Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача

Неоднородная краевая задача.

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . (1)

,

где:

u(x,t) – температура стержня;

х – пространственная переменная;

a2 – коэффициент температуропроводности;

f(x,t) – внешнее действие.

Начальные условия:

; (2)

;

Граничные условия:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача (3)

Будем искать ответ данной задачи в виде последовательности Фурье по собственным функциям Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача вида:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . (4)

Представим функцию кроме этого в виде последовательности Фурье по данной ортогональной совокупности:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . (5)

где:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . (6)

Выражения (4), (5) подставим в уравнение (1), будем иметь:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача .

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . (7)

направляться обратить внимание на то, что последовательность (7) будет равен нулю, в случае, если все коэффициенты этого последовательности будут равны нулю, поскольку Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . Тогда с учетом этого запишем:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . (8)

Взяли неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

Отыщем начальные условия для уравнения (8) на базе соотношений (2),(4).

. (9)

Будем решать уравнения (8), (9):

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . (10)

Подставим (10) в (4), возьмём:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . (11)

Преобразуем (11) с учетом (6), будем иметь:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача .

Либо

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . (12)

Запишем функцию мгновенного точечного источника:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача .

Приведем решение:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . (13)

Функция G является распределением температуры в стержне в момент времени, в случае, если температура в начальный момент времени ( ) равнялась нулю и в момент времени в точке выделяется некое количество тепла в виде — импульса и наряду с этим на краях поддерживается нулевая температура.

Запишем следующее:

. (14)

В случае, если подставить (14) в (13) будем иметь:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача .

Неспециализированная краевая задача.

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача , (1)

.

Начальные условия:

. (2)

Граничные условия:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . (3)

Введем в рассмотрение выражение вида:

. (4)

где — главная функция;

— запасной функция.

Подставим (4) в (1), будем иметь:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . (5)

Совершим следующие преобразования с (5):

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . (6)

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . (7)

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . (8)

Так, функция определяется уравнением (8), которое будем разглядывать при граничных условиях, взятых на основании (2-4).

Выразим из (4) :

. (9)

Имея начальные условия (2), запишем:

. (10)

Кроме этого на основании (3) возможно записать:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача (11)

Выберем запасного функцию так, дабы:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача (12)

Итак, нахождение функции связано с нахождением функции , которая находится как ответ краевой задачи при нулевых граничных условиях. Способ ее нахождения нами был рассмотрен ранее.

В случае, если начальные условия ненулевые, то к этому ответу нужно прибавить ответ однородного уравнения при ненулевых начальных условиях (это справедливо для всех задач, разглядываемых в этом курсе).

Приведем рассмотренные виды задач и соответствующие им решения:

Однородная краевая задача

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача .

Начальные условия:

.

Граничные условия:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача .

Ответ:

.

Неоднородная краевая задача

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача .

Начальные условия:

.

Граничные условия:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача .

Ответ:

.

При ответ примет вид:

.

Неспециализированная краевая задача

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача .

Начальные условия:

.

Граничные условия:

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача

Метод ответа:

1. .

2. Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача .

.

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача .

Находится ответ:

.

3. Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача .

.

Находится ответ:

.

4. .

5. .

Получено ответ неоднородной и неспециализированной краевой задачи. Неспециализированная краевая задача решается как неоднородная краевая задача при нулевых начальных условиях.

Лекция 6.

Применение интегрального преобразования Лапласа

Для анализа СРП.

Главные понятия.

Способ преобразования Лапласа пребывает в том, что изучается не сама функция (оригинал), а её видоизменение (изображение). Это видоизменение – преобразование – производится при помощи умножения на некую интегрирования и экспоненциальную функцию в определенных пределах.

Пускай изучаемая функция имеется кусочно-постоянная функция вещественной переменной . Кусочно-постоянной функцией именуют однозначную функцию, имеющую в конечном промежутке ( ) конечное число разрывов непрерывности в точках . В каждом промежутке ( ) функция постоянна, причем она стремиться к конечному пределу при приближении к границе.

Функцию именуют оригиналом функции.

Преобразование Лапласа функции будет пребывать в умножении её на и интегрировании в пределах от 0 до :

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача (1)

где — некая комплексная величина. В следствии интегрирования возьмём некую функцию , которая именуется преобразованной функцией по Лапласу, либо изображением функции.

Так, преобразование Лапласа есть интегральным преобразованием; это преобразование изображается знаком :

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача (2)

Причем изображение существует, в случае, если интеграл (1) сходиться.

Для упрощения главных соотношений ограничим класс разглядываемых функций. Функцию принимают кусочно-постоянной и хорошей от 0 лишь при . Величина обозначает в будущем , а равна нулю. Потом из класса кучно-постоянных функций выделяем под класс функций, характеризуемых тем, что асимптотические значения функции при меньше асимптотического значения функции , где , т. е. при большом :

(3)

либо

(4)

где — некое конечное положительное число.

При указанных ограничениях, накладываемых на функцию , интеграл (1) есть регулярной функцией от s в правой полуплоскости от прямой , т. е. функция имеет производные всех порядков в указанной области и все её особенные точки находятся в комплексной плоскости от прямой .

Условимся оригинал функции обозначать строчными буквами, а её изображение — прописными буквами., к примеру: — оригинал функции, а — изображение, тогда:

(5)

Нужно подчернуть, что не любая функция имеет изображение. К примеру, не существует оригинала для функции , так как полюсы данной функции расположены на всей вещественной оси , а не слева от прямой . Но возможно продемонстрировать, в случае, если Ф(s) есть изображением , то соответствующий оригинал будет единственным, что являлся бы кусочно-постоянной функцией.

В случае, если функция растет стремительнее, чем , то для нее существует изображения. К примеру функция не имеет изображения, поскольку для нее интеграл Лапласа расходиться. Но, к примеру, разрывная функция Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача (она стремиться к бесконечности, в то время, когда ) имеет изображение Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача , так как интеграл Лапласа сходиться.

Функция возможно ступенчатой; к примеру,

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача (6)

Изображение её следующее

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача (7)

Свойства преобразования Лапласа

Свойство линейности. Преобразование Лапласа есть линейным, т. е. в случае, если А и В – постоянные, то по определению преобразованию Лапласа возможно написать:

(8)

где и — соответственно изображения функций и .

Пользуясь этими свойством возможно отыскать изображения последовательности функций.

Изображение производной. Пускай . Отыщем ,

где Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача .

(9)

По большому счету

(10)

Так, для функции с указанным асимптотическим поведением при условии существования постоянных ее производных впредь до существует изображение для производной .

Интегрирование оригинала функции. Отыщем изображение функции Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача , т. е. отыщем

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача (11)

Так как , то

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача (12)

Так, интегрирование оригинала функции соответствует делению изображения на величину , т. е. величина владеет свойством оператора интегрирования.

Обратное преобразование Лапласа. Знак обозначал преобразование функции , т. е. по оригиналу функции находим ее изображение. Это воздействие именуют прямым преобразованием Лапласа. Во многих задачах нужно отыскать оригиналы функции по её изображению . Условились знаком обозначать обратное преобразование Лапласа, которое должно обозначать искомую функцию, т.е. оригинал функции.

, (13)

То обратное преобразование должно давать оригинал функции

. (14)

К примеру,

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача ; (14)

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача . (15)

Более строгое рассмотрение вопроса ведет к заключению, что обратное преобразование Лапласа в общем случае не есть оригинал функции и лишь при известных условиях дает оригинал функции. К примеру, обратное преобразование функции Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача равняется , так как прямое преобразование даст изображение Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача , но возможно отыскать и другую функцию :

Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача Метод разделения переменных –неоднородная краевая задача, общая краевая задача (16)

которая дает также изображение. Нужно подчернуть, что имеет разрыв непрерывности при . Отыскать вторую постоянную функцию для заданного изображения запрещено. Исходя из этого заданное изображение функции не имеет возможности иметь больше одного оригинала функции , постоянной для каждого значения . В большинстве разглядываемых задач математической физики обратное преобразование есть однозначным.

Обратное преобразование есть линейным, что вытекает из соотношения (1), т.е.

. (18)

Способ ответа несложных дифференциальных уравнений

Пользуясь фундаментальными особенностями преобразования Лапласа, возможно решать несложные дифференциальные уравнения.

Способ ответа складывается из следующих трех этапов.

1. К дифференциальному уравнению используем преобразование Лапласа и вместо дифференциального уравнения для оригинала функции приобретаем уравнение для изображения функции.

Так как преобразование Лапласа есть интегральным преобразованием и владеет особенностями операторов, то вместо дифференциального уравнения для оригинала функции приобретаем алгебраическое уравнение относительно изображения.

2. Полученное алгебраическое уравнение решается относительно изображения функции, причем s рассматривается как число. Следовательно, второй этап сводиться к нахождению ответа для изображения функции.

3. При помощи известных соотношений между изображением её и функции оригиналом пребывать ответ для оригинала функции, т.е. оригинал искомой функции.

Так, в начале используется прямое преобразование, а после этого обратное. Преимущество этого способа пребывает в том, что решается не дифференциальное уравнение для оригинала функции, а алгебраическое уравнение для изображения.

Лекция 7.

5_1. Краевые задачи для ОДУ


Интересные записи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: