И экономико-математических методов

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ и АЛГЕБРЕ

Учебно — Методическое пособие

для студентов инжинерно-технического

факультета ПГУ им. Т.Г. Шевченко

Издательство

Приднестровского

Университета

Тирасполь,2008

УДК

ББК

В-22

Составители:

Л.С. Николаева, ст. преп.

Л.В. Чуйко, канд. Пед. Наук, доц.

Критики:

Курс лекций по аналитической геометрии и алгебре.: Учебно – методическое пособие / Сост.:

Л.С. Николаева, Л.В. Чуйко. – Тирасполь, 2008. – 80 с.

УДК

ББК

В-26

Утверждено Научно-методическим советом ПГУ им. Т.Г. Шевченко

© Николаева Л.С.

Чуйко Л.В.,

составление, 2008

Оглавление.

Раздел: Линейная алгебра.

  1. Совокупности линейных уравнений и их ответ способом Гаусса. (4)
  2. Алгебра матриц. Операции над матрицами. Обратная матрица. Матричное уравнение вида AX=B, совокупность линейных уравнений как матричное уравнение(8)
  3. Определитель квадратной матрицы.(13)
  4. Матричный способ ответа совокупностей линейных уравнений.(16)
  5. Способ Крамера.(18)
  6. Понятие векторного пространства(19)
  7. независимость системы и Линейная зависимость векторов(20)
  8. размерность и Базис векторного пространства(22)
  9. Координатная строчок вектора относительно базиса(23)
  10. Связь между координатами вектора в различных базисах(24)
  11. Подпространство векторного пространства(25)
  12. Векторное пространство со скалярным умножением. Определение евклидова пространства(26)
  13. Протяженность вектора.Угол между векторами(26)
  14. Ортогональный базис евклидова пространства(27)
  15. Ортонормированный базис(28)
  16. Линейные отображения (операторы) векторных пространств(29)
  17. Матрица линейного оператора(31)
  18. Личные вектора и личные значения линейного оператора.(33)

Раздел: Аналитическая геометрия.

  1. Афинная совокупность координат на плоскости.(33)
  2. Полярная совокупность координат. Переход от полярной совокупности к декартовой и обратно.(36)
  3. Уравнение линии на плоскости.Уравнение прямой на плоскости.(37)
  4. Угол между прямыми на плоскости.(41)
  5. Расстояние от точки до прямой.(42)
  6. Кривые второго порядка: окружность(43), эллипс(44), преувеличение(46), парабола(48)
  7. Афинная совокупность координат в пространстве.(51)
  8. Векторное произведение двух векторов.(54)
  9. Смешанное произведение трёх векторов.(56)
  10. Разные методы задания плоскости. Неспециализированное уравнение плоскости.(58)
  11. Обоюдное размещение двух плоскостей в пространстве.(61)
  12. Разные методы задания прямой в пространстве.(62)
  13. плоскости и Взаимное расположение прямой.(65)
  14. Обоюдное размещение двух прямых.(66)
  15. Угол между плоскостями.(67)
  16. Угол между прямыми в пространстве.(68)
  17. Угол между плоскостью и прямой.(69)
  18. Расстояние от точки до плоскости.(70)
  19. Расстояние от точки до прямой.(71)
  20. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.(72)
  21. Поверхности второго порядка:цилиндрические поверхности(73), поверхности вращения(74)
  22. Цилиндрическая и сферическая совокупности координат(78)

АЛГЕБРА.

Совокупности линейных уравнений и их ответ способом Гаусса.

  1. Линейное уравнение. Вид противоречивого линейного уравнения. Неспециализированный вид совокупности линейных уравнений (СЛУ). Множество ответов.
  2. Равносильные совокупности. Следствие совокупности.
  3. Элементарные преобразования совокупности линейных уравнений.
  4. Способ Гаусса ответа СЛУ. Распределение малоизвестных на главные и свободные.

В общем виде линейное уравнение (уравнение первой степени) имеет форму

a1x1+a2x2+…+anxn=b (1)

где ai,b R, . x1,x2,…,xn– малоизвестные переменные, ai — коэффициенты при малоизвестных, b – вольный член. Не исключается случай, в то время, когда уравнение имеет форму

0x1+0x2+…+0xn=b (2)

Ответом уравнения (1) именуется любой упорядоченный комплект чисел l1,l2,…,ln (либо вектор (l1,l2,…,ln)), таких что при подстановке их вместо соответствующих малоизвестных уравнение (1) обращается в верное равенство

a1l1+a2l2+…+anln=b

Разумеется, что при b=0 уравнение (2) имеет любой комплект значений малоизвестных, а при b?0 не удовлетворяет несколько комплект ответов. При b=0 уравнение (2) именуют тождественным, а при b?0 противоречивым.

Определение. Совокупность m уравнений с n малоизвестными в общем виде записывается следующим образом:

И экономико-математических методов (3),

где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Ответом совокупности именуется любой упорядоченный комплект чисел l1,l2,…,ln (либо вектор (l1,l2,…,ln)), таких, что при подстановке их в совокупность вместо соответствующих переменных они превращают каждое уравнение совокупности в тождество.

Вычеркнем из записи линейной совокупности уравнений знаки xi,+,= и отделим коэффициенты при малоизвестных от свободных участников вертикальной чертой, возьмём запись:

Ф такая таблица именуется расширенной матрицей совокупности, матрицей совокупности назовём таблицу следующего вида

И экономико-математических методов

Определение. В случае, если совокупность имеет хотя бы одно ответ, то она именуется совместной. В случае, если совокупность не имеет ни одного решения, то она именуется несовместной.

Определение. Совокупность именуется определенной, если она имеет лишь одно ответ и неизвестной, в случае, если более одного.

Для любой совокупности вероятны лишь три случая:

  1. совокупность несовместна;
  2. совокупность имеет единственное ответ (совместно определённая);
  3. совокупность имеет очень много ответов (совместно неизвестная).

Промежуточный случай, в то время, когда ответов конечное число, притом больше чем одно, неосуществим.

Совокупность S1 именуется следствием совокупности S2, в случае, если всякое ответ совокупности S1 есть ответом совокупности S2 либо совокупность S1 несовместна.

Две линейные совокупности именуются равносильными (эквивалентными), в случае, если любая из них есть следствием второй, другими словами совокупности равносильны, в случае, если множества их ответов совпадают.

Элементарными преобразованиями (расширенной) матрицы именуют следующие действия над её строчками:

  1. перестановка i-той и j-той строчков. Этому преобразованию соответствует перестановка i-того и j-того уравнения. Обозначим это преобразование .
  2. прибавление к каждому элементу i-той строки, стоящего в том же столбце элемента j- той строки. Этому преобразованию соответствует сложение i-того и j-того уравнения. Обозначим это преобразование .
  3. умножение каждого уравнения i-той строки на некое число . Этому преобразованию соответствует умножение i-того уравнения на число . Обозначим это преобразование .

В случае, если J-это преобразование матрицы А, то J=J(A).

Теорема.Элементарные преобразования расширенной матрицы сохраняют эквивалентность соответствующих совокупностей.

Подтверждение. Пускай заданы две совокупности линейных уравнений: совокупность S1 в виде(3) и совокупность S2 в виде И экономико-математических методов ( ) с множествами ответов М1 и М2 соответственно. Причём как мы знаем, что расширенная матрица совокупности S2 взята элементарными преобразованиями из расширенной матрицы совокупности S1. Докажем, что М1=М2, другими словами М1 М2 и М2 М1. Докажем вначале

М1 М2.

Допустим ответ (l1,l2,…,ln) М1, докажем что (l1,l2,…,ln) М2. Разглядим следующие случаи:

Пускай J=Iij, это указывает, что совокупность S2 взята из совокупности S1 перестановкой i-того и j-того уравнения. Ясно, что при подстановке чисел l1,l2,…,ln в совокупность S2 мы возьмём m верных равенств, но записанных в другом порядке. Следовательно (l1,l2,…,ln) М2, другими словами М1 М2.

Пускай J=IIij, это указывает, что уравнения в совокупности S2, не считая j-того, остались неизменными. j-тое уравнение имеет форму

Потому, что (l1,l2,…,ln) — ответ S1, подстановка чисел lk в её i-тое и j-тое уравнения даёт следующих два верных равенства:

Сложим их почленно и приведём подобные при участниках lk. Возьмём верное равенство

Легко видеть, что это и имеется итог подстановки чисел lk в j-тое уравнение совокупности S2.

Пускай J= , это указывает, что уравнения в совокупности S2, не считая j-того, остались неизменными, а j-тое уравнение почленно умножается на число и имеет форму

Потому, что (l1,l2,…,ln) М1, правильно равенство

соответственно, и равенство , которое и имеется итог подстановки чисел lk в i-тое уравнение совокупности S2. Итак, М1 М2.

Перед тем как обосновывать обратное включение, увидим, что матрица совокупности S1 возможно взята элементарными преобразованиями из матрицы совокупности S2. (В действительности, в случае, если две строки переставлены, их возможно опять переставить, в случае, если к i-той прибавлена j-тая, то i-тую возможно умножить на -1, сложить с j-той и позже опять умножить на -1, в случае, если строчок умножена на , то её возможно умножить на . Вот где мы используем то, что .) Тогда, по доказанному, М2 М1.

Способ Гаусса.

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) германский математик).

Универсальным способом ответа линейных совокупностей есть способ последовательного исключения малоизвестных ( способ Гаусса).

Разглядим совокупность (3). Если она содержит уравнение вида (2) и b , то множество ответов пусто. Процесс ответа на этом закончен. В случае, если в уравнении (2) и b=0, то его возможно удалить из совокупности, не изменяя множества ответов. Исходя из этого можно считать, что в каждом уравнении исходной совокупности хотя бы один из коэффициентов при малоизвестных отличен от нуля. Пускай а11 ( в другом случае поменяем местами уравнения либо перенумеруем малоизвестные). Исключим сейчас x1 из всех уравнений, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на И экономико-математических методов , после этого к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на И экономико-математических методов , и т.д. к последнему уравнению прибавим первое, умноженное на И экономико-математических методов . В следствии серии элементарных преобразований возьмём совокупность:

И экономико-математических методов (4)

равносильную исходной. Удалим из совокупности (4) нулевые уравнения (поэтому, в ходе ответа совокупности число уравнений может уменьшиться). В случае, если хотя бы одно из уравнений совокупности (4) есть противоречивым, то эта совокупность и, следовательно, исходная совокупность несовместны.

Потом предположим, что а22 , и продолжим процесс исключения малоизвестных. Потому, что число таких шагов не превышает n (числа малоизвестных), по окончании конечного числа преобразований возьмём совокупность вида:

И экономико-математических методов (5)

(где диагональные коэффициенты d11,d22,d33,…,drr ,r ,хороши от нуля), равносильную исходной совокупности (3).

В случае, если r=n ( в этом случае говорят, что совокупность (5) имеет треугольный вид), то из последнего уравнения находим значения малоизвестной xn= . Подставив значение xn в предпоследнее уравнение, возьмём значение малоизвестной xn-1 и т.д., другими словами идя снизу в верх, определим значения всех малоизвестных.

Итак, при r=nрешение совокупности (5) ( соответственно, и (3) ) единственно.

В случае, если r

(l1, l2,…, lr, lr+1, lr+2,…, ln) исходной совокупности уравнений. Любое ответ совокупности (3) возможно взять так.

Совокупность, в которой главные малоизвестные выражены через свободные, возможно разглядывать как общее решениеисходной совокупности, т.е. как характеристическое свойство множества её ответов.

Так, при r

Пример. Решить совокупность линейных уравнений способом Гаусса.

И экономико-математических методов

Составим расширенную матрицу совокупности.

И экономико-математических методов

Так, исходная совокупность возможно представлена в виде:

И экономико-математических методов , откуда приобретаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

Для независимого ответа:

И экономико-математических методов Ответ: {1, 2, 3, 4}.

Алгебра матриц. Операции над матрицами. Обратная матрица. Матричное уравнение вида AX=B, совокупность линейных уравнений как матричное уравнение(операции сложения, умножения, транспонирование матриц, умножение матрицы на число, вычисление обратной матрицы посредством элементарных преобразований, теоремы о ранге произведения матриц).

Пускай P – некое поле (поле скаляров). Матрицы, составленные из элементов этого поля, будем именовать матрицами порядка m´n, где m и n натуральные числа показывающие число столбцов и строк (это таблица чисел, расположенных в определенном порядке). Место каждого элемента конкретно определяется номером столбца и строки, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строчка, а j- номер столбца.

Обозначать матрицу будем так:

И экономико-математических методов

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. По большому счету говоря, матрица может состоять кроме того из одного элемента.

В случае, если число столбцов матрицы равно строчков (m=n), то матрица именуется квадратной порядка n.

Обозначим i-тую строчок матрицы Ai=(ai1,ai2,…,ain), а j-тый столбец И экономико-математических методов .

Две матрицы порядка А=(aij)m n и B=(bij)m n именуются равными, в случае, если соответствующие элементы равны, т.е. A=B aij= bij, .

Матрица именуется нулевой, в случае, если все её элементы равны нулю.

Матрица вида:

И экономико-математических методов ,

именуется единичной матрицей.

Определение. В случае, если aij = aji , то матрица именуется симметрической.

Пример. И экономико-математических методов — симметрическая матрица

Определение.Квадратная матрица вида И экономико-математических методов именуется диагональнойматрицей.

вычитание и Сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций есть то, что они выяснены лишь для матриц однообразного размера. Так, допустимо выяснить вычитания матриц и операции сложения:

Определение. Суммой (разностью) матриц есть матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

И экономико-математических методов

cij = aij ± bij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

И экономико-математических методов

a (А+В) =aА ± aВ

А(a±b) = aА ± bА

Пример. Даны матрицы И экономико-математических методов ; И экономико-математических методов , отыскать 2А + В.

И экономико-математических методов , И экономико-математических методов .

Операция умножения матриц.

Разглядим матрицы А порядка m´n и В порядка n´k .

Произведением строчка Ai на столбец Br определим следующим образом:

И экономико-математических методов И экономико-математических методов

Произведением матрицы А на матрицу В назовём матрицу F порядка m´k, такую, что fij=AiBJ

И экономико-математических методов

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц выяснена лишь для матриц, число столбцов первой из которых равно строчков второй.

Яркий анализ определения операции умножения матриц говорит о том, что любой столбец произведения матриц А и В линейно выражается через совокупность столбцов матрицы А, а любая строчок этого произведения линейно выражается через совокупность строчков матрицы В. Либо подробнее: j- тый столбец матрицы АВ имеется линейная комбинация всех столбцов матрицы А, а коэффициенты данной комбинации – элементы j- того столбца матрицы В, i- тая строчок матрицы АВ имеется линейная всех строчков матрицы В, а коэффициенты данной линейной комбинации – элементы i- той строки матрицыА. Эти утверждения лежат в базе доказательства первой теоремы о ранге произведения матриц: ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей :

r(AB) r(A), r(AB) r(B).

Пример. Отыскать произведение матриц , И экономико-математических методов

? И экономико-математических методов = = .

Произведение ВА не существует, поскольку число столбцов матрицы В (=2) не равно строчков матрицы А (=1).

Пример. Отыскать произведение матриц А = и В = .

АВ = ? = И экономико-математических методов .

ВА = ? = (2?1 + 4?4 + 1?3 )= (2 + 16 + 3) = (21).

Свойства операций над матриц.

1) Сумма матриц коммутативна и дистрибутивна

А+В=В+А

(А+В)+С=А+(В+С).

2) Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА кроме того в случае, если выяснены оба произведения. Но, в случае, если для каких – или матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы именуются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая есть перестановочной с каждый матрицей того же размера.

Перестановочными смогут быть лишь квадратные матрицы одного и того же порядка.

А?Е = Е?А = А

Разумеется, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A?O = O; O?A = O,

где О – нулеваяматрица.

3) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. в случае, если выяснены АВ и произведения (АВ)С, то выяснены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

4) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. в случае, если имеют суть выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

5) В случае, если произведение АВ выяснено, то для любого числа a правильно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

6) В случае, если выяснено произведение АВ , то выяснено произведение ВТАТ и выполняется равенство:

(АВ)Т = ВТАТ, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Увидим кроме этого, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA?detB.

Понятие det (определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже..

Определение. Матрицу В именуют транспонированнойматрицей А, а переход от А к В транспонированием, в случае, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = И экономико-математических методов ; В = АТ= И экономико-математических методов ;

иначе говоря bji = aij.

В качестве следствия из прошлого свойства (5) возможно записать, что:

(ABC)T = CTBTAT,

при условии, что выяснено произведение матриц АВС.

Пример. Даны матрицы А = И экономико-математических методов , В = , С = И экономико-математических методов и число a = 2. Отыскать АТВ+aС.

AT = И экономико-математических методов ; ATB = И экономико-математических методов ? = И экономико-математических методов = И экономико-математических методов ;

aC = И экономико-математических методов ; АТВ+aС = И экономико-математических методов + И экономико-математических методов = И экономико-математических методов .

Матричный способ ответа совокупностей линейных уравнений.

Матричный способ применим к ответу совокупностей уравнений, где число уравнений равно малоизвестных.

Способ удобен для ответа совокупностей низкого порядка.

Способ основан на применении особенностей умножения матриц.

Пускай дана совокупность уравнений:

И экономико-математических методов

Составим матрицы: A = И экономико-математических методов ; B = И экономико-математических методов ; X = И экономико-математических методов ,

где А- главная матрица совокупности, X- одностолбцовая матрица, составленная из малоизвестных данной совокупности, В — одностолбцовая матрица из её свободных участников.

Совокупность уравнений возможно записать в матричном виде:

A?X = B.

Совокупность линейных уравнений представляет собой частный случай матричных уравнений вида A?X = B. Уравнение вида YA=B сводятся к этому же типу матричных уравнений, потому, что (YA)Т=BТ и в следствии AТ?YT = BT.

Cогласно определению умножения матриц, A?X = B не имеет ответов, в случае, если матрицы А,В имеют разное число строчков. Исходя из этого имеет суть разглядывать матричные уравнение, в которых строчков у матриц А и В одно да и то же.

В случае, если В – k столбцовая матрица, то матричное уравнение A?X = B распадается на совокупность k матричных уравнений: A?X1 = B1, A?X2 = B2,…, A?Xk = Bk.

Каждое из этих матричных уравнений есть совокупностью линейных уравнений, причём все они имеют матрицу А собственной главной матрицей, и их ответами будут столбцы малоизвестной матрицы X. В большинстве случаев, все эти линейные совокупности решаются в один момент, в виде пакета.

Критерий разрешимости матричных уравнений:

Матричное уравнение A?X = B имеет ответ тогда и лишь тогда, в то время, когда ранг матрицы А равен рангу матрицы ( ), т.е. матрицы взятой из матрицы А присоединением к ней матрицы В.

Квадратную матрицу, ранг которой равен её порядку, именуют невырожденной. В случае, если ранг квадратной матрицы меньше её порядка, матрица вырождена. Увидим, что в случае, если в матричном уравнении A?X = B матрица А невырожденная, то это уравнение имеет единственное ответ, поскольку любая из этих совокупностей линейных уравнений, на каковые оно распадается, будет совместно определенной.

Как мы знаем, что квадратная матрица n порядка вида:

И экономико-математических методов = E,

именуется единичной матрицей. Разумеется, что в случае, если А – квадратная матрица n порядка, то A?Еn = En?A =A.

В случае, если A?С = Е, то матрицу С именуется правой обратной для матрицы А, а матрицу А – левой обратной для матрицы С.

Видно, что матрица С есть ответом матричного уравнения A?X =Е, причем, в случае, если А – невырожденная матрица, это решение единственное. Следовательно, любая невырожденная матрица имеет единственную правую обратную матрицу. Возможно доказать( применяя первую теорему о ранге произведения и ассоциативность умножения), что правая обратная матрица есть и левой обратной. Итак,любая невырожденная матрица имеет единственную двустороннюю обратную матрицу, которую обозначают А-1:

A-1A=AA-1=E.

Одним из способов нахождения матрицы, обратной для матрицы А, есть ответ матричного уравнения A?X =Е.

В соответствии с первой теореме о ранге произведения матриц, r(AB) r(B).

В случае, если матрица невырожденная, то матрицу В возможно записать в виде В=А-1(АВ), и тогда (по той же теореме) r(AB) r(B). Тем самым доказана вторая теорема о ранге произведения матриц: в случае, если матрица А невырожденная, то r(AB)=r(B).

Экономико- математический метод нормирования запасов


Интересные записи:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: