Непрерывность функции одной переменной

Пример. Отыскать точки разрыва функции. Выстроить чертеж.

Непрерывность функции одной переменной в случае, если Непрерывность функции одной переменной

Ответ. Конечно, что на промежутках и функция постоянна. Проверке подлежат лишь точки и .

Чтобы убедиться, что функция постоянна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в данной точке.

Разглядим точку .

.

Вычислим односторонние пределы

,

.

Так как односторонние пределы не совпадают, — точка разрыва функции.

Разглядим точку .

,

с,

,

— точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности.

Непрерывность функции одной переменной

Рис. 1

Пример.Изучить поведение функции вблизи точки разрыва. Выстроить схематический чертеж.

Непрерывность функции одной переменной .

Ответ. Область определения функции

. Точка разрыва .

Отыщем односторонние пределы

Непрерывность функции одной переменной ; Непрерывность функции одной переменной .

Символ предела зависит от знаков знаменателя и числителя дроби. И в том и другом случае числитель , но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается хорошим. Схематичный чертеж представлен на рис. 2.

Непрерывность функции одной переменной

Рис. 2

дифференциал и Производная функции одной переменной

Пример. Пользуясь формулами дифференцирования, отыскать производные следующих функций: Непрерывность функции одной переменной .

Ответ.

1. Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной

Непрерывность функции одной переменной

2. имеется сложная функция.

, где .

Производная сложной функции имеет форму

Непрерывность функции одной переменной либо .

Следовательно,

.

Непрерывность функции одной переменной — сложная функция.

, где , а ,

Непрерывность функции одной переменной .

Пример. Отыскать дифференциалы функций

1. ; 2. Непрерывность функции одной переменной , вычислить .

Ответ. Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал свободной переменной, возьмём искомый дифференциал данной функции:

1. ;

2. Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной

Непрерывность функции одной переменной

Полагая и , возьмём Непрерывность функции одной переменной .

Пример.Отыскать пределы, применяя правило Лопиталя

1. Непрерывность функции одной переменной ;

2. Непрерывность функции одной переменной ;

3. Непрерывность функции одной переменной ;

4. Непрерывность функции одной переменной .

Ответ. Убедившись, что имеет место неопределенность либо , используем после этого правило Лопиталя.

1. Непрерывность функции одной переменной ;

2. Непрерывность функции одной переменной ;

— тут правило Лопиталя применено два раза.

3. Непрерывность функции одной переменной

Непрерывность функции одной переменной

4. Непрерывность функции одной переменной .

построение поведения и Исследование функции её графика

Пример.Изучить функцию Непрерывность функции одной переменной и выстроить её график.

Ответ. 1. Функция выяснена и постоянна в промежутках Непрерывность функции одной переменной .

2. Функция неспециализированного вида, поскольку

Непрерывность функции одной переменной .

3. График функции не пересекается с осью OХ, а с осью OY пересекается при x = 0,

y= -2, т.е. в точке В(0; -2).

4. Исследуем функцию на наличие асимптот.

а) Уравнение вертикальной асимптоты: Непрерывность функции одной переменной .

Вычислим пределы функции при Непрерывность функции одной переменной слева и справа.

Непрерывность функции одной переменной .

Непрерывность функции одной переменной .

б) Уравнение наклонной асимптоты имеет форму y = kx + b, где

Непрерывность функции одной переменной .

Непрерывность функции одной переменной

Непрерывность функции одной переменной

Так, уравнение наклонной асимптоты Непрерывность функции одной переменной .

5. Исследуем функцию на экстремум.

Непрерывность функции одной переменной

— точки, странные на экстремум.

Исследуем символ производной в промежутках, окружающих странные точки.

Непрерывность функции одной переменной

Рис. 3.

Взяли, что в точке х=-1 возрастание функции сменяется убыванием, следовательно, это точка максимума. В точке х=2 убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума (рис. 3).

Непрерывность функции одной переменной ; Непрерывность функции одной переменной .

6. Исследуем график функции на вогнутость и выпуклость.

Непрерывность функции одной переменной

Точек перегиба нет, поскольку .

Исследуем символ второй производной в промежутках, где функция выяснена, (смотрите пункт 1. этого примера) (рис. 4).

Непрерывность функции одной переменной

Рис. 4.

Основываясь на взятых итогах изучения, строим график функции.

Непрерывность функции одной переменной

Рис. 5

Запомните таблицу главных формул и правил дифференцирования.

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

Непрерывность функции одной переменной
Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
Непрерывность функции одной переменной
Непрерывность функции одной переменной
Непрерывность функции одной переменной
Непрерывность функции одной переменной

Правила дифференцирования

Непрерывность функции одной переменной

Контрольная работа 2

1. Отыскать указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

а б в
1.01 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.02 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.03 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.04 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.05 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.06 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.07 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.08 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.09 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.10 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.11 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.12 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.13 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.14 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.15 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.16 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.17 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.18 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.19 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
1.20 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной

2. Отыскать точки разрыва функции, если они существуют:

а) сделать чертеж функции;

б) сделать схематический чертеж около точки разрыва.

2.01 Непрерывность функции одной переменной 2.11 Непрерывность функции одной переменной
2.02 Непрерывность функции одной переменной 2.12 Непрерывность функции одной переменной
2.03 Непрерывность функции одной переменной 2.13 Непрерывность функции одной переменной
2.04 Непрерывность функции одной переменной 2.14 Непрерывность функции одной переменной
2.05 Непрерывность функции одной переменной 2.15 Непрерывность функции одной переменной
2.06 Непрерывность функции одной переменной 2.16 Непрерывность функции одной переменной
2.07 Непрерывность функции одной переменной 2.17 Непрерывность функции одной переменной
2.08 Непрерывность функции одной переменной 2.18 Непрерывность функции одной переменной
2.09 Непрерывность функции одной переменной 2.19 Непрерывность функции одной переменной
2.10 Непрерывность функции одной переменной 2.20 Непрерывность функции одной переменной

3. Отыскать производные Непрерывность функции одной переменной данных функций.

а б в
3.01 Непрерывность функции одной переменной
3.02 Непрерывность функции одной переменной
3.03 Непрерывность функции одной переменной
3.04 Непрерывность функции одной переменной
3.05 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
3.06 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
3.07 Непрерывность функции одной переменной
3.08 Непрерывность функции одной переменной
3.09 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
3.10 Непрерывность функции одной переменной
3.11 Непрерывность функции одной переменной
3.12 Непрерывность функции одной переменной
3.13 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
3.14 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
3.15
3.16 Непрерывность функции одной переменной
3.17 Непрерывность функции одной переменной
3.18 Непрерывность функции одной переменной
3.19 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
3.20 Непрерывность функции одной переменной

4. Изучение функции:

а) отыскать экстремумы функции;

б) способами дифференциального исчисления изучить функцию

И, применяя результаты изучения, выстроить ее график.

а б а б
4.01 Непрерывность функции одной переменной 4.11 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
4.02 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной 4.12 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
4.03 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной 4.13 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
4.04 Непрерывность функции одной переменной 4.14 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
4.05 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной 4.15 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
4.06 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной 4.16 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
4.07 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной 4.17 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
4.08 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной 4.18 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
4.09 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной 4.19 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной
4.10 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной 4.20 Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции одной переменной

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. Артур Шарифов


Интересные записи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: