Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Теорема 2:Сумма произведений элементов некоторой строки квадратной матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Теорема 100: Определитель, в котором все элементы одной из строк (столбцов), кроме одного, равны нулю равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение.

Пример 1 Найти определитель матрицы A:

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Решение:

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Задачи для решения

1 Найдите определитель 2-го порядка:

а) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ; б) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ; в) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ; г) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ;

д) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ; е) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. .

2 Найдите определитель 3-го порядка:

а) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ; б) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ; в) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ;

г) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ; д) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ; е) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

ж) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ; з) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ; и) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ;

к) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. л) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. м) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

3 Найдите определитель 4-го порядка:

а) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. б) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. в) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. г) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

д) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. е) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

4 Найдите определитель 5-го порядка:

а) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. б) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. в) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

5 Решите уравнения, пользуясь соответствующими свойствами определителя (не применяя правило Саррюса):

а) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. б) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. в) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

г) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. д) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. е) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

6 Вычислить определители, разложив их по элементам строки (столбца), содержащей буквы:

а) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. б) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. в) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

7 Путем разложения по элементам третьей строки вычислить:

а) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ; б) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ; в) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Тема 3 Обратная матрица. Вырожденные и невырожденные матрицы. Обратная матрица и ее вычисление. Матричные уравнения

Пусть A – квадратная матрица.

Матрица B называется обратной к матрице A, если Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Обратная матрица обозначается A-1 и Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. .

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Уравнение вида Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. называют простейшим матричным уравнением. Если A – квадратная невырожденная матрица, то решением такого уравнения будет матрица .

Если уравнение имеет вид , то .

Пример 1 Найти матрицу обратную данной: Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Решение

1) Найдем определитель матрицы A.

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Следовательно, матрица А невырожденная и имеет себе обратную.

2) Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы A.

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

3) Запишем A-1:

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

4) Выполним проверку:

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример 2 Решить матричное уравнение: Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Решение

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Задачи для решения

1 Найти матрицу, обратную данной:

а) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. б) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. в) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. г) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. д) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

е) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ж) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. з) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. и) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

к) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. л) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. м) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. н) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

о) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. п) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. .

2 Решите матричное уравнение:

а) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. б) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

в) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. г) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

д) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. е) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

ж) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. з) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

и) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. к) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. .

Раздел 3 Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений

Тема 1 Решение системы n – линейных уравнений с n неизвестными в матричном виде

Пусть дана система линейных уравнений:

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Матрица А коэффициентов при неизвестных называется главной матрицей системы.

Свободные члены и неизвестные можно записать в виде столбцевых матриц:

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Тогда, используя правило умножение матриц, эту систему уравнений можно записать так:

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

или

A·X = B (1)

Равенство (1) называется матричным уравнением или системой уравнений в матричном виде.

Отсюда

Х = B.

Таким образом, чтобы решить систему уравнение, нужно:

1) Найти обратную матрицу .

2) Найти произведение обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов В, т. e. Х = B.

Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

Пример Решить систему уравнений:

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Х = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. , B = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. , A = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Найдем обратную матрицу А-1.

D = = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. 5 2 2 + (-1) 3 4 + (-1) 1 3 — ((-1) 2 4 + 5 3 3 + 1 (-1) 2) =

= 20 — 12 — 3 — (- 8 + 45 — 2) = 5-35 = -30.

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. = — 5; A21 = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ; A31 = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

A12 = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. A22 = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ; A32 = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ;

A13 = • Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ; A23 = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. A33 = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

A-1 = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ;

Cделаем проверку:

A?A-1 = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. =E.

Находим матрицу Х.

Х = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. = А-1В = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ? Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. = Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. .

Проверка:

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. (верно)

Решением системы является набор (1, 2, 3): x = 1; y = 2; z = 3.

Задачи для решения

1 Решить системы линейных уравнений матричным методом

а) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. б) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. в) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

г) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. д) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. е) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

2 Решить системы линейных уравнений

а) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. б) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

в) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. г) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

д) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. е) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Тема 2 Правило Крамера

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Обозначим через ? и ?j определитель матрицы системы и определители, полученные из определителя ? заменой j-го столбца столбцом свободных членов системы:

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Если определитель матрицы системы отличен от нуля, ??0, то решение системы определяется равенствами:

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример Решим по правилу Крамера систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Запишем матрицу системы, столбец свободных членов и вычислим определитель матрицы системы:

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. .

Определитель матрицы системы отличен от нуля. Система имеет единственное решение. Вычислим его по формулам Крамера. Для этого найдем определители Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. .

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. .

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. .

Проверим:

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. .

1 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:

а) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. б) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. в) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

г) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. д) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. ж) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

з) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. и) Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Миноры и алгебраические дополнения


Интересные записи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: