Теорема Евдокса об «архимедовых» размерах («Говорят, что размеры имеют отношение между собой, если они, забранные кратно, смогут превзойти друг друга» (21)) предназначена не только для легализации взаимоотношений между несоизмеримыми отрезками, вместе с тем и чтобы исключить из математики как актуально бесконечно малые, так и вечно громадные размеры. Так, в лице Евдокса, греческая математика сознательно ограничивает множество объектов, оперирование с которыми есть допустимым. Иначе говоря этот круг появляется изнутри математики в качестве средства, разрешавшего застраховаться от парадоксов нескончаемого, (возможность появления которых для греческих математиков стала очевидной в свете апорий Зенона Элейского. Одними из самые интересных объектов, оставшихся за границами этого круга, были роговидные углы. Потому, что роговидные углы (к примеру, угол, образованный касательной и окружностью к ней) меньше любого, сколь угодно малого прямолинейного угла, постольку они оказались под запретом, не обращая внимания на то, что греческим математикам были известны последовательность их особенностей. Особенность данного круга именно и пребывает в его совсем отчетливой осознанности математиками-специалистами, что вело к применению «запретных объектов» и связанных с ними рассуждений в качестве эвристического средства получения новых результатов. Выделим, что истинность взятых «незаконным» методом результатов не подвергалась сомнению. Подтверждение в этих обстоятельствах было равносильно соблюдению нужных формальностей, потому, что оперирование (не только в качестве эвристического средства, но и в контексте обоснования) актуально вечно малыми (неделимыми), в первый раз имевшее место в «любительских», с позиций математика-специалиста, работах Демокрита считалось показателем плохого тона. Наряду с этим статус инфинитезимальных рассуждений оценивался выше тех, каковые основывались на «механических» аналогиях, потому, что выход за пределы круга № 3 не выводил за пределы математики (в отличие от выхода за пределы круга № 2), не смотря на то, что имел возможность признаваться допустимым только в контексте открытия новых фактов, но никак не в контексте их обоснования. Увидим, что круг № 3, сформировавшийся, как уже было отмечено изнутри математики (в отличие от круга № 2, имевшего метафизическую природу и круга № 1, организованного сочетанием метафизических и социокультурных предпосылок (?!)), замечательно вписывался в социокультурный контекст развития древней математики и, очевидно подпитывался этим контекстом. Это очень известно, и самый ярко, не смотря на то, что и далеко не всегда корректно об этом писал О. Шпенглер. Но изменение социокультурного контекста отнюдь не вело машинально к преодолению этого круга в развитии математики (как это было с «вероятностным» кругом). «Я протестую…, — писал Гаусс Шумахеру, — против пользования нескончаемой величиною как завершенною, что в математике ни при каких обстоятельствах не разрешено. Бесконечность имеется только некоторый fa on de parler [способ выражаться], причем в конечном итоге имеют в виду границы, к каким определенные отношения подходят как угодно близко, тогда как вторым запрещается расти без ограничения» (22). О глубокой укорененности в математике инфинитезимального круга (особенно той его части, которая относится к актуально вечно малым), существовавшего в течение достаточно продолжительного периода времени фактически независимо от трансформаций, происходивших в социокультурном и метафизическом контексте развития математики, весьма красноречиво свидетельствуют колебания Галилея, которыми он делится как в собственных напечатанных работах, так и в письмах к собственному известному ученику Кавальери. Как вычисляет П. П. Гайденко, и с ней, по-видимому; направляться дать согласие, Галилей практически пользуется понятием об актуально бесконечно малых в собственной механике. Так, говоря о причине сопротивляемости некоторых материалов разрыву, Галилей упоминает о небольших вакуумах, подмечая, что «не смотря на то, что эти вакуумы имеют ничтожную величину и, следовательно, сопротивление каждой из них легко превозмогаемо, но неисчерпаемость их количества неисчислимо увеличивает их сопротивляемость» (23). Как не без оснований вычисляет П. П. Гайденко, «неисчислимость количества ничтожно малых вакуумов — это в сущности нескончаемое множество бесконечно малых, возможно сообщить вакуумов, а возможно сообщить, сил сопротивления. Позже окажется, что данный способ суммирования бесконечно малых — не имеет значение чего: моментов времени, частей пространства, моментов перемещения и т. д. — есть универсальным и очень плодотворным инструментом мышления» (24). Говоря о новых возможностях, раскрывающихся перед мышлением, принимающем понятие актуально бесконечно малого (он не просто говорит о возможностях применения этого понятия, но реализует эти возможности, вводя, к примеру, понятие о мгновенной скорости), Галилей поймёт парадоксальность природы неделимых. Это приводит его к колебательным процессам относительно вопроса о возможности допущения актуально бесконечно малых (неделимых) в математику. И не смотря на то, что в «Беседах о математических доказательствах» Галилей не отрицает данной возможности, позднее, в то время, когда Кавальери формирует собственную геометрию неделимых, он высказывается против представлений собственного ученика. «Не смотря на то, что письмо Галилея к Кавальери и не сохранилось, но по некоторым высказываниям самого Галилея и по ответу Кавальери на письмо Галилея возможно делать выводы о том, что именно понятие суммы бесконечно малых Галилей вычислял теоретически несостоятельным» (25). И вправду, признавая, что в целом философия науки Галилея вечно далека от представлений Аристотеля, Галилей, подобно Стагириту, настаивает на необходимости для математиков оставаться в рамках инфинитезимального круга. «Бесконечность, — писал Галилей в одной из собственных работ, — должна быть вовсе исключена из математических рассуждений, поскольку при переходе к бесконечности количественное изменение переходит в качественное, подобно тому, как в случае, если мы будем самой узкой пилой… размельчать тело, то как бы мелки ни были опилки… любая частица имеет известную величину, но при нескончаемом размельчении окажется уже не порошок, а жидкость, что-то как следует новое, причем отдельные частицы вовсе провалятся сквозь землю» (26). Одним из аргументов Галилея против признания актуально бесконечно малых в математике было его убеждение в том, что разные нескончаемые множества не смогут пребывать между собой в каком-либо из взаимоотношений (равенства, больше, меньше), потому что это ведет к неустранимым парадоксам. Но для Кавальери, стоящего перед проблемами объёмов и нахождения площадей, эта парадоксальность неделимых постулируется и закрепляется в качестве основополагающего положения. «Я решился признать тот факт, — отвечал на письмо Галилея Кавальери, — что одно нескончаемое возможно больше другого, за прочнейшее основание геометрии» (27). Так, пользуясь парадоксальным понятием об актуально вечно малом в механике, Галилей не соглашался с подобным прагматическим компромиссом в математической концепции Кавальери. Кроме того Кантор (в конце XIX в. (!)) подчеркивал, что к идее введения актуальной бесконечности в математику он пришел практически против собственной воли, вступая в конфликт с полезными для него традициями. Изучая свойства тригонометрических последовательностей, он понял, что понятия предельной иррациональных чисел и точки требуют использования и введения совсем непривычных представлений и новых—так он пришел к классификации и общему понятию нескончаемых множеств (снова «прагматические» мысли являются значительным причиной преодоления ограничений!). Конкретно укорененностью «инфинитезимального» круга в самой математике (довольно независимо от социокультурного контекста) возможно растолковать не только долгий период игнорирования идей проективной геометрии (от пионерских работ Дезарга и Паскаля в XVII в. до показавшихся только в десятнадцатом веке работ Понселе), но и как очень яростную, так и ничем логически не обоснованную атаку самого Кантора на ученых, пробовавших ввести в математику актуально бесконечно малые величины. В письме Виванти от 13 декабря 1893 г. он именует их «инфинитезимальными бациллами холеры в математике», бумажными размерами, не владеющими «никаким вторым существованием, не считая как на бумаге, исписанной их приверженцами и открывателями» (28), додавая, что место этих размеров — в корзине для бумаг. Более того, основываясь на теории порядковых чисел, Кантор пробовал доказать, что актуально бесконечно малые не смогут существовать в принципе. Об полной нелогичности данной деятельности Кантора свидетельствуют следующие слова Цермело: «Несуществование «актуально бесконечно малых размеров» недоказуемо в той же мере, как и несуществование канторовских трансфинитов, и и в том и другом случае ошибочное умозаключение одно да и то же; оно пребывает в том, что новым размерам приписываются кое-какие, не могущие быть свойственными им, свойства простых «конечных размеров» (29). Любопытно, что сам Кантор задолго до Цермело, применяя фактически те же доводы убедительно показывал тщетность попыток доказательства неосуществимости существования актуально нескончаемых чисел, не подмечая, что эти же аргументы показывают тщетность его собственных усилий относительно доказательства абсурдности актуально бесконечно малых. «Все так именуемые доказательства абсурдности актуально нескончаемых чисел ошибочны, — писал Кантор, — как возможно продемонстрировано в каждом отдельном случае и вытекает так же из неспециализированных мыслей. Обстоятельство содержится в большинстве случаев в том, что в этих доказательствах стоящим под вопросом числам заблаговременно приписываются, а правильнее — навязываются все свойства конечных чисел, тогда как, напротив, нескончаемые числа, если они по большому счету мыслимы в какой-либо форме, благодаря их противоположности конечным числам должны образовать совсем новый род чисел, строение которого полностью зависит от природы вещей и является предметом изучения, но не отечественного произвола либо отечественной предубежденности» (30). К чести Кантора направляться подчернуть, что позднее (о чем свидетельствует недавно найденное письмо к Лассвицу) он «отказался от категоричности собственного прошлого мнения и допустил возможность того, что в будущем исследователям удастся дать строгое определение бесконечно малых размеров» (31). Но вряд ли обосновано предположение, что это мнение Кантора, будь оно высказано в одной из его печатных работ, отыскало бы помощь, достаточную для признания концепций, показавшихся в конце XIX века, о которых в века и первой четверти узнаваемый историк математики Г. Вилейтнер счел нужным подметить следующее: «И вправду, Веронезе (G. Veronese) в 1894 г. …выстроил в полной мере последовательную совокупность бесконечно малых размеров разных порядков. Еще раньше этого (Гальфен, Halphen, 1877), бесконечно малые разных порядков элементы кривой с успехом использовались в теории особенных точек алгебраических кривых. Но дух времени не помогал, да и по сей день не помогает для того чтобы рода изучениям (выделено мною. — А. Г.)» (32). Пробуя растолковать факт непризнания упомянутых концепций, Вилейтнер отмечает: «Обстоятельство лежит в том, что математика, начиная с Вейерштрасса (1860 г.) стала на путь все усиливавшейся «арифметизации». Иными словами, она отказывается от геометрической наглядности и во имя полной строгости заковывает себя в логически безукоризненную арифметическую форму» (33). без сомнений, факт арифметизации анализа, и рвение ученых оставаться в рамках строгости, заданной эталонными работами Вейерштрасса, тяжело переоценить. Но нельзя не подчернуть, что введение в математику актуально бесконечно малых сдерживал тот самый круг № 3 («инфинитезимальный круг»), что был так глубоко укоренен в самой математике, что кроме того изменение социокультурного и метафизического контекстов не означало его автоматического преодоления (как это было с «вероятностным кругом», имевшим внешние по отношению к математике происхождение и характер). Как уже отмечалось, его частичное преодоление в работах Кантора было обусловлено в первую очередь прагматическими мыслями (настоятельной необходимостью введения классификации и общего понятия нескончаемых множеств в связи с его изучениями тригонометрических последовательностей). Увидим тут же, что у Кантора были схоластические предшественники, рассуждавшие о равенстве либо неравенстве нескончаемых последовательностей, причем равенство практически определялось через взаимно однозначное соответствие. Наряду с этим все они придерживались представления о числе как совокупности единиц. Именно это представление подпитывало формирование инфинитезимального круга в античном мире, и средневековые ученые, конечно, разделяли его. Но определяющим для них было убеждение в самопротиворечивости актуальной бесконечности. Исходя из этого опыт установления взаимно однозначных соответствий, обнаружение свойства нескончаемых множеств находиться во взаимно однозначном соответствии со своим подмножеством употреблялось средневековыми мыслителями в качестве еще одного подтверждения этого фундаментального убеждения. В частности, Дунс Скот отмечал, что в случае, если разглядывать отрезок как актуально нескончаемую совокупность его составляющих точек, то нужно будет согласиться с равенством таких, к примеру, отрезков, как диагональ и сторона квадрата, что, согласно его точке зрения, нелепо. Подобные примеры приводит в собственном трактате о континууме и Брадвардин, отмечая, что представление о континууме, составленном из неделимых (т. е. из точек) ведет к неразрешимым парадоксам. В отличие от своих схоластических предшественников, перед Кантором находились конкретные математические неприятности, необходимость ответа которых толкала его к выходу за пределы привычных представлений. Исходя из этого он применяет узнаваемые схоластам конструкции не для демонстрации самопротиворечивости актуально нескончаемого, а для констатации нужных ему особенностей актуально нескончаемых множеств. Последующие метафизические и методологические обоснования законности операций с актуально нескончаемыми объектами выглядят у Кантора скорее только как ad hoc доводы, что косвенно подтверждается упомянутым фактом резкого неприятия создателем наивной теории множеств актуально бесконечно малых размеров. И только с возникновением нестандартного анализа А. Робинсона (60-е годы XX века) начался процесс окончательного преодоления инфинитезимального круга, который связан с достижением полной уверенности в том, что средствами нестандартного анализа возможно взять все теоремы, честные в рамках хорошего анализа, нисколько не нарушая наряду с этим общепринятых норм строгости математических доказательств. Как мы знаем, А. Робинсон, применяя успехи современной математической логики и в значительной степени созданной им самим теории моделей, выстроил собственный нестандартный анализ на базе введения совокупности гипердействительных чисел, включающих в себя «стандартные» настоящие числа и актуально бесконечно малые, каковые определяются у него в духе Лейбница. То есть: хорошее бесконечно малое имеется число, которое меньше любого настоящего числа, но больше нуля, а отрицательное бесконечно малое — это число, большее любого отрицательного настоящего числа, но меньшее нуля. Тогда как математики XVII—Х1Х вв. думали, что потому, что актуально бесконечно малые не удовлетворяют теореме Архимеда и, следовательно, не смогут быть приняты как полноправные математические объекты, Робинсон сознательно поставил себя вне рамок инфинитезимального круга, получив, пользуясь метафорой Гротендика, начальную невинность, наделившую его реформаторской властью. Наряду с этим Робинсон исходил из того, что не смотря на то, что, в отличие от эпсилон-дельта формализма, интуитивные представления Лейбница, братьев Бернулли и Эйлера не взяли в свое время строгого обоснования, полученные ими на базе этих представлений результаты выдержали опробование временем. И не просто так, что сам Робинсон разглядывал собственную деятельность не только как продолжающую традиции инфинитезималистов XVII—XIX вв., но кроме того как объяснение и оправдание их методов и представлений. Принципиально важно да и то, что конкретно в ходе разработки нестандартного анализа Робинсон не преследовал каких или прагматических целей, т.е. не имел в виду необходимость ответа тех либо иных конкретных математических неприятностей. Более того, создается чувство, что трудясь над разработкой теории моделей, Робинсон уже имел программу преодоления инфинитезимального круга, появившуюся во многом в ходе тщательного изучения истории хорошего анализа (первые независимые научные результаты были взяты Робинсоном в области гидро- и аэродинамики) (34). без сомнений, что преодоление данного круга облегчалось для Робинсона тем, что его укорененность в математике не подпитывалась социокультурным либо метафизическим контекстами развития математики. Более того, формалистская философия математики, на позиции которой Робинсон перешел (будучи ранее платоником) в ходе разработки нестандартного анализа стимулирует подобные изучения. Однако, наличие твёрдой критики нестандартного анализа как «унижения смысла» и «формального ухищрения» (35). намекает на существование вторых кругов, невидимых, но властных, каковые ограничивают горизонт современной математики, подобно тому, как это происходило фактически на всех предшествующих этапах ее развития (36).
Примечания
1 См.: ГротендикА. посевы и Урожаи. Размышления о прошлом математика. М., 1995. Выпуск 0. С. 29.
2 См.: В том месте же. С. 22.
3 Цит. по: Майстров Л. Е. Развитие понятие возможности. М., 1980. С. 56.
4 См.: Юшкевич А. П. Биография Я. Бернулли // Бернулли Я. О законе солидных чисел. М., 1986. С. 157.
5 Лурье С. Я. Демокрит. Л., 1970. С. 213—214.
6 Материалисты Старой Греции / Под общ. ред. М. А. Дынника. М., 1955. С. 70.
7 В том месте же. С. 69.
8 Лурье С Я. Демокрит. С. 216.
9 Аристотель. Соч.: В 4 т. М., 1978. Т. 2. С. 312.
10 Вернан Ж.-П. Происхождение древнегреческой мысли. М., 1988. С. 69.
11. Аристотель. Соч.: В 4 т. Т. 2. С. 308—309.
12 См.: Майстров Л, Е. Развитие понятия возможности. С. 28—29.
13 См: Lauden L. The clock methaphor and probabilism: The impact of Decartes in English methodological thought. 1650—1665 // Annals of science. N. Y. L., 1966. Vol. 22. P. 93—104.
14. Декарт Р. Избранные произведения. М., 1950. С. 541.
15 Подробнее о становлении вероятностной гносеологии Нового времени см. обзор Л. М. Косаревой (Вероятностная концепция естественнонаучного знания в гносеологии XVII века // Современные изучения по методологии и истории науки. М., 1987).
16. Лейбниц Г. В. Соч.: В 4 т. М., 1983. Т. 2. С. 479.
17 Я полагаю, что это представление разделяли трудящиеся математики античности, каковые вряд ли вдавались в более изощренные метафизические различения того же Аристотеля либо Платона.
18 Юшкевич А. П. Математика и ее история в ретроспективе // Закономерности развития современной математики: методологические нюансы. М., 1987. С. 61—62.
19 В том месте же. 6. 62.
20 Манин Ю. И. Математика и физика. М., 1980. С. 59.
21 Евклид. Начала. М.— Л., 1948. С. 142.
22 Цит. по: Пуркерт В., Ильгаудс Х. И. Георг Кантор. Харьков, 1991. С. 31.
23 Галилей. Избранные труды: В 2 т. М., 1964. Т. 2. С. 131.
22 Гайденко П. П. Эволюция понятия науки (XVII—XVIII вв.) М., 1980. С. 73.
25 В том месте же. С. 135.
26 Цит. по: Кавалъери Б. Геометрия, изложенная новым методом при помощи неделимых постоянного. М.—Л., 1940. С- 37.
27 Цит. по: В том месте же. С. 46.
28 Цит. по: В том месте же. С. 67.
29 Цит. по: В том месте же. С. 67—68.
30 Цит. по: В том месте же. С. 67.
31 Пуркерт В., Йлъгаудс X. И. Георг Кантор. С. 68.
32 Вилейтнер Г. Как рождалась современная математика. М.—Л., 1927. С. 109.
33 В том месте же. С. 109— 110.
34 Е. А. Зайцев увидел, что потребность в строгом обосновании операций с актуально вечно малыми размерами достаточно естественна для ученого, имеющего богатый опыт изучений в области гидро- и аэродинамики.
35 Bishop Erret. The crisis in contemporary mathematics // Historia mathe-matica. 1975. № 2. P. 513—514. ,
36 В настоящей статье метафора «круга» употреблялась для обоснования «ограничительного» характера социокультурного и метафизического контекстов развития математики. Очевидно, значение этого контекста не сводится к налагаемым им ограничениям. Но для характеризации его конструктивной роли, быть может, лучше применять куновское понятие «парадигмы». Но, сам Т. Кун, как мне известно, не использовал это понятие для описания развития математики.
КОММЕНТАРИИ
В. Я. Перминов
А. А Григорян, на мой взор, дал нам пример верного подхода к анализу социокультурного влияния на развитие науки. В то время, когда пробуют доказать, что теоремы логики либо математики зависят от типа культуры, то это, само собой разумеется, дискредитация и чепуха самой идеи социокультурного влияния, потому что ничего аналогичного быть не имеет возможности. А. А. Григорян выявляет те стороны научного прогресса, каковые вправду зависят от социокультурного контекста. Мы видим, что появление новых научных теорий и понятий связано с мировоззренческим фоном и значительно ограничивается им. Для того чтобы рода факты серьёзны для философии науки, и против для того чтобы рода социокультурного анализа науки нельзя возражать.
Но создатель, к сожалению, прекращает анализ в том месте, где он делается вправду увлекательным в философском замысле. Изложение в собственной базе сводится к анализу фактов. Но мы, разумеется, нуждаемся в их объяснении. Как появляются эти «метафизические» круги и как они разрушаются? В статье имеется лишь отдельные намеки на объяснение, но важного теоретического подхода нет. Идут ли эти метафизические ограничения от самой науки (возможно допустить, например, что древние греки ограничили себя идеей конечной величины легко по причине того, что не дошли еще до алгоритмов и определений, которые связаны с нескончаемыми множествами), либо они идут от философских представлений о мире, господствующих в данную эру, либо они порождаются конкретно некоторыми сторонами публичной практики. В этом принципиально важно разобраться, поскольку основная задача философии состоит не в констатации исторических фактов, а в их объяснении. Это было бы занимательным и по причине того, что тут, как мне думается, намечается путь к изучению науки и взаимодействия реального механизма метафизики в истории науки, о котором мы имеем до сих пор достаточно смутное представление.
Вопросы для понимания
1. Что осознаёт А.А. Гротендик под невидимыми, но властными кругами, ограничивающими деятельность многих математиков?
2. В то время, когда появилось математическое изучение случайного?
3. Какие конкретно взоры на случайность свойственны для древнегреческой философии?
4. Согласны ли Вы с тем, что философско-методологические представления о случайном мешали происхождению науки о случайном – теории возможностей?
5. Какие конкретно социокультурные и метафизические видоизменения содействовали, согласно точки зрения А.А. Григоряна, преодолению этого круга в Новое время?
6. По какой причине А.А. Григорян думает, что данный круг был полностью невидимым для древних математиков, внешним?
7. Что делает второй круг, рассмотренный Григоряном («Математические науки чужды перемещению, за исключением тех, каковые относятся к астрономии») более фундаментальным, значительно ограничивающим древнее математическое мышление?
8. Как именно средневековые ученые преодолевают пропасть, лежащую между естествознанием и математикой, а, следовательно, «круг», во власти которого пребывало древнее мышление?
9. Что такое эмпиристская философия математики, которая стала основа нового метафизического круга, продолжительное время мешавшего, например, признанию неевклидовых геометрий?
10. В чем Григорян видит принципиальные различия в преодолении кругов, доставшихся от античности, и «эмпиристского» метафизического круга?
11. Дайте чёрта третьего круга, что рассматривается в статье, как внутреннего.
12. Каковы отношения между осознанным запретом математиков на применение актуально бесконечно малых и больших величин и применением этих «запретных объектов» как эвристических средств получения новых результатов?
13. Что говорит о глубокой укорененности в математике инфинитезимального круга (в частности, актуально бесконечно малых) и как он преодолевался?
14. Продемонстрируйте, что изменение социокультурного и метафизического контекстов не вело к автоматическому преодолению этого круга, как это было с «вероятностным кругом». Разглядите в этом контексте нестандартный анализ Робинсона.
М.Ю. Веркутис
РЕФЛЕКСИВНАЯ СИММЕТРИЯ КАК МЕХАНИЗМ НОВАЦИЙ В НАУКЕ В УСЛОВИЯХ НЕВЕДЕНИЯ
Науковедение 2002, №3, стр. 136-146.
В литературе, посвящённой жизни и творчеству Николая Ивановича Лобачевского, часто возможно встретить характеристики его как “Коперника”, либо как “Колумба” геометрии (1, с. 111). Выдающийся знаток научного наследия Лобачевского В.Ф. Каган кроме того в полной мере аргументировано обосновывал, что Лобачевский для геометрии – это больше, чем Коперник для астрономии (2, с. 58 — 59). Как бы то ни было, но первооткрыватели релятивисткой геометрии, — Гаусс, Бойяи и Лобачевский — превосходно сознавали, что они столкнулись в собственном творчестве с целым новым миром, к которому никто до них не проложил дорог. “Из ничего я создал целый мир”, — писал Янош Бойяи собственному отцу. Но как создаются, раскрываются новые миры в математике? Возможно ли тут сказать о некоей ситуационной логике, логике открытия в смысле Пойя, Поппера и Лакатоса?
Для ответа на данный вопрос обратимся к различению неведения и незнания, которое проводит М.А. Розов (3, с. 116 – 118). Незнание – это перемещение учёного в рамках проблемного поля, заданного прошлыми достижениями, в то время, когда переход к новому знанию возможно представить как ответ на вопросы, темперамент которых определяется тем либо иным уровнем развития данной науки. Вопросы фиксируют область незнания. Ученый может сообщить: “Я не знаю того-то”. То, чего не знает в этом случае ученый – это какие-то в полной мере определенные их характеристики и объекты, к примеру, возможно не известен состав какого-либо вещества либо расстояние между какими-то городами. Значительно, что фиксируя вопросы, на каковые малоизвестны ответы, возможно выстроить достаточно развернутую программу, нацеленную на фиксацию и получение нового знания, возможно распознать некую возможность развития данной науки в той ее части, которая зависит от уже накопленных знаний (3, с.117). О вопросах в сфере незнания возможно взять некое представление, в случае, если отыскать в памяти, что говорит о типах опытов, каковые в большинстве случаев ставятся в рамках обычной науки, Т. Кун. Он именует целые группы задач, к примеру, определение звёздных величин и положения звёзд, периодов затмения двойных звезд и планет в астрономии; вычисление удельных сжимаемостей и весов материалов, спектральных интенсивностей и длин волн, контактных потенциалов и электропроводностей в физике и т.п. (4, с. 47). М.А. Розов выделяет, что “незнание – это область отечественного целеполагания, область планирования отечественной познавательной деятельности. Строго говоря, — это явная либо неявная традиция, применяющая уже накопленные знания в функции образцов” (3, с. 117)
Совсем в противном случае обстоит дело с неведением. Область неведения нельзя зафиксировать вопросами, опирающимися на те либо иные научные положения. Она находится за пределами существующего уровня развития науки и определяемого этим уровнем вероятного горизонта научной деятельности. К этому случаю относится, к примеру, открытие сумчатых в Австралии, которое никак не предопределялось уровнем развития биологии того времени. Оно было безотносительно к любым из положений биологической науки, к её понятийному аппарату. Но как возможно ввести в математику понятие, не имеющее отношения ни к каким вторым её понятиям? Дабы иметь математическое содержание, это понятие должно быть референциально связано с миром математических объектов, с математической традицией. И однако в математике, совершая неожиданные для себя открытия, ученые также сталкиваются с областью неведения, а не только с областью незнания. Со своей стороны область неведения как-то опосредованно связана с имеющимися традициями. Действиям ученых в ситуации неведения и посвящена статья.
Узнаваемый методолог науки и отечественный философ Б.С. Грязнов для обозначения неожиданных открытий использовал греческое понятие – поризм (см. 4, с.114 — 115). Так в древней науке именовали утверждение, которое получалось как непредвиденное следствие, как промежуточный итог. Грязнов приводит пример из математики, то есть – пример отрицательных и комплексных чисел, каковые получаются в совокупности математического знания, как он пишет, чисто логическим путём, но открыты были как промежуточные результаты ответа некоего класса математических задач. О типичности для математики таких открытий, по существу, писал американский историк науки М. Кроу, в то время, когда формулировал собственные десять “законов” развития математики. Его первый “закон” гласил: новые математические понятия довольно часто появляются вопреки намерениям их творцов (6, p.162). Вправду, не смотря на то, что в математике и осуществляется всё целенаправленно, в рамках конкретных программ, но не всегда конкретно то, на что эти программы направлены. Реализация программы в полной мере может натолкнуться на побочный итог, воображающий независимый интерес. Хороший пример этого – так впечатлившее древних греков открытие иррациональных размеров. Сознательный поиск иррациональных размеров был для греков психологически неосуществим. Особенно это относится пифагорейской математики с её культом числа, числовых взаимоотношений. Но на иррациональности, реализуя не относящиеся напрямую к этому программы, натолкнулись конкретно пифагорейцы[1]. Отыграв назад, но, мы, пожалуй, имели возможность сформулировать “за греков” не выходящую за рамки их науки программу поиска отрезков фигур , невыразимых рациональными отношениями. В математическом материале, с которым имели дело древние греки, имелись все предпосылки для формулировки программы для того чтобы поиска. Не было только соответствующей установки сознания. Но, дабы сформулировать программу поиска сумчатых, мы не имели возможность отыграть назад ни к каким идеям биологической науки.
Главная мысль статьи – при с открытием релятивисткой геометрии Бойяи и Лобачевским мы имеем дело со сферой неведения, а средство проникновения в эту сферу в этом случае – рефлексивная симметрия (3, с. 165 — 171). М.А. Розов отмечает, что неосуществим целенаправленный поиск неизвестных явлений; неведение раскрывается лишь побочным образом. На вопрос – что обязан делать ученый для обнаружения новых видов животных либо каких-то новых, неизвестных явлений – М.А. Розов отвечает – делать то, что он делал и до этого, т.е. трудиться в рамках уже существующих программ. Именно это последнее и происходит, как мы заметим дальше, при открытия релятивисткой геометрии – Лобачевский (и Бойяи) сперва решал классическую для геометрии задачу – подтверждение V постулата Евклида. Но после этого он осознал, что решил совсем другую задачу – нашёл “новый мир” — геометрию, совсем непохожую на евклидову. Интрига тут содержится в том, что и Лобачевский, и Бойяи включились в ответ в далеком прошлом поставленной задачи, и шли наряду с этим тем же самым методом, каким шли и их предшественники. Вопрос пребывает в том, что же привело их к открытию нового мира? Чего не сделали их предшественники, многие из которых реально доказали последовательность теорем новой геометрии, но не считаются (и справедливо) ее творцами?
Разглядим подробно, как это быть может, что разрешило Лобачевскому и Бойяи прийти к созданию гиперболической геометрии. самые доступным для анализа есть, само собой разумеется, творчество Николая Ивановича Лобачевского. Но затевать такое изучение нужно с теории параллельных линий Евклида. Предыстория релятивисткой геометрии широко известна. Мы изложим её коротко, опираясь, в большинстве случаев, на работы В.Ф. Кагана (2; 7).
1. Теория параллельных линий Евклида основывается, во-первых, на определении параллельных линий и, во-вторых, на особенном постулате. Первой книге “Начал” предпосланы двадцать три определения, относящихся к первичным, согласно точки зрения Евклида, математическим понятиям. Евклид даёт определение точке, линии, прямой, поверхности, плоскости и т.д. Наконец он доходит до последнего двадцать третьего определения, в соответствии с которому две прямые, расположенные в одной плоскости и ни при каких обстоятельствах между собой не видящиеся, именуются параллельными. В 27 и 28 предложениях первой книги Евклид даёт подтверждение некоторых достаточных условий, при которых две прямые были бы параллельны. В частности, из этих предложений вытекает, что две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, ни при каких обстоятельствах не встретятся, как бы на большом растоянии мы их не продолжили. Из этого легко видеть, что в случае, если мы из некоей точки опустим перпендикуляр к прямой, и совершим через неё же другую прямую, под прямым углом к этому перпендикуляру, то две эти прямые будут параллельны. Исходя из этого через точку, лежащую вне прямой в любой момент возможно совершить прямую параллельную данной (предложение 31). Но будет ли такая прямая единственной? Утверждение её единственности есть одной из эквивалентных формулировок V постулата Евклида. Суть этого постулата содержится в отрицании существования прямой линии, параллельной данной и к тому же, находящейся не под прямым, а под тупым либо острым углом к соответствующему перпендикуляру.