности.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm именуются свободными участниками.

Совокупность n чисел c1,…,cn именуется ответом данной совокупности, в случае, если каждое уравнение совокупности обращается в равенство по окончании подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих малоизвестных x1,…,xn.

Отечественная задача будет заключаться в нахождении ответов совокупности. Наряду с этим смогут появиться три ситуации:

1. Совокупность может иметь единственное ответ.

2. Совокупность может иметь нескончаемое множество ответов.

3. Совокупность по большому счету не имеет решения.

Совокупность линейных уравнений, имеющая хотя бы одно ответ, именуется совместной. В другом случае, т.е. в случае, если совокупность не имеет ответов, то она именуется несовместной.

Способ Крамера

Разглядим совокупность 3-х линейных уравнений с тремя малоизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице совокупности, т.е. составленный из коэффициентов при малоизвестных,

именуется определителем совокупности.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных участников

Теорема (правило Крамера).

В случае, если определитель совокупности ? ? 0, то разглядываемая совокупность имеет одно и лишь одно ответ, причём

Способ Гаусса

Ранее рассмотренные способы возможно использовать при ответе лишь тех совокупностей, в которых число уравнений сходится с числом малоизвестных, причём определитель совокупности должен быть отличен от нуля. Способ Гаусса есть более универсальным и пригоден для совокупностей с любым числом уравнений. Он содержится в последовательном исключении малоизвестных из уравнений совокупности.

Снова разглядим совокупность из трёх уравнений с тремя малоизвестными:

.

Первое уравнение покинем без трансформации, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, которые содержат x1. Для этого второе уравнение поделим на а21 и умножим на –а11, а после этого сложим с 1-ым уравнением. Подобно третье уравнение поделим на а31 и умножим на –а11, а после этого сложим с первым. В следствии исходная совокупность примет вид:

Сейчас из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение поделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь совокупность уравнений:

Из этого из последнего уравнения легко отыскать x3, после этого из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При применении способа Гаусса уравнения при необходимости возможно поменять местами.

Довольно часто вместо того, дабы писать новую совокупность уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу совокупности:

и после этого приводят её к треугольному либо диагональному виду посредством элементарных преобразований.

Кэлементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строчков либо столбцов;

2. умножение строчка на число, хорошее от нуля;

3. прибавление к одной строке другие строки.

Лекция 4

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Неспециализированное уравнение прямой.

Каждая прямая на плоскости возможно задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю в один момент, т.е. А2 + В2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка именуют неспециализированным уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С вероятны следующие частные случаи:

— C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

— А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

— В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

— В = С = 0, А ¹ 0 – прямая сходится с осью Оу

— А = С = 0, В ¹ 0 – прямая сходится с осью Ох

Уравнение прямой возможно представлено в разном виде в зависимости от каких – или заданных начальных условий.

Лекция 5

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Предел функции в точке.

y f(x)

A + e

A

A — e

0 a — D a a + D x

Рисунок 1. Предел функции в точке.

Пускай функция f(x) выяснена в некоей окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция возможно и не выяснена)

Определение. Число А именуется пределом функции f(x) при х®а, в случае, если для любого e0 существует такое число D0, что для всех х таких, что

0 ix — ai D

правильно неравенство if(x) — Ai e.

То же определение возможно записано в другом виде:

В случае, если а — D x не сильный + D, x ¹ a, то правильно неравенство А — e f(x) A + e.

Запись предела функции в точке:

Определение.

В случае, если f(x) ® A1 при х ® а лишь при x a, то — именуется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а вдруг f(x) ® A2 при х ® а лишь при x a, то именуется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

Приведенное выше определение относится к случаю, в то время, когда функция f(x) не выяснена в самой точке х = а, но выяснена в некоей сколь угодно малой окрестности данной точки.

Пределы А1 и А2 именуются кроме этого односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Кроме этого говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Лекция 6

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Понятие производной

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 именуется предел отношения приращения функции в данной точке к приращению довода, в случае, если приращение довода пытается к нулю.

у

f(x)

f(x0 +Dx) P

Df

f(x0) M

a b Dx

0 x0 x0 + Dx x

Рисунок 2. Геометрический суть производной.

Пускай f(x) выяснена на некоем промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где a — угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

Практически производная функции показывает как бы скорость трансформации функции, как изменяется функция при трансформации переменной.

Физический суть производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон перемещения (трансформации координат) – мгновенная скорость перемещения.

Соответственно, вторая производная функции — скорость трансформации скорости, т.е. ускорение.

Теорема. (Нужное условие существования производной) В случае, если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она постоянна в данной точке.

Ясно, что это условие не есть достаточным.

Дифференциал функции.

Пускай функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда возможно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно: .

Величина aDx- бесконечно малая более большого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- основная часть приращения Dу.

Правило Лопиталя.

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

Теорема (правило Лопиталя). В случае, если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, постоянны в точке а, g¢(x) хороша от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, в случае, если данный предел (конечный либо нескончаемый) существует.

Лекция 7

Теорема.

1) В случае, если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

2) В случае, если функция f(x) постоянна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) 0 для a x b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Подобно возможно сделать вывод о том, что в случае, если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f¢(x)?0 на этом отрезке. В случае, если f¢(x)

Само собой разумеется, данное утверждение справедливо, в случае, если функция f(x) постоянна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (a, b).

Эту теорему возможно проиллюстрировать геометрически:

y y

j j j j

x x

Рисунок 4. убывания функции признака и Геометрическая иллюстрация возрастания.

Точки экстремума.

Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, в случае, если ее значение в данной точке больше значений во всех точках некоего промежутка, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, в случае, если f(x2 +Dx) f(x2) при любом Dх (Dх возможно и отрицательным).

Асимптоты.

При изучении функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоей прямой.

Вертикальные асимптоты.

Из определения асимптоты направляться, что в случае, если либо либо , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

Наклонные асимптоты.

В случае, если существуют и конечны следующие пределы

. ,

то кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

Напомним, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Схема изучения функций

Процесс изучения функции имеет несколько этапов. Для самоё полного представления о характере и поведении функции ее графика нужно найти:

1) Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область определения и область значений функции.

2) Точки разрыва. (Если они имеются).

3) убывания и Интервалы возрастания.

4) минимума и Точки максимума.

5) Большое и минимальное значение функции на ее области определения.

6) вогнутости и Области выпуклости.

7) Точки перегиба.(Если они имеются).

8) Асимптоты.(Если они имеются).

9) Построение графика.

Лекция 8

НЕИЗВЕСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ

Первообразная функция.

Определение: Функция F(x) именуется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], в случае, если в любой точке этого отрезка правильно равенство:

F¢(x) = f(x).

Нужно подчернуть, что первообразных для одной и той же функции возможно вечно довольно много. Они будут различаться друг от друга на некое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

Неизвестный интеграл.

Определение: Неизвестным интегралом функции f(x) именуется совокупность первообразных функций, каковые выяснены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неизвестного интеграла на некоем отрезке есть непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

1.

2.

3.

4. где u, v, w – кое-какие функции от х.

5.

Таблица интегралов

Таблица 1 – Интегралы некоторых элементарных функций

Интеграл Значение Интеграл Значение
-ln½cosx½+C ex + C
ln½sinx½+ C sinx + C

Продолжение таблицы 1

Интеграл Значение Интеграл Значение
-cosx + C
tgx + C
-ctgx + C
ln arcsin + C

Способы интегрирования.

Разглядим три главных способа интегрирования.

Интегрирование по частям.

Метод основан на примении формулы интегрирования по частям ;

Пример.

Как видно, последовательное использование формулы интегрирования по частям разрешает понемногу упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Вопросы для самоконтроля

1. неопределённый интеграл и Первообразная функция, его геометрический суть.

2. Свойства неизвестного интеграла.

3. Таблица интегралов некоторых функций.

4. Способ подстановки (замены переменной) в неизвестном интеграле.

5. Интегрирование по частям в неизвестном интеграле.

6. Интегрирование рациональных дробей.

Лекция 9

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

8)

7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

Очевидно, это равенство выполняется, в случае, если существует любой из входящих в него интегралов.

8)

Замена переменной.

Пускай задан интеграл , где f(x) – постоянная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = j(t).

Тогда в случае, если

1) j(a) = а, j(b) = b

2) j(t) и j¢(t) постоянны на отрезке [a, b]

3) f(j(t)) выяснена на отрезке [a, b], то

Тогда

Интегрирование по частям.

В случае, если функции u = j(x) и v = y(x) постоянны на отрезке [a, b], и постоянны на этом отрезке их производные, то честна формула интегрирования по частям:

Министерство сельского хозяйства РФ

Федеральное национальное образовательное учреждение

высшего образования

«Саратовский национальный аграрный университет

Имени Н.И. Вавилова»

МАТЕМАТИКА

Краткий курс лекций

для студентов 1 курса

Саратов 2016

Лекция 1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ

Понятие определителей

Определителем второго порядканазывается число, приобретаемое следующим образом: a11a22 – a12a21. Определитель обозначается знаком

.

Итак, чтобы отыскать определитель второго порядка необходимо из произведения элементов основной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Определителем третьего порядка именуется число, обозначаемое и приобретаемое следующим образом:

.

Так, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Подобно возможно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, наряду с этим символы + и – у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая являются таблицей чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Свойства определителей

1. Определитель не изменяется, в случае, если заменить его строки столбцами и обратно, к примеру, для определителя третьего порядка

.

2. При перестановке 2-х строчков либо столбцов определитель поменяет символ на противоположный, т.е., к примеру,

3.В случае, если определитель имеет две однообразные строчки либо столбца, то он равен нулю.

.

4.Неспециализированный множитель строчка либо столбца возможно выносить за символ определителя.

.

5.В случае, если все элементы какой–или строки либо столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю.

6.В случае, если все элементы какой–или строки либо столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель возможно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, к примеру,

.

7.В случае, если к какой–или строке (либо столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы второй строки (либо столбца), умноженные на одно и также число, то определитель не поменяет собственной величины. К примеру,

.

Эти свойства определителей частенько употребляются при вычислении определителей и в разных задачах.

Определитель второго порядка и его свойства


Интересные записи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: