Рекомендуемая литература
Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 13 (§ 13.6).
Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 3 (§ 10, 11), гл. 4 (§ 14, 15, 20).
Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 3 (§ 3.1–3.5, 3.7), гл. 8 (§ 8.1, 8.2).
формулы и Основные понятия
Напряженное состояние в точке тела. Под точкой тела понимаем небольшой количество материала вблизи геометрической точки. В этого количества напряжения изменяются дифференциально мало. Напряженным состоянием в точке именуют совокупность напряжений на всех площадках, совершённых через нее. Напряженное состояние задают три вектора напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках. Эти три площадки выбираются произвольно. Изображают точку в виде параллелепипеда, выстроенного на указанных трех площадках.
Пускай введена прямоугольная совокупность координат и три площадки, перпендикулярные ее осям x, y, z. Векторы напряжений на этих трех площадках задаются собственными проекциями на оси координат и обозначаются соответственно , , . Проекции, перпендикулярные площадкам, именуются обычными напряжениями , , . Индекс в обозначении показывает направление нормали к площадке. Проекции, лежащие в плоскостях площадок, именуются касательными напряжениями , , , , , . Первый индекс обозначения определяет площадку, на которой действует напряжение, второй индекс показывает ось, в направлении которой напряжение действует.
Следствием условий равновесия элементарного количества тела есть закон парности касательных напряжений: 
;
; 
. Касательные напряжения , направлены или навстречу друг другу, или в противоположные стороны.
С учетом закона парности касательных напряжений для задания напряженного состояния в точке необходимо указать шесть параметров: три обычных напряжения , , и три касательных напряжения , , .
В точке в любой момент возможно выбрать три взаимно перпендикулярные площадки, на которых действуют лишь обычные напряжения, а касательные напряжения равны нулю. Эти площадки называютглавными, действующие на них обычные напряжения – главными напряжениями.
Для основных напряжений, занумерованных по убыванию, употребляется особое обозначение: , , . Обозначение предполагает (с учетом символа).
Главные напряжения владеют свойством экстремальности: одно из них максимально среди обычных напряжений на площадках с произвольной нормалью , второе – минимально. В принятых обозначениях , . Пускай – вектор напряжения на площадке с нормалью , – его модуль. Свойство экстремальности свидетельствует кроме этого следующее: .
Главными направлениями напряженного состояния именуют направления нормалей к главным площадкам. Эти направления обозначают цифрами 1, 2, 3. Главные площадки обозначают соответственно 1, 2, 3.
Напряженное состояние, при котором ни одно из трех основных напряжений не равняется нулю, именуется объемным. В случае, если одно из основных напряжений равняется нулю, то напряженное состояние именуется плоским. Наконец,линейным именуется напряженное состояние, при котором превосходно от нуля лишь одно основное напряжение. Потом рассматривается плоское напряженное состояние.
Пускай основная площадка с нулевым главным напряжением расположена перпендикулярно оси y. Тогда при плоском напряженном состоянии хороши от нуля напряжения , , , (рис. 2.1; где с целью упрощения рисунка напряжения продемонстрированы не на всех гранях элементарного параллелепипеда; ненагруженная площадка сходится с плоскостью чертежа).
Аналитическое изучение плоского напряженного состояния.Заданы напряжения на взаимно перпендикулярных площадках. Вычисляются напряжения на площадках произвольной ориентации, главные напряжения и главные площадки, площадки, по которым действуют экстремальные касательные напряжения.
 Рис. 2.2. Напряжения на наклонной площадке |
  Рис. 2.1. Плоское напряженное состояние в точке тела |
Правила знаков для напряжений: обычное напряжение положительно, в случае, если направление напряжения сходится с направлением внешней нормали (направлено от площадки, растягивающее); касательное напряжение положительно, в случае, если в плоскости чертежа оно обходит площадку по часовой стрелке.
На двух взаимно перпендикулярных площадках заданы напряжения , , , . На рис. 2.1, 2.2 обычные напряжения , (растягивающие), касательное напряжение (обходит площадку по часовой стрелке), касательное напряжение (обходит площадку против часовой стрелки). При указанном правиле знаков закон парности касательных напряжений имеет форму
. (2.1)
Наклонная площадка перпендикулярна чертежу, ее положение определяет угол между нормалью к ней и осью x (см .рис. 2.2). Угол отсчитывается от оси x к нормали и считается хорошим, в случае, если отсчет происходит против часовой стрелки.
Нормальное и касательное напряжение на наклонной площадке определяются формулами
; (2.2а)
. (2.2б)
В правой части формул на первом месте в разности стоит обычное напряжение на площадке, от нормали к которой отсчитан угол . Касательное напряжение берется с данной же площадки.
Из выражения (2.2а) направляться, что сумма обычных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках не изменяется при повороте этих площадок:
, (2.3)
– обычное напряжение на площадке, перпендикулярной площадке с нормалью n.
В то время, когда заданные площадки являются главными, формулы (2.2а) и (2.2б) принимают вид
(2.4)
Тут , – главные напряжения.
Главные напряжения вычисляются по формуле
. (2.5)
В соответствии с (2.3)
. (2.6)
Положение основных площадок определяет угол , что находится из уравнения
. (2.7)
Формуле (2.7) отвечает множество углов , отличающихся друг от друга на величину, кратную 90°. Различные главные площадки соответствуют лишь двум из этих углов, каковые обозначают , .
Для определения площадки, на которой действует бoльшее из напряжений , , необходимо вычислить вторую производную
. (2.8)
и взглянуть на ее символ. В случае, если 
при , то на данной площадке действует меньшее из напряжений , , в другом случае – бoльшее (случай равенства нулю не видится).
В разглядываемом случае плоского напряженного состояния три основных напряжения таковы: , , 0. – большое, а – минимальное (с учетом символа) из этих трех напряжений.
Большое среди касательных напряжений на всевозможных площадках, совершённых через точку, таково:
. (2.9)
Это напряжение действует на площадке, одинаково наклоненной к площадкам 1 и 3. Соответствующее обычное напряжение
.
Касательное напряжение, большое по модулю среди напряжений на площадках, перпендикулярных плоскости чертежа, таково:
. (2.10)
Соответствующее обычное напряжение
. (2.11)
В общем случае величины , разны.
Графическое изучение плоского напряженного состояния.Вместо вычислений по вышеприведенным формулам возможно выстроить круг напряжений Мора и произвести графические построения. В этом содержится графическое ответ задачи (см. примеры).
Деформированное состояние в точке. Деформированным состоянием в точке именуют совокупность линейных деформаций всевозможных элементарных отрезков, проходящих через точку, и трансформаций углов между всевозможными парами этих отрезков.
Пускай – длины до деформации трех взаимно перпендикулярных элементарных отрезков, расположенных на протяжении осей . , , – трансформации этих длин в следствии деформации.
Деформированное состояние в точке определяют шесть параметров: три линейных деформации
, 
, 
,
и три угловых деформации , , , воображающих собой трансформации прямых углов между отрезками .
Через точку в любой момент возможно совершить три взаимно перпендикулярных отрезка, углы между которыми не изменятся при деформации. Оси координат, направленные на протяжении этих отрезков, именуют главными осями деформации.
Связь между деформациями и напряжениями. Для изотропного материала (свойства материала однообразны во всех направлениях) при не через чур громадном уровне напряжений сообщение деформаций и напряжений обрисовывает обобщенный закон Гука:
(2.13)
Тут , , – упругие характеристики материала; – модуль Юнга (модуль упругости); – коэффициент Пуассона ( ); – модуль сдвига. Имеет место соотношение .
Для изотропного материала главные напряжённого состояния и оси деформации совпадают, исходя из этого линейные деформации на протяжении основных осей определяются соотношениями (2.13):
,
, (2.14)
.
Соответствующие угловые деформации равны нулю.
Относительная объемная деформация в точке имеется отношение полного трансформации количества элементарного параллелепипеда к его начальному количеству. Сообщение объемной деформации с линейными деформациями дает соотношение
. (2.15)
Оценка прочности. Прочность материала в точке проверяется по соответствующей материалу теории прочности. Из солидного числа сейчас существующих теорий прочности при исполнении студенческих задач употребляются перечисляемые ниже.
Под исчерпанием прочности подразумевается переход материала в предельное состояние – разрушение для хрупкого материала и развитие пластической деформации для пластичного материала. Расчет обязан снабжать некий нормативный запас прочности, что несложнее всего достигается введением коэффициента запаса прочности, понижающего разрешаемый уровень напряжений.[5]
Для всех используемых при исполнении расчетно-графической работы теорий прочности условие прочности возможно записать в едином виде
, (2.16)
где – допускаемое напряжение. Величина представляет собой предельный уровень напряжения и определяется из опыта. Для хрупких материалов она сходится с пределом прочности при осевом растяжении, для пластичных материалов – с пределом текучести при осевом растяжении. n – нормируемый коэффициент запаса прочности. – комбинация основных напряжений , , (эквивалентное напряжение).
В соответствии с первой теории прочности, честной для хрупких материалов, разрушение происходит от отрыва при достижении большим напряжением (оно должно быть хорошим, т. е. растягивающим) предельного значения. Плоскость отрыва (страшное сечение) перпендикулярна направлению главного напряжения . Условие прочности имеет форму
. (2.17)
Вторая теория прочности кроме этого используется к хрупким материалам. В соответствии с данной теории разрушение происходит от отрыва при достижении большой деформацией (она должна быть хорошей) предельного значения. Деформации впредь до момента разрушения считаются малыми и вычисляются по закону Гука. Плоскость отрыва (страшное сечение) перпендикулярна направлению действия главного напряжения . Условие прочности приводится к виду
. (2.18)
Третья теория прочности определяет уровень напряжений, при котором в пластичном материале появляются заметные остаточные деформации. В соответствии с третьей теории прочности переход материала в предельное состояние происходит от сдвига при достижении большим касательным напряжением предельного значения. Плоскость пластического сдвига (страшное сечение) сходится с плоскостью действия напряжения . Данной теории соответствует условие прочности
. (2.19)
В соответствии с четвертой теории прочности пластическое деформирование появляется от сдвига при достижении энергией трансформации формы предельного значения. Условием прочности помогает соотношение
. (2.20)
Конкретно эта теория прочности не определяет положения страшных площадок. Последние (на основании другой трактовки теории) можно считать равняется наклоненными к главным осям (октаэдрические площадки).
Условие прочности, соответствующее теории прочности Мора (пятой теории прочности), имеет форму
. (2.21)
Тут , – пределы прочности при растяжении и при сжатии. По теории Мора возможно выяснить и положение страшных площадок. Соответствующая формула не приводится.
К оценке прочности хрупких материалов используются первая, вторая и пятая теории прочности. Но результаты оценки заметно различаются. Самый точна оценка по пятой теории прочности.
Третья и четвертая теории прочности используются к оценке прочности пластических материалов, дают родные оценки прочности и активно применяются в инженерных расчетах.
Примеры ответа задач